精品解析：江苏省苏州市吴江区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

初二年级期末试卷 数 学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国古代的铜锁制作都十分精美，下面的四把锁中，从形状上看是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点分别在上，且，若，，，则的长是(　　) A. 3 B. C. 5 D. 5. 下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，等边三角形，点在反比例函数的图象上，轴，已知点的纵坐标为2，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要使分式有意义，则的取值范围为________． 10. 方程的根是______． 11. 如图，中，，，则______． 12. 一个二次根式与的乘积是有理数，这个二次根式可以是______．（只需写出一个即可） 13. 如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是______．（只填序号） 14. 如图，在矩形中，，点分别是的中点，连接，则的长为______． 15. 设是方程两个根，则______． 16. 如图，将绕点逆时针旋转到的位置，此时点落在上，若，，则的面积为______． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中a3． 20. 2024年6月2日嫦娥六号成功软着陆于月球背面南极—艾特肯盆地，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．2004年中国探月工程正式批准立项，20年来中国探月工程不断刷新人类月球探测的记录．为了掌握同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为______人；扇形统计图中，A所对应的扇形圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计“A：完全了解”的学生人数是多少？ 21. 不透明的袋中有若干个白球和黄球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近． （1）估计摸到白球的概率是______； （2）如果袋中有5个黄球，现又放入个黄球，再经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.6附近，求的值． 22. 公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和． （1）设动力臂为，动力为，求出与的函数表达式； （2）若小明使用的力量，他该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头？ 23. 如图，四边形中，，平分． （1）尺规作图：过点D作，交于E；（不写作法，只保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 24. 观察下列等式： …… （1）请你根据上述规律填空：______； （2）①把你发现的规律用含有的等式表示出来：______； ②证明①中的等式是正确的，并注明的取值范围． 25. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向右运动，移动到点时立即沿原路按原速返回，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动．两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为（秒）． （1）当______秒时，四边形为矩形； （2）在整个运动过程中，为何值时，以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，过点作的垂线交轴于点，是线段上一点，且，连接，设点的横坐标为． （1）点的坐标为______；（用含的代数式表示） （2）若，求点的坐标； （3）若的面积为3时，点也在反比例函数的图象上，求的值． 27. 在矩形中，，，点是边上的一个动点，，垂足为的延长线交于点． （1）如图1，延长，若三点在一直线上，，求的长； （2）过点作，垂足为： ①如图2，若，，求的面积； ②如图3，若，连接，则值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初二年级期末试卷 数 学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国古代的铜锁制作都十分精美，下面的四把锁中，从形状上看是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．不是中心对称图形．故本选项不符合题意； B．是中心对称图形．故本选项符合题意； C．不是中心对称图形．故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形．故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， ． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的除法、加法、乘法，根据运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、不是同类二次根式，不能合并，选项错误； C、不能合并，选项错误； D、，正确； 故选：D． 4. 如图，在中，点分别在上，且，若，，，则的长是(　　) A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，可得出，再利用相似三角形的性质，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 5. 下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质逐个进行证明，再进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形中，，可利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定平行四边形是菱形，故本选项正确； B、平行四边形中，，可证明平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误； C、平行四边形中，本来就有，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误； D、平行四边形中，∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误． 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，故A符合题意． 故选：A． 7. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程．设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：C． 8. 如图，等边三角形，点在反比例函数的图象上，轴，已知点的纵坐标为2，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意，作轴于，再作于，设，结合轴，，可得，从而，，又点的纵坐标为2，点在上，从而可得，进而求出，又在上，故，求出后可得的值，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，如图，作轴于，过点C作于点E，再作于． ∵是等边三角形， ∴， 设， 轴， ． ，由勾股定理得：． 点的纵坐标为2，点在上， ， ，． ， 又在上， ． ． ． （舍去）或． ，则 ∵，是等边三角形， ∴， ∴由勾股定理得： 等边的面积为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质，勾股定理，角的直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要使分式有意义，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式有意义的条件，解题关键是熟练掌握分式有意义的条件． 根据分式有意义，则要求分式分母不为，即可求得答案． 【详解】解：要使分式有意义，则分母， 即． 故答案为：． 10. 方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握常用解法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，在中，，，则______． 【答案】105 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，属于基础题，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质并灵活运用． 根据平行四边形的性质可知：，，得出，求出的度数，即可得出的度数． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 故答案为：105． 12. 一个二次根式与的乘积是有理数，这个二次根式可以是______．（只需写出一个即可） 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的有理化以及有理数的概念．根据二次根式的乘法法则进行二次根式有理化．因为与的积为有理数，根据二次根式有理化因式，这个实数可以为的有理数倍，据此填空即可． 【详解】解：∵与的乘积是有理数的二次根式可以为的有理数倍，， ∴这个二次根式可以是， 故答案为： (答案不唯一)． 13. 如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是______．（只填序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断． 【详解】解：①，而， ∴，故①正确； ②，只能得到，故②错误； ③由， 得， 又∵， ∴，故③正确， ④由， 得到， 不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误， 故答案为：①③． 14. 如图，在矩形中，，点分别是的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 连接，根据矩形的性质得，然后利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， 故答案为：． 15. 设是方程的两个根，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 根据根与系数的关系得，根据方程解的定义得，即，代入所求的式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ，，， ， ． 故答案为：9． 16. 如图，将绕点逆时针旋转到的位置，此时点落在上，若，，则的面积为______． 【答案】##4.5 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于M，过点E作于N，则 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 而 ∴四边形是矩形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到的位置， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（舍去）， ∴， ∴由勾股定理得， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）4 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）化简二次根式，利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用同分母分式加减法法则进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程和分式方程的解法，熟练掌握方程的解法是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）先去分母，解得到的整式方程，再检验，即可得得到答案； 【小问1详解】 解： 由题意得，， 则， ∴， 即，； 【小问2详解】 两边都乘以得，， 解得，， 当时，， ∴是分式方程的解 19. 先化简，再求值：，其中a3． 【答案】； 【解析】 【分析】首先把括号内的分式进行通分相减，然后把除法转化为乘法，再进行约分化为最简形式，最后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当a3时， 原式 ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算；结果化为最简形式．熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 20. 2024年6月2日嫦娥六号成功软着陆于月球背面南极—艾特肯盆地，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．2004年中国探月工程正式批准立项，20年来中国探月工程不断刷新人类月球探测的记录．为了掌握同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为______人；扇形统计图中，A所对应的扇形圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计“A：完全了解”的学生人数是多少？ 【答案】（1）100，144 （2）见详解 （3）480名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据B的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，再用乘以A占的比值；从而补全统计图； （2）用总数减去A、B、D的人数即可求出C的人数，即可补全图形； （3）用1200数乘以选择“A：完全了解”的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数为（名）， ， 故答案为：100，144； 【小问2详解】 解：C的人数有：（名）， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计“A：完全了解”的学生人数有480名． 21. 不透明的袋中有若干个白球和黄球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近． （1）估计摸到白球的概率是______； （2）如果袋中有5个黄球，现又放入个黄球，再经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.6附近，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率估计概率即可得出答案； （2）先求出原来共有黄球和白球的总数，再根据经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.6附近，列出分式方程，解分式方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在附近， 估计摸到黄球的概率为， 则估计摸到白球的概率是 故答案为：； 【小问2详解】 ∵经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近．袋中有5个黄球， ∴原来共有黄球和白球（个）， 根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， 所以． 22. 公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和． （1）设动力臂为，动力为，求出与的函数表达式； （2）若小明使用的力量，他该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数是解题的关键． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，可得出与l的 数关系式； （2）将代入可求出即可． 【小问1详解】 解：，则； 【小问2详解】 解：当时，，则． 23. 如图，四边形中，，平分． （1）尺规作图：过点D作，交于E；（不写作法，只保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作，交于点； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ∵， ， ∴ ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查作图复杂作图，菱形的判定，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，掌握菱形的判定定理． 24. 观察下列等式： …… （1）请你根据上述规律填空：______； （2）①把你发现的规律用含有的等式表示出来：______； ②证明①中的等式是正确的，并注明的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析；（n为大于1自然数） 【解析】 分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键． （1）仔细观察从上式中找出规律即可； （2）①归纳总结得到一般性规律，写出即可； ②利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【小问1详解】 解：根据前3个式子，可得； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由前面式子得出：； 故答案为：； ②证明：等式左边右边，为大于1的自然数． 25. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向右运动，移动到点时立即沿原路按原速返回，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动．两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为（秒）． （1）当______秒时，四边形为矩形； （2）在整个运动过程中，为何值时，以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，正确表示出一组对边的长度，根据判定列出含t的方程是解题的关键． （1）根据可知，当时，四边形为矩形，可表示出，的表示分两种情况：当点M从点B运动到点C时，，当点M从点C返回到B时，，令，可得或，又因为点N运动到点A时，M，N两点同时停止运动，故，因此舍去，可得秒时，四边形为矩形． （2））根据，可知当时，以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形由题意知：，当点M从点B运动到点C时，，当点M从点C返回到B时，，由，可解出或，均符合题意． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，四边形为矩形， 由题意知：， 当点M从点B运动到点C时，， 令，解得， 当点M从点C返回到B时， 令，解得， 当时，点M、N停止运动，故（不符合题意，舍去）， ∴秒时，四边形矩形． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形， 由题意知：， 当点M从点B运动到点C时， 令，解得， 当点M从点C返回到B时，， 令，解得， 检验可知，和均符合题意， ∴或时，以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，过点作的垂线交轴于点，是线段上一点，且，连接，设点的横坐标为． （1）点的坐标为______；（用含的代数式表示） （2）若，求点的坐标； （3）若的面积为3时，点也在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得直线的解析式，即可求得B点的坐标特征； （2）延长，交x轴于M，作轴于N，作于F，通过证得，即可得到，由点，得到E，； （3）表示出C、E的坐标，根据反比例函数系数列方程求得t的值，进一步即可求得k的值． 【小问1详解】 解：∵点， 设直线表达式为：， 则， ∴， ∴直线为， ∵点B是线段上的一个动点，点B的横坐标为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：延长，交x轴于M， ∵轴， ∴轴， 作轴于N，作于F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵的面积为3， ∴，即， ∴， ∴ ， 而， ∵点E、C在反比例函数的图象上， ∴， 整理得，， 解得或（舍） ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求正比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，正确表示出E、C的坐标是解题的关键． 27. 在矩形中，，，点是边上的一个动点，，垂足为的延长线交于点． （1）如图1，延长，若三点在一直线上，，求的长； （2）过点作，垂足为： ①如图2，若，，求的面积； ②如图3，若，连接，则的值为______． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，找出多组相似三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键． （1）证明出，即可求解； （2）①延长交于点G，由，求得，由，得，即，由得到，即，故；②过点C作交延长线于点K，则，延长交于点Q， 在中，由勾股定理得，由，求得，，由，求得，故在中，由勾股定理得，，，由，得到，故设，则，，由，得到，解得：，故，因此． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①，延长交于点G， 同（1）可证，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点C作交延长线于点K，则，延长交于点Q， ∵，，， ∴在中，由勾股定理得 ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵四边形是矩形， ∴，，而， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$