精品解析：茂名市2023-2024学年高一下学期教学质量监测数学试卷

2024年茂名市普通高中高一年级教学质量监测 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由分式与二次根式有意义的条件可得、集合，结合交集定义即可得解. 【详解】由，可得， ，则， 故且. 故选：D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：先由已知利用复数的乘除法运算求出复数，再可求出复数的模，解法二：对已知等式变形后，利用复数模的性质求解即可. 【详解】解法一：由，得， 所以， 解法二：由，得， 所以. 故选：A 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先求不等式，再根据集合间的关系判断选项. 【详解】，则，而推不出，但， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断在上变化情况可得答案. 【详解】因为函数定义域为R，， 所以为奇函数，则其图象关于原点对称，所以排除A， 当时，，所以排除D， 因为由幂函数的性质可知当时，在直线的上方， 所以排除B， 故选：C 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】由，则，故， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 6. 将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可. 【详解】由题意可知将的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍， 得， 再将的图象向右平移个单位，得的图象，则， 故选：B 7. 若是锐角三角形，，，则边c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据正弦定理表示，再消去，转化为关于角的三角函数，根据锐角三角形求角的范围，根据三角函数的性质求边的取值范围. 【详解】由正弦定理可知，，则， 因为，则， 因为是锐角三角形，所以， 则，， 所以. 故选：D 8. 在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点.若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理与判定定理可得，即可设，从而可利用表示出、，再结合同角三角函数基本关系，利用余弦定理计算即可得. 【详解】由底面，、平面，故，， 由底面为正方形，故， 又、平面，，故平面， 又平面，则， 由，则，由为线段的中点，则， 设，则，， 由，则， 则由余弦定理可得， 解得，故. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是边长为1的正三角形，，分别为，的中点，则（ ） A. 与不能构成一组基底 B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：由题意可得，即可得与不能构成一组基底；对B：借助平面向量线性运算计算即可得；对C：借助平面向量数量积公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：由，分别为，的中点，则，即， 故与不能构成一组基底，故A正确； 对B：由题意可得，， 故，故B正确； 对C：，故C错误； 对D： ，故D正确. 故选：ABD. 10. 某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（ ） A. 诗经组中位数为3，众数为2 B. 论语组平均数为3，方差为1 C. 春秋组平均数为3，众数为2 D. 礼记组中位数为2，极差为4 【答案】BD 【解析】 【分析】利用列举法判断AC，根据方差公式，判断B，根据极差的定义，判断D. 【详解】A.若该组选手的失分情况如下，1,2,2,2,3,3,4,5,6,7,满足中位数为3，众数为2， 但有选手失分超过6分，故A错误； B.该组每位选手的失分情况按照从小到大排列，，， 则方差， 即，若，， 所以每位选手的得分都不超过6分，故B正确； C.若该组选手的失分情况如下，0,2,2,2,2,2,4,4,5,7,这组数据满足平均数为3，众数为2， 但有选手失分超过6分，故C错误； D.因为中位数为2，则最低分小于等于2，又因为极差为4， 所以最该分小于等于6，该组选手失分没有超过6分的，故D正确. 故选：BD. 11. 已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 在上单调递增 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：由为偶函数，结合时的解析式计算即可得；对B：由为奇函数，结合A中所得即可得；对C：由题意可得函数周期性，结合指数函数的单调性即可得解；对D：由函数周期性计算即可得. 【详解】对A：由为偶函数，则， 当时，，则， 即当时，，故A正确； 对B：由为奇函数，则有， 即，即， 故当时，，则， 即，故B错误； 对C：由， ， 则，， 即，故为周期为的周期函数， 由当时，，可得在上单调递增， 故在上单调递增，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知棱长为的正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的体对角线即为球的直径可得答案. 【详解】棱长为的正方体的所有顶点都在同一个球面上， 则正方体的体对角线即为球的直径， 所以球的直径为，， 则该球的表面积为. 故答案为：. 13. 若复数是关于x的方程的一个根，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意方程的另外一个根为，利用韦达定理可得，，即得. 【详解】因复数是关于x的方程的一个根，则其另外一根为， 故，，得，， 故， 故答案为： 14. 在海面上，乙船以40km/h的速度朝着北偏东的方向航行，甲船在乙船的正东方向30km处.甲船上有应急物资需要运送上乙船，由于乙船有紧急任务不能停止航行，所以甲船准备沿直线方向以的速度航行与乙船相遇.为了保证甲船能在2小时内和乙船相遇，甲船航行速度的最小值为______（km/h）. 【答案】 【解析】 【分析】画出具体图形后，借助余弦定理及二次函数性质计算即可得. 【详解】如图，、分别为乙船与甲船所处位置，则km，， 设点为两船相遇位置， 相遇时间在小时后， 则， 即， 则当，即时，有， 即甲船航行速度的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的顶点，，. （1）若单位向量与方向相同，求的坐标； （2）求向量与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出后结合单位向量定义计算即可得； （2）借助平行四边形的性质可计算出与，再结合向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 ，则，即； 【小问2详解】 由题意可得，，， 则， 故， 因为，所以. 16. 已知函数. （1）若，求与交点的横坐标； （2）若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，再解与组成的方程组可得答案； （2）时不符合题意，时只须解不等式可得答案. 