精品解析：广东省惠州市第一中学教育集团2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

惠州一中教育集团2023-2024学年第二学期初一年级期末考试 ——数学试题卷 命题人：曾绍文 审题人：吴洁 满分120分，考试用时为120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的学校、班级、姓名、考号，用2B铅笔将对应该号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将答题卡交回． 一、单选题 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14 2. 下列调查活动中适宜全面调查的是（ ） A. 惠州东江水质情况 B. 神舟十四号载人飞船设备零件的质量情况 C. 某节能灯的使用寿命情况 D. 广东省惠州市中学生的视力情况 3. 在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ） A. B. C. D. 4. 若a＜b，则下列变形错误的是（ ） A. a-2＜b-2 B. 2a+1＜2b+1 C. -2a＜-2b D. ＜ 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； B. 相等的角是对顶角； C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等； D. 和为180°的两个角叫做邻补角. 6. 如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则是（ ） A. B. C. D. 7. 用代入法解方程组时，把②代入①后得到方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点M从原点0出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点按这样的运动规律，经过2024次运动后，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 4的平方根是_______． 12. 已知点在y轴上，则点P坐标为________. 13. 已知，则________． 14. 如图，直线，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分，则的度数为_________°． 15. 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有______人． 16. 2024年春晚，扑克牌魔术“约瑟夫环”，是数学与神奇的完美结合，通过一定指令的操作，会得到一个数学规律．请依照下列定义，若，则的取值范围为______． 三、解答题 17. （1）计算： （2）解方程组： 18. （1） （2） 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 20. 为丰富师生的校园文化生活，激发师生热爱体育运动的兴趣，增强师生体质，营造奋进、和谐的校园氛围，年月日，商丘市梁园区某校举行了“趣味十一月”神采飞扬跳绳比赛活动．该校七年级采用随机抽签的方式选出了部分同学，并对这些同学一分钟跳绳的成绩进行了统计，绘制了如下统计图和统计表： 等级 次数 频数 不合格 合格 良好 优秀 请结合上述信息解决下列问题： （1）本次随机抽签的样本容量是______；______； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，“不合格”等级对应的圆心角的度数是______； （4）若该校有名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳成绩达到良好及以上的人数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将平移，使点A与点重合，点的对应点分别是点、． （1）请画出平移后的，并写出点的坐标_______；的坐标_______； （2）点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为_______． （3）求三角形的面积． 22. 如图，在中，点，在边上，点在边上，，且． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 23. 某校开展以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学领发奖品．小诺与小延去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，则需110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元； （2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总金额不超过320元，则最多购进乙种笔记本多少个？ 24. 对x，y定义一种新的运算T，规定：，其中．例如：，． （1）计算：______（用含a的代数式表示）； （2）若，关于x的不等式组恰有4个整数解，求m的取值范围； （3）若，求a的值． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C． （1）填空，点C的坐标为_______，点D的坐标为_______．线段平移到扫过的面积为_______． （2）若点P是y轴上的动点，连接． ①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段与线段相交于点E，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州一中教育集团2023-2024学年第二学期初一年级期末考试 ——数学试题卷 命题人：曾绍文 审题人：吴洁 满分120分，考试用时为120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的学校、班级、姓名、考号，用2B铅笔将对应该号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将答题卡交回． 一、单选题 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14 【答案】A 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可． 【详解】解：，，3.14是有理数，是无理数， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 下列调查活动中适宜全面调查的是（ ） A. 惠州东江水质情况 B. 神舟十四号载人飞船设备零件的质量情况 C. 某节能灯的使用寿命情况 D. 广东省惠州市中学生的视力情况 【答案】B 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A．惠州东江水质情况，调查范围广适合抽样调查，故本选项不符合题意； B．神舟十四号载人飞船设备零件的质量情况，精确度要求高，事关重大，适合全面调查，故本选项符合题意； C．某节能灯的使用寿命情况，调查具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不符合题意； D．广东省惠州市中学生的视力情况，调查范围广适合抽样调查，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平移设计图案，确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离组成的图形就是经过平移得到的图形，据此判定即可，关键是正确理解平移的概念． 【详解】 A、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项错误，不符合题意； B、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项错误，不符合题意； C、是由“基本图案”经过平移得到，故此选项正确，符合题意； D、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 若a＜b，则下列变形错误的是（ ） A. a-2＜b-2 B. 2a+1＜2b+1 C. -2a＜-2b D. ＜ 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式基本性质变形得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A．若a＜b，则a-2＜b-2，故选项正确，不符合题意； B．若a＜b，则2a+1＜2b+1，故选项正确，不符合题意； C．若a＜b，则-2a＞-2b，故选项错误，符合题意； D．若a＜b，则＜，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； B. 相等的角是对顶角； C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等； D. 和为180°的两个角叫做邻补角. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据垂直于同一平面内同一条直线的两条直线的关系、对顶角、同位角及邻补角的性质判断各个选项即可． 【详解】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项正确； B、对顶角虽然相等，相等的角是不一定是对顶角，故本选项错误； C、两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项错误； D、和为180°的两个角叫做补角，但不一定是邻补角，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查命题与定理的知识，解题关键是对各种定理的掌握，并注意定理成立的条件，是一道小的综合题，难度适中． 6. 如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．熟练掌握折叠的性质，平行线的性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由折叠的性质可知，，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 用代入法解方程组时，把②代入①后得到方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组，将②代入①整理即可得出答案． 【详解】解：把②代入①，得：， 去括号，得：． 故选：D． 8. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的无解问题，先分别解出，再结合无解，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵关于的不等式组无解， ∴， 故选：D． 9. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：设苦果有个，甜果有个，由题意可得， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是解决本题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点M从原点0出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点按这样的运动规律，经过2024次运动后，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标系变化规律，总结归纳出坐标变换规律是解题关键． 由点的坐标变化得，坐标变化满足每5次一循环，探究出纵坐标为，然后再探究其横坐标，为即可． 【详解】解：由图得，点的坐标变化规律是先沿边长为2的等边三角形的边运动， 再沿边长为2的正方形的边运动， 点的纵坐标变化满足运动5次一循环， ． 即点的2024次运动与第4次运动后的纵坐标相同， 第4次坐标，即 第9次坐标，即 第14次坐标，即 第次坐标为，即 令，解得， 第2024次坐标为，即． 故选：B． 二、填空题 11. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 已知点在y轴上，则点P坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据y轴上点的坐标特点解答即可． 【详解】∵点P(a+3,2a+4)在y轴上， ∴a+3=0解得a=−3， ∴2a+4=−2， ∴点p的坐标为(0,−2). 故答案为(0,−2). 【点睛】此题考查点的坐标，解题关键在于掌握其坐标特点. 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，有理数的乘方，解题的关键是根据算术平方根和绝对值的非负性得到，，继而得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 14. 如图，直线，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分，则的度数为_________°． 【答案】60 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可求出的度数，即可得到的度数，再利用平行线的性质即可解决问题． 【详解】一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15. 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有______人． 【答案】6 【解析】 【分析】设共有x人，第2种分法最后一人分到了a本，由题意列方程，由最后一人就分不到3本，可知或，代入求解即可． 【详解】解：设共有x人，第2种分法最后一人分到了a本， 根据题意可知，， 整理得，， ∵， ∴或， 当时，， 当时，（舍去）， ∴共有6人． 故答案为：6． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，准确理解“最后一人就分不到3本”是解题的关键． 16. 2024年春晚，扑克牌魔术“约瑟夫环”，是数学与神奇的完美结合，通过一定指令的操作，会得到一个数学规律．请依照下列定义，若，则的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式，根据题干提供的信息，得出，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 17. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先化简算术平方根以及立方根、绝对值，再合并同类项，即可作答． （2）运用加减法进行解方程，即可作答． 本题考查了二元一次方程组以及算术平方根以及立方根、绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2） ，得出， 解得， 把代入得出， 解得， ∴． 18. （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了运用立方根解方程以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先方程两边同时开立方，再移项，即可作答； （2）先去分母，再移项，系数化1，即可作答． 【详解】解：（1）， ∴， 解得； （2）， 去分母， 移项得． 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将不等式组的解集在数轴上表示如下： ． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 所以此不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示略． 20. 为丰富师生的校园文化生活，激发师生热爱体育运动的兴趣，增强师生体质，营造奋进、和谐的校园氛围，年月日，商丘市梁园区某校举行了“趣味十一月”神采飞扬跳绳比赛活动．该校七年级采用随机抽签的方式选出了部分同学，并对这些同学一分钟跳绳的成绩进行了统计，绘制了如下统计图和统计表： 等级 次数 频数 不合格 合格 良好 优秀 请结合上述信息解决下列问题： （1）本次随机抽签的样本容量是______；______； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，“不合格”等级对应的圆心角的度数是______； （4）若该校有名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳成绩达到良好及以上的人数． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） （4）估计该校学生一分钟跳绳成绩达到良好及以上的人数有人 【解析】 【分析】（1）根据优秀的频数及百分比即可求出样本容量，再根据样本容量即可求出合格的频数； （2）根据等级的频数即可求解； （3）先计算出“不合格”频数，样本容量，计算出“不合格”的百分比，再根据圆心角的计算公式即可求解； （4）根据样本的频率估算总体的量的方法即可求解． 【小问1详解】 解：优秀的频数是，优秀的百分比是， ∴样本容量为（人）， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：不合格的频数是，合格的频数是，良好的频数是，优秀的频数是， ∴根据以上数据补图如下： 【小问3详解】 解：不合格的频数是，样本容量是， ∴“不合格”等级对应的圆心角的度数是， 故答案为：， 【小问4详解】 解：样本中一分钟跳绳成绩达到良好及以上的频数， ∴（人）， ∴估计该校学生一分钟跳绳成绩达到良好及以上的人数有人． 【点睛】本题主要考查调查与统计中的相关知识，掌握计算样本容量的公式，计算圆心角的公式，根据样本频率估算总体的方法是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将平移，使点A与点重合，点的对应点分别是点、． （1）请画出平移后的，并写出点的坐标_______；的坐标_______； （2）点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为_______． （3）求三角形的面积． 【答案】（1）见详解，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出平移方向，从而求出，的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解． （3）运用割补法进行列式计算，即可作答． 本题主要考查了作图平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． 【小问1详解】 解：点的坐标是，点的坐标是， 平移是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是，点的坐标是， 平移后的如图所示： 【小问2详解】 解：由（1）得：平移方向是先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度， 点的对应点的坐标为， 点的坐标为； 【小问3详解】 解： ． 22. 如图，在中，点，在边上，点在边上，，且． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，根据已知得出，即可得出，根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义可得进而根据平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 平分， ， 由（1）知， ． 23. 某校开展以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学领发奖品．小诺与小延去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，则需110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元； （2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总金额不超过320元，则最多购进乙种笔记本多少个？ 【答案】（1）甲、乙两种笔记本的单价各是3元，5元 （2）最多购进乙种笔记本31个 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种笔记本的单价各是x元，y元，然后根据买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，则需110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元列出方程组即可； （2）设购进乙种笔记本m个，则购进甲种笔记本个，根据花费不超过320元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种笔记本的单价各是x元，y元， 由题意得，， 解得， ∴甲、乙两种笔记本的单价各是3元，5元； 【小问2详解】 解：设购进乙种笔记本m个，则购进甲种笔记本个 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为31， ∴最多购进乙种笔记本31个． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． 24. 对x，y定义一种新的运算T，规定：，其中．例如：，． （1）计算：______（用含a的代数式表示）； （2）若，关于x的不等式组恰有4个整数解，求m的取值范围； （3）若，求a的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，由不等式组的解集的情况求参数的范围，解一元一次方程，掌握新定义的运算法则，是解题的关键； （1）根据新运算的法则，进行计算即可； （2）根据，求出的值，进而确定x的不等式组，求解后根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，求解即可； （3）分，三种情况，分别列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴关于x的不等式组转化为：， 解得：， ∵不等式组恰有4个整数解， ∴，整数解为：1，2，3，4， ∴， ∴； 【小问3详解】 ， 当时，则：，解得：（舍去）； 当时，则：，解得：； 当时，则：，解得：（舍去）； 故． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C． （1）填空，点C的坐标为_______，点D的坐标为_______．线段平移到扫过的面积为_______． （2）若点P是y轴上的动点，连接． ①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段与线段相交于点E，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标． 【答案】（1），，20 （2）①②坐标为或 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想是解本题的关键． （1）由平移的性质得出点坐标，，再求出，即可得出结论； （2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②分交线段和交两种情况，利用面积之差求出和，最后用三角形面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 解： 点，将向下平移5个单位得线段， ，即：， 由平移得，，四边形是长方形， ，， ， ，即：线段平移到扫过的面积为20， 故答案为：，，20； 【小问2详解】 ①如图1， 过点作于， 由平移知，轴， ， ， 由平移知，， ，， ， 即：； ②（ⅰ）如图2，当交线段于，且将四边形分成面积为两部分时， 连接，延长交轴于点，则， ， 连接，则， 将四边形的面积分成两部分， ， 由①知， ， ， ， ， ． （ⅱ）如图3，当交于点，将四边形分成面积为两部分时， 连接，延长交轴于点，则， ，连接，则， 将四边形的面积分成两部分， ， ， 过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， 即：点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $