精品解析：山西省阳泉市盂县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末学业质量评价试题 七年级数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 2．答案写在答题卡上，答在本试题上无效．考试结束后，将答题卡交回． 3．本试题满分120分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并写在答题卡上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 5 D. 2. 在平面直角坐标系中，把点向上平移3个单位得到点Q，那么点Q在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某班班主任将全班同学的一次数学考试成绩进行了整理，整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值），则下列说法错误的是（ ） A. 得分在分人数最多 B. 组距为 C. 人数最少的得分段的频数为 D. 得分及格（大于等于分）的有人 4. 若是二元一次方程的解，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 数学课上老师让大家说一个有关不等式的判断， 小林说：；小关说：；小叶说：；小冉说：．其中说法正确的是（ ） A. 小林 B. 小关 C. 小叶 D. 小冉 6. 如图，与是同旁内角，它们是由（ ） A. 直线，被直线所截形成的 B. 直线，被直线所截形成的 C. 直线，被直线所截形成的 D. 直线，被直线所截形成的 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 9. 某学校组织初一学生去景区参加实践活动，学生张明和李华对着景区示意图（图中每个小正方形的边长均为）描述景点牡丹园的位置．张明说：“牡丹园的坐标是”，李华说“牡丹园在中心广场东北方向约处”．如果两人的说法都是正确的，根据以上信息，下列说法中错误的是（ ） A. 西门的坐标可能是 B. 湖心亭的坐标可能是 C. 中心广场在音乐台正南方向约处 D. 南门在游乐园东北方向约处 10. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡的横线上） 11. 比较大小：3______．（填、或） 12. 我国地势西高东低，复杂多样，据统计，各类地形所占比例大致是：山地，高原，盆地，丘陵，平原．为直观地表示出各类地形所占比例，最合适的统计图是_________________________． 13. “二八大杆”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中都与地面l平行，，，要使与平行，则的度数是_____________． 14. 若关于x、y的方程组的解满足，则k的最小整数值是_____________． 15. 周末小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把30个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 数学课堂上，李老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集．请根据下面的“接力游戏”回答问题． 接力游戏 老师： 甲同学： 乙同学： 丙同学： 丁同学： 戊同学： 任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是根据_____________进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．乘法的分配律 ②在“接力游戏”中，出现错误的是_____________同学，这一步错误的原因是________________________________________________． 任务二：在“接力游戏”中该不等式的正确解集是_____________．并把它的解集在数轴上表示出来． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对解不等式时还需要注意的事项给同学们提一条建议． 18. 如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点D都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． （1）平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； （2）请任意写出一组平移前后两个三角形中平行且相等的线段； （3）过点C画垂线段的依据是：_____________； （4）三角形的面积_____________． 19. 我县某中学九年级3月10日举办“中考百日誓师”活动暨研学活动，为着力培养学生的核心素养，学校选取了四个研学基地举办此次活动． A．“仇犹博物馆”；B．“诸龙山森林公园”；C．“水神山风景区”；D．“红色教育基地”． 为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）在本次调查中，一共抽取_____________名学生，扇形统计图中A所对应圆心角的度数为_____________； （2）将上面的条形统计图补充完整； （3）若该校共有1200名学生，请你估计选择C研学基地的学生人数； （4）根据样本调查结果，请用不超过30字的一段话描述你对研学活动组织者的建议． 20. 为帮助同学们新学期以新形态树新目标，以新姿态显新气象，王老师准备在开学第一天举行“奋斗，让青春热辣滚烫”的主题班会，计划让11名同学进行总计不超过40分钟的个人演讲或朗诵活动，要求每名同学只能选演讲或朗诵中的一种形式，演讲时间为5分钟，朗诵时间为3分钟，那么最多能安排几名同学进行演讲． 21. 阅读与思考 下面是小敏同学学习实数之后整理的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日 星期二 晴 无理数与线段长 今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．课本里有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则，点A对应的数为，点对应的数为． 类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： （1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想_____________． A．方程思想 B．数形结合思想 C．化归思想 （2）“类比思考”中，线段的长为_____________，的长为_____________；则点B表示的数为_____________，点表示的数为_____________． （3）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 22. 综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 背景 “追光少年，青春飞扬”盂县年中小学生运动会于月日举行，某校组织了一场运动员选拔赛，七年级二班班主任为奖励同学们在选拔赛中的优异表现，让班长小林去奶茶店购买，两种款式的奶茶． 素材1 买杯款奶茶，杯款奶茶共需元；买杯款奶茶，杯款奶茶共需元 素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 素材3 班长小林用了元购买，两款共四种不同的奶茶，其中款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的． 问题解决 任务1 问款奶茶和款奶茶销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，若购买，两种款式的奶茶（两种都要）刚好花元，问有哪几种购买方案？ 任务3 结合素材，班长小林购买的奶茶中款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出答案即可） 23. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标分别是，现同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的对应点.连接. (1)写出点的坐标并求出四边形的面积. (2)在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. (3)若点是直线上一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出与的数量关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末学业质量评价试题 七年级数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 2．答案写在答题卡上，答在本试题上无效．考试结束后，将答题卡交回． 3．本试题满分120分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并写在答题卡上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可得出结果． 【详解】解：的相反数是， 故选B． 【点睛】本题考查实数的性质．熟练掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”，是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，把点向上平移3个单位得到点Q，那么点Q在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点的平移，判断点所在的象限，先根据平移规则，求出点的坐标，进而确定其所在的象限即可． 【详解】解：把点向上平移3个单位得到点Q， ∴，即：， ∴点Q在第一象限； 故选A． 3. 某班班主任将全班同学的一次数学考试成绩进行了整理，整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值），则下列说法错误的是（ ） A. 得分在分的人数最多 B. 组距为 C. 人数最少的得分段的频数为 D. 得分及格（大于等于分）的有人 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，利用频数分布直方图中的信息一一判断即可，解题的关键是根据频数分布直方图得出样本容量及各组具体人数． 【详解】解：、样本中得分在分的人数最多，有人，故选项不符合题意； 、由频数分布直方图可知组距为，故选项不符合题意； 、人数最少的得分段的频数为，故选项不符合题意； 、得分及格（大于等于）的有（人），故选项符合题意； 故选：． 4. 若是二元一次方程的解，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故选C． 5. 数学课上老师让大家说一个有关不等式的判断， 小林说：；小关说：；小叶说：；小冉说：．其中说法正确的是（ ） A. 小林 B. 小关 C. 小叶 D. 小冉 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，逐个判断即可，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 【详解】∵ ，∴，∴小林的说法正确，符合题意； ∵ ，∴，∴小关的说法错误，不符合题意； ∵，， ∴，∴小叶的说法错误，不符合题意； ∵ ，∴，∴小冉的说法错误，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，与是同旁内角，它们是由（ ） A. 直线，被直线所截形成的 B. 直线，被直线所截形成的 C. 直线，被直线所截形成的 D. 直线，被直线所截形成的 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角． 【详解】解：与是同旁内角，它们是由直线，被直线所截形成的 故选A． 【点睛】本题考查了同旁内角的含义，熟练掌握含义是解题的关键． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ， 故选：C． 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的判定和性质，平行公理，进行判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； B、平行于同一条直线的两条直线平行是真命题； C、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题； D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行原命题是假命题； 故选B． 9. 某学校组织初一学生去景区参加实践活动，学生张明和李华对着景区示意图（图中每个小正方形的边长均为）描述景点牡丹园的位置．张明说：“牡丹园的坐标是”，李华说“牡丹园在中心广场东北方向约处”．如果两人的说法都是正确的，根据以上信息，下列说法中错误的是（ ） A. 西门的坐标可能是 B. 湖心亭的坐标可能是 C. 中心广场在音乐台正南方向约处 D. 南门在游乐园东北方向约处 【答案】D 【解析】 【分析】根据张明说：“牡丹园的坐标是”，李华说“牡丹园在中心广场东北方向约处”，建立平面直角坐标系，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】如图，以中心广场为原点建立平面直角坐标系， A. 西门的坐标可能是，故该选项正确，不符合题意； B. 湖心亭的坐标可能是，故该选项正确，不符合题意； C. 中心广场在音乐台正南方向约处，故该选项正确，不符合题意； D. 南门在游乐园西南方向约处，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了用坐标表示实际位置、方位角，建立平面直角坐标系是解题关键． 10. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知的等式的意义列方程组即可． 【详解】解：图2所示的算筹图我们可以表述为， 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，正确理解图形的含义是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡的横线上） 11. 比较大小：3______．（填、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较．比较与的大小即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12. 我国地势西高东低，复杂多样，据统计，各类地形所占比例大致是：山地，高原，盆地，丘陵，平原．为直观地表示出各类地形所占比例，最合适的统计图是_________________________． 【答案】扇形统计图 【解析】 【分析】本题考查统计图的选择，根据扇形统计图可以直观的表示各部分所占的百分比，即可得出结果． 【详解】解：∵已知的是各数据所占的百分比，且扇形统计图可以直观的表示各部分所占的百分比， ∴最合适的统计图是扇形统计图； 故答案为：扇形统计图． 13. “二八大杆”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中都与地面l平行，，，要使与平行，则的度数是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和判定，先证明，得到，再根据同旁内角互补，两直线平行，求出的度数即可． 【详解】解：∵都与地面l平行， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 若关于x、y的方程组的解满足，则k的最小整数值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的范围，将两个方程相加后，结合方程组的解的情况，得到关于k的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴k的最小整数值是； 故答案为：． 15. 周末小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把30个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是_____________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设一个纸杯的高度为，每增加一个纸杯增加的高度为，根据图示，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设一个纸杯的高度为，每增加一个纸杯增加的高度为， ∴，解得：， ∴30个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是； 故答案：36． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解二元一次方程组： （1）先进行开方运算，再进行加减运算即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）原式， ； （2） 得：， 解得：， 将代入①得， 解得：， 所以原方程组的解为． 17. 数学课堂上，李老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集．请根据下面的“接力游戏”回答问题． 接力游戏 老师： 甲同学： 乙同学： 丙同学： 丁同学： 戊同学： 任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是根据_____________进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．乘法的分配律 ②在“接力游戏”中，出现错误的是_____________同学，这一步错误的原因是________________________________________________． 任务二：在“接力游戏”中该不等式的正确解集是_____________．并把它的解集在数轴上表示出来． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对解不等式时还需要注意的事项给同学们提一条建议． 【答案】任务一：①C；②戊，不等式的两边同时乘以，不等号的方向没有改变；任务二：，数轴见解析；任务三：去括号时，括号前面是“”，去括号后，括号内的每一项都要变号 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表述不等式的解集： 任务一：①根据乘法分配律去括号；②最后一步系数化1时，不等号的方向没有改变，出现错误； 任务二：系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上进行表示即可； 任务三：对于易错点进行说明即可 【详解】解：任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是根据乘法分配律进行变形的； 故选：C； ②出现错误的是：戊；原因是：不等式的两边同时乘以，不等号的方向没有改变； 任务二：∵， ∴； 数轴表示如图： 任务三：去括号时，括号前面是“”，去括号后，括号内的每一项都要变号． （答案不唯一，合理即可） 18. 如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点D都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． （1）平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； （2）请任意写出一组平移前后两个三角形中平行且相等的线段； （3）过点C画的垂线段的依据是：_____________； （4）三角形的面积_____________． 【答案】（1）图形见解析 （2）与平行且相等（答案不唯一） （3）见解析 （4）4 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，画垂线，垂线段最短，借助网格求图形的面积： （1）根据平移的性质，画出三角形即可； （2）根据平移的性质作答即可； （3）根据垂直的定义画出，垂线段最短进行解释即可； （4）借助网格求面积即可． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求． 【小问2详解】 与平行且相等，与平行且相等，与平行且相等（三组线段任写一组即可）． 【小问3详解】 如图，即为所求． 的依据是：垂线段最短． 【小问4详解】 三角形的面积． 19. 我县某中学九年级3月10日举办“中考百日誓师”活动暨研学活动，为着力培养学生的核心素养，学校选取了四个研学基地举办此次活动． A．“仇犹博物馆”；B．“诸龙山森林公园”；C．“水神山风景区”；D．“红色教育基地”． 为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）在本次调查中，一共抽取_____________名学生，扇形统计图中A所对应圆心角的度数为_____________； （2）将上面的条形统计图补充完整； （3）若该校共有1200名学生，请你估计选择C研学基地的学生人数； （4）根据样本调查结果，请用不超过30字的一段话描述你对研学活动组织者的建议． 【答案】（1）24， （2）C的人数为：6名，D的人数为：4名，图形见解析 （3）估计选择研学基地C的学生人数约为300名 （4）建议学校选取诸龙山森林公园基地举办此次活动 【解析】 【分析】本题考查条形图与扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）B的人数除以所占的比例，求出抽取的人数，360度乘以C所占的比例，求出圆心角的度数； （2）求出C，D的人数，补全图形即可； （3）样本估计总体的思想，进行求解即可； （4）根据统计图，给出合理的建议即可． 【小问1详解】 解：（名），； 【小问2详解】 C的人数为：（名）， D的人数为：（名）， 将条形统计图补充完整如下： 【小问3详解】 （名）， 答：估计选择研学基地C的学生人数约为300名； 【小问4详解】 建议学校选取诸龙山森林公园基地举办此次活动． （表达清晰，合理即可） 20. 为帮助同学们新学期以新形态树新目标，以新姿态显新气象，王老师准备在开学第一天举行“奋斗，让青春热辣滚烫”的主题班会，计划让11名同学进行总计不超过40分钟的个人演讲或朗诵活动，要求每名同学只能选演讲或朗诵中的一种形式，演讲时间为5分钟，朗诵时间为3分钟，那么最多能安排几名同学进行演讲． 【答案】最多安排3名同学进行演讲 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式实际应用，设安排x名同学进行演讲，根据计划让11名同学进行总计不超过40分钟的个人演讲或朗诵活动，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设安排x名同学进行演讲， 由题意可得：， 解得：， 是正整数， 的最大值为3， 答：最多安排3名同学进行演讲． 21. 阅读与思考 下面是小敏同学学习实数之后整理的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日 星期二 晴 无理数与线段长 今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．课本里有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则，点A对应的数为，点对应的数为． 类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： （1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想_____________． A．方程思想 B．数形结合思想 C．化归思想 （2）“类比思考”中，线段的长为_____________，的长为_____________；则点B表示的数为_____________，点表示的数为_____________． （3）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】（1）B；（2），，，；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）体现了数形结合的思想； （2）利用平移的思想，进行求解即可； （3）类比题干中的方法，作图即可． 【详解】解：（1）体现了数形结合的思想； 故选：B； （2）图3中的正方形相当于从图2的位置向右平移1个单位长度得到的， ∴的长为，，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，，，； （3）∵大正方形的面积为5， ∴小长方形的对角线长为， 如图所示，点P表示的数为． 22. 综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 背景 “追光少年，青春飞扬”盂县年中小学生运动会于月日举行，某校组织了一场运动员选拔赛，七年级二班班主任为奖励同学们在选拔赛中的优异表现，让班长小林去奶茶店购买，两种款式的奶茶． 素材1 买杯款奶茶，杯款奶茶共需元；买杯款奶茶，杯款奶茶共需元 素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 素材3 班长小林用了元购买，两款共四种不同的奶茶，其中款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的． 问题解决 任务1 问款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，若购买，两种款式的奶茶（两种都要）刚好花元，问有哪几种购买方案？ 任务3 结合素材，班长小林购买的奶茶中款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出答案即可） 【答案】任务一：款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元；任务2：方案1：购买杯款奶茶，杯B款奶茶，方案2：购买杯款奶茶，杯款奶茶； 任务3：班长小林购买的奶茶中款加料的奶茶买了杯 【解析】 【分析】本题考查实际问题与二元一次方程组，解题的关键是利用题中的等量关系建立方程组；（1）根据题意建立二元一次方程组即可求解；（2）设购买杯A款奶茶，杯B款奶茶，根据题意可得，即可求解；（3）设班长小林购买的奶茶中款不加料奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯，利用等量关系，列出关于，的二元一次方程，根据，，均为正整数，求解，代入，即可求解； 【详解】解：（任务1）设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元； （任务2）设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 答：共有种购买方案， 方案1：购买杯款奶茶，杯款奶茶 方案2：购买杯款奶茶，杯款奶茶； （任务3）设班长小林购买的奶茶中款不加料奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯， 根据题意得： ， ，，均为正整数； 班长小林购买的奶茶中款加料的奶茶买了杯． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，现同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的对应点.连接. (1)写出点的坐标并求出四边形的面积. (2)在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. (3)若点是直线上一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出与的数量关系. 【答案】(1)点 ，点 ；12；(2)存在，点的坐标为和；(3) ∠OFC=∠FOB-∠FCD，见解析. 【解析】 【分析】（1）根据点平移规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）； （2）设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到，解得x=1或x=7，然后写出点E的坐标； （3）分类讨论：当点F在线段BD上，作FM∥AB，根据平行线的性质由MF∥AB得∠2=∠FOB，由CD∥AB得到CD∥MF，则∠1=∠FCD，所以∠OFC=∠FOB+∠FCD；同样得到当点F在线段DB的延长线上，∠OFC=∠FCD-∠FOB；当点F在线段BD的延长线上，得到∠OFC=∠FOB-∠FCD． 【详解】解：（1）∵点A，B的坐标分别是（-2，0），（4，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A，B的对应点C，D， ∴点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）； 四边形ABDC的面积=2×（4+2）=12； （2）存在． 设点E的坐标为（x，0）， ∵△DEC的面积是△DEB面积的2倍， ，解得x=1或x=7， ∴点E的坐标为（1，0）和（7，0）； （3）当点F在线段BD上，作FM∥AB，如图1， ∵MF∥AB， ∴∠2=∠FOB， ∵CD∥AB， ∴CD∥MF， ∴∠1=∠FCD， ∴∠OFC=∠1+∠2=∠FOB+∠FCD； 当点F在线段DB的延长线上，作FN∥AB，如图2， ∵FN∥AB， ∴∠NFO=∠FOB， ∵CD∥AB， ∴CD∥FN， ∴∠NFC=∠FCD， ∴∠OFC=∠NFC-∠NFO=∠FCD-∠FOB； 同样得到当点F在线段BD的延长线上，得到∠OFC=∠FOB-∠FCD． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标得到线段的长和线段与坐标轴的关系．也考查了平行线的性质和分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$