精品解析：重庆市主城四区2023-2024学年高一下学期期末高中学生学业质量调研测试数学试题

2023—2024学年度（下期）高中学生学业质量调研测试 高一数学试题 （全卷共6页，考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的第50百分位数为（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的求法计算即可求解. 【详解】将样本数据从小到大排序得， 因为， 所以第50百分位数为. 故选：B. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，借助复数相等求出，再利用复数除法计算即可. 【详解】设，由，得， 即，则，即， 所以. 故选：C 3. 已知向量，，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示，列式计算即得. 【详解】由向量，， 得与夹角的余弦值. 故选：A. 4. 某小区花园内现有一个圆台形的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为3，且上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为2，则这个圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知求下底半径，再由圆台表面积公式计算即可. 【详解】因为上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，所以下底面半径为6， 上底半径为3，下底半径为6，高为2，母线为, 圆台的表面积为. 故选：C. 5. 掷两颗骰子，观察掷得的点数.设事件为：至少一个点数是奇数；事件为：点数之和是偶数；事件的概率为，事件的概率为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出即可. 【详解】掷两颗骰子的试验的样本空间， ，共36个样本点， 事件含有的样本点为：，共9个， 所以. 故选：D 6. 某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为（ ） A 20 B. 30 C. 40 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】根据演讲人数及所占比求出选取的总人数，再求出绘画及合唱人数和即可得解. 【详解】由条形图得演讲人数为30，由饼状图得演讲人数占比，因此选取的总人数为， 由饼状图得绘画及合唱人数和占比为，人数和为， 由条形图得合唱人数为70，所以绘画人数为20. 故选：A 7. 在梯形中，，，，，，，分别为线段和线段上（包括线段端点）的动点，则的最大值为（ ） A B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形特征建系写出坐标，再根据数量积公式计算化简，最后求最值即可. 【详解】 以AB为x轴，过A垂直于AB的直线为y轴， 因为，所以 因为，所以， ， 当时，的最大值为3. 故选：D. 8. 已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，得到平面平面，确定当在线段上运动时，满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分为三棱锥， 求出外接球半径，得到外接球体积. 【详解】分别取的中点，连接， 故， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，故， 因为平面，平面， 所以平面， 又点是棱的中点，所以，， 故四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面， 故当在线段上运动时，满足平面， 的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分为三棱锥， 其中两两垂直，且， 故其外接球半径为， 故较小部分的外接球的体积为. 故选：A 【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是虚数单位，复数，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的实部为 C. 当时，是纯虚数 D. 对任意，均有 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的相关概念、复数模的计算逐项判断即得. 【详解】对于A，的虚部为，A错误； 对于B，的实部为，B正确； 对于C，当时，是纯虚数，C正确； 对于D，对任意，，D正确. 故选：BCD 10. 对于两个平面，和两条直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则或 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线线、线面、面面的关系逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，则或，A正确； 对于B，，当平面外的直线平行于与的交线时，满足，此时，B错误； 对于C，，，则或，而，因此，C正确； 对于D，平面内有不共线的三点构成的三角形一条中位线在平面时，满足命题条件，此时相交，D错误. 故选：AC 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 存在两个不同的实数，使得为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，验证的关系即可判断；B选项，根据时，，得到，换元后得到，利用复合函数单调性即可判断；C选项，令，此时得到，换元后得到，结合二次函数的性质即可判断；D选项，由得到只需且，从而得到且，结合，解不等式，得到相应的，，验证后即可判断. 【详解】对于A，因为 ， 所以函数的周期为，故A正确； 对于B，时，， 故，令， 则， 因为，所以，故， 且在单调递减， 则，故， 故， 则在单调递增， 由复合函数满足同增异减可知：在单调递减，故B正确； 对于C，令， 若，，即，时， ， 两边平方得：， 故， 若，，即，时， 此时， 两边平方得： 此时， 综上：对于，均有， 所以变形为， 因为，所以当时，取得最大值，最大值为1， 其中，， 因为，故最小值为， 综上：的值域为，C错； 对于D，， 则， 假设为偶函数，则， 即， 只需且， 由， 可得①，或②， 其中由①得：，不能对所有恒成立，舍去； 由②得：， 由可得：③， 由③得：， 故需要保证与同时成立， 令，解得：且， 令，解得：且，故， 取，此时，此时令， 解得：，符合要求， 取，此时，此时令，解得：，舍去， 取，此时，此时令， 解得：，符合要求， 综上：存在两个不同的实数，使得为偶函数， ，就是这两个实数，D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：三者的关系如下： ，， ， 当题目中同时出现三者或三者中的两者时，通常用换元思想来解决. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则的值为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行得到方程，求出的值. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 13. 已知，，则_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数同角关系求，则，然后利用二倍角的正弦公式化简求值即可. 【详解】因为， 所以，且， 所以，即， 故. 故答案为：. 14. 如图所示，在棱长为2的正方体中，点在该正方体的表面上运动，且，记点的轨迹长为，则_____________，_________. 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】当时，确定点P在正方体表面上的轨迹，再计算得；当时，确定点P在正方体表面上的轨迹，再计算得． 【详解】当时，点P在正方体表面正方形上动动， 其轨迹是以B为圆心，2为半径的三段弧，； 当时，点P在正方体表面正方形上运动， 记该点为，若其在正方形内时，易得，得， 因此点的轨迹为正方形内以为圆心，2为半径的圆弧，弧长为， 同理在正方形内的轨迹长度都为，所以. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：确定动点动动所在的平面及轨迹形状，是解题的关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从学校高一的1000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生的成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. （1）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分； （2）若从样本成绩属于第一组和第七组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值不低于50分的概率. 【答案】（1）（分） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据频率之和等于求出第七组的频率，再由每组数据中间值乘以相应频率相加后可得平均分； （2）求出2组中的人数并编号，列出任取2人的所有基本事件，利用古典概型求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图知第七组的频率为 ， 平均分数为（分）； 【小问2详解】 样本成绩属于第一组有人，设为， 样本成绩属于第一组有人，设为， 要使选取的人的分差的绝对值不低于50分，则这两人来自不同的组， 取法有共种， 其中来自不同的组有共种， 所以所求概率为. 16. 甲、乙、丙三人组成一组，参加篮球3分投篮团体赛.三人各自独立投篮，其中甲每次投篮成功的概率为，甲、乙各投一次都投篮成功的概率为，乙、丙各投一次都投篮成功的概率为.每人各投一次投篮成功得3分，三人得分之和记为小组团体总分. （1）求乙、丙每次投篮成功的概率分别是多少； （2）求团体总分不低于3分的概率； （3）若团体总分不低于6分，则小组晋级，求该小组晋级的概率. 【答案】（1）乙、丙每次投篮成功概率分别是 （2） （3） 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法公式计算即可. 【小问1详解】 设甲、乙、丙每次投篮命中的概率分别为， 则， 所以， 即乙、丙每次投篮成功的概率分别是； 【小问2详解】 团体总分不低于3分，即至少有一个人命中， 所以团体总分不低于3分的概率为； 【小问3详解】 团体总分不低于6分，即至少两人命中， 所以该小组晋级的概率为. 17. 如图，四棱锥中，为矩形，为的中点，平面平面，，. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，由三角形中位线性质及线面平行的判定推理即可. （2）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得. （3）取中点，连接，由面面垂直的性质可得⊥平面，再利用倍分法求出体积. 【小问1详解】 连接交于点，连接，由矩形，得点为的中点， 又为 的中点，则，而平面，平面 ， 所以平面. 【小问2详解】 矩形中⊥，面面，面面，面， 则平面，又平面，所以. 【小问3详解】 取中点，连接，由，得， 而面面，面面，面，则面， ，而，为的中点， 因此， 所以三棱锥的体积为. 18. 在锐角中，分别为内角的对边，已知， （1）求的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）利用正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理得， 整理得， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得 ， 因为，所以， 所以，所以， 而， 所以，则， 所以. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 19. 对于数集，其中，，定义向量集. （1）设，请写出向量集； （2）对任意，存在，使得，，则称具有性质.若，集合是否具有性质，若具有，求的值，若不具有，请说明理由； （3）对任意，存在，使得，则称具有性质.若具有性质，且，为常数且，当为整数集时，求证：. 【答案】（1） （2）不具有，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量集得定义即可得解； （2）由，得，取，设，则，再列举即可得出结论. （3）根据性质的定义推出为定值，结合，即可推证. 【小问1详解】 由题意； 【小问2详解】 假设存， 因为，所以， 当时，设， 则， 而集合，中，只有， 所以只能是，此时，这与已知矛盾， 所以集合不具有性质； 【小问3详解】 因为具有性质，取，则存在，， 使得，而，故，故异号， 而，故必有一个为，故，故，即， 取，因为具有性质， 所以存在，使得， 因为，故必有一个为， 若，则且，但，故，矛盾； 故，则且即， 因为， 且中除外有且只有个大于的元素， 故， 即． 【点睛】关键点点睛：处理本题第三问的关键是能够根据性质的定义，推出，以及为定值，进而根据X中只有个大于1的正数解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度（下期）高中学生学业质量调研测试 高一数学试题 （全卷共6页，考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的第50百分位数为（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 36 2 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 某小区花园内现有一个圆台形的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为3，且上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为2，则这个圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 掷两颗骰子，观察掷得的点数.设事件为：至少一个点数是奇数；事件为：点数之和是偶数；事件的概率为，事件的概率为，则 （ ） A. B. C. D. 6. 某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 45 7. 在梯形中，，，，，，，分别为线段和线段上（包括线段端点）的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是虚数单位，复数，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的实部为 C. 当时，是纯虚数 D. 对任意，均有 10. 对于两个平面，和两条直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则或 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 存在两个不同的实数，使得为偶函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则的值为_________________. 13. 已知，，则_____________. 14. 如图所示，在棱长为2的正方体中，点在该正方体的表面上运动，且，记点的轨迹长为，则_____________，_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从学校高一的1000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生的成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. （1）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分； （2）若从样本成绩属于第一组和第七组所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值不低于50分的概率. 16. 甲、乙、丙三人组成一组，参加篮球3分投篮团体赛.三人各自独立投篮，其中甲每次投篮成功的概率为，甲、乙各投一次都投篮成功的概率为，乙、丙各投一次都投篮成功的概率为.每人各投一次投篮成功得3分，三人得分之和记为小组团体总分. （1）求乙、丙每次投篮成功的概率分别是多少； （2）求团体总分不低于3分的概率； （3）若团体总分不低于6分，则小组晋级，求该小组晋级概率. 17. 如图，四棱锥中，为矩形，为的中点，平面平面，，. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）求三棱锥的体积. 18. 在锐角中，分别为内角的对边，已知， （1）求大小； （2）求的取值范围. 19. 对于数集，其中，，定义向量集. （1）设，请写出向量集； （2）对任意，存在，使得，，则称具有性质.若，集合是否具有性质，若具有，求的值，若不具有，请说明理由； （3）对任意，存在，使得，则称具有性质.若具有性质，且，为常数且，当为整数集时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$