【小问1详解】 若，则，解得， 所以， 由解得，或， 所以与交点的横坐标为或； 【小问2详解】 若，则在区间上没零点，不符合题意， 所以，所以的图象为抛物线， 对称轴为， 所以要使在区间上恰有一个零点，只须， 即，解得. 的取值范围. 17. 如图1，菱形的边长为2，，将沿着翻折到三角形的位置，连接，形成的四面体如图2所示. （1）证明：； （2）若四面体的体积为，求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，借助菱形的性质可得线线垂直，结合线面垂直的判定定理与性质定理推导即可得证； （2）找出二面角的平面角后，结合体积公式计算即可得解. 【小问1详解】 取中点，连接、， 由四边形为菱形，则， 故，，又，、平面， 故平面，又平面，故； 【小问2详解】 由，，平面平面， 故为二面角的平面角， 又菱形的边长为2，， 则，， 又 ， 故，即或， 即二面角的大小为或. 18. 某市体质健康测试标准包括身体形态、身体机能、躯体素质、运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人. （1）求图中a，b的值； （2）并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和上四分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）； （3）若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为，方差为；女生分数的平均数为，方差为；200名学生分数的平均数为，方差为. ①；②，请判断公式①和公式②是否相等，并说明理由. 【答案】（1）；； （2）平均数78.8；上四分位数87； （3）相等，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先根据低于80分的人数为108求出，在根据频率之和为1求出； （2）根据平均数的公式直接计算，上分位数根据分位数的含义计算； （3）两式作差，根据，，以及因式分解即可得到结论. 【小问1详解】 由低于80分的人数为108，得， 所以. 【小问2详解】 平均数， 显然上四分位数即分位数应该在之间，设上四分位数为，则， 所以平均数为78.8，上四分位数为87. 【小问3详解】 设，，显然，， ①-②得：. 所以①和②相等. 19. 如图所示，在中，，AD平分，且. （1）若，求BC的长度； （2）求k的取值范围； （3）若，求k为何值时，BC最短. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在和中分别利用正弦定理结合AD平分，可得，从而可求出，进而可求出； （2）由结合三角形的面积公式及已知条件化简可得，从而可求出k的取值范围； （3）由，结合余弦定理得，令，则当最小值时，最短，化简后结合辅助角公式和正弦函数的性质可求得结果. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为AD平分，所以， 因为， 所以， 所以， 因为，， 所以，得， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以； 【小问3详解】 由余弦定理得， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以， 令，则， 所以（其中）， 所以当时，取得最小值4， 即当时，取得最小值4，此时， 所以， 因为， 所以，所以， 由（2）知， 所以， 即当时，最短. 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式和三角函数恒等变换公式的应用，第（3）问解题的关键是余弦定理结合已知条件表示出，换元后结合三角函数恒等变换公式可求得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年茂名市普通高中高一年级教学质量监测 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 且 2. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若是锐角三角形，，，则边c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点.若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是边长为1的正三角形，，分别为，的中点，则（ ） A. 与不能构成一组基底 B. C. D. 在上的投影向量为 10. 某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（ ） A. 诗经组中位数为3，众数为2 B. 论语组平均数为3，方差为1 C. 春秋组平均数为3，众数为2 D. 礼记组中位数为2，极差为4 11. 已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 在上单调递增 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知棱长为的正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______. 13. 若复数是关于x的方程的一个根，则______. 14. 在海面上，乙船以40km/h的速度朝着北偏东的方向航行，甲船在乙船的正东方向30km处.甲船上有应急物资需要运送上乙船，由于乙船有紧急任务不能停止航行，所以甲船准备沿直线方向以的速度航行与乙船相遇.为了保证甲船能在2小时内和乙船相遇，甲船航行速度的最小值为______（km/h）. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的顶点，，. （1）若单位向量与方向相同，求的坐标； （2）求向量与的夹角. 16. 已知函数. （1）若，求与交点的横坐标； （2）若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围. 17. 如图1，菱形的边长为2，，将沿着翻折到三角形的位置，连接，形成的四面体如图2所示. （1）证明：； （2）若四面体的体积为，求二面角的大小. 18. 某市体质健康测试标准包括身体形态、身体机能、躯体素质、运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人. （1）求图中a，b的值； （2）并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和上四分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）； （3）若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为，方差为；女生分数的平均数为，方差为；200名学生分数的平均数为，方差为. ①；②，请判断公式①和公式②是否相等，并说明理由. 19. 如图所示，在中，，AD平分，且. （1）若，求BC的长度； （2）求k的取值范围； （3）若，求k为何值时，BC最短. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $