精品解析：江西省新余市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

新余市2023-2024学年度下学期期末质量检测 高一数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式可得集合与，进而可得. 【详解】因为，， 所以， 故选：D. 2 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由复数的除法运算化简复数，再由共轭复数的概念可得选项． 【详解】由已知得，故. 故选：D． 3. 已知向量 ，则在方向上投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A. 4. 已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A. 48 B. 64 C. 80 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】由正四棱锥的体积和高，求出底面边长，再求出正四棱锥的斜高，可求侧面积. 【详解】设该正四棱锥的底面边长为a，则，解得. 设该正四棱锥的斜高为，则， 所以该正四棱锥的侧面积为. 故选：C 5. 若a，b，c为空间中的不同直线，，，为不同平面，则下列为真命题的个数是（ ） ①，，则； ②，，则； ③，，则； ④，，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中线面的位置关系判断即可. 【详解】对于①，，则与可能平行，可能异面，可能相交，故①错误； 对于②，，垂直于同一平面的两条直线平行，故②正确； 对于③，，垂直于同一平面两个平面可能平行，可能相交，故③错误； 对于④，，垂直于同一直线的两个平面平行，故④正确； 故选：C 6. 下列结论错误的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，，则为等腰直角三角形 D. 在中，若，，面积，则外接圆半径为 【答案】D 【解析】 【分析】由大边对大角和余弦定理可得A正确；由锐角三角形和余弦定理可得B正确；由题意结合余弦定理可得和关系，进而可得C正确；由三角形面积公式和余弦定理可得，再由正弦定理可得外接圆半径，可得D错误； 【详解】A：因为在中，若，由大边对大角可得， 所以，由余弦函数的单调性可得，故A正确； B：因为在锐角中，， 所以，所以恒成立，故B正确； C：因为，，① 由余弦定理可得，② ②-①可得，即，③ 将③代入①可得，解得，再代入③， 可得，即，， 所以三角形为等腰直角三角形，所以C正确； D：在中，若，，面积， 所以即， 由余弦定理可得， 所以设外接圆半径为，外接圆半径为，故D错误； 故选：D. 7. 已知为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简，求，再求，再由两角差的正切公式求. 【详解】因为，所以， 所以， 又为锐角，， 所以， 解得， 因为为锐角，所以， 又 所以 故选：A. 8. 设函数，且在区间上单调，则的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据与可得，再根据单调性可得，验证， 与即可. 【详解】由,得， 由，得， 两式作差，得， 因为在区间上单调，所以，得. 当时，,因为,所以, 所以. ，,因为， 所以在区间上不单调，不符合题意； 当时，，因为,所以， 所以. ，,因为， 所以在区间上不单调，不符合题意； 当时，，因为,所以, 所以. ，， 所以在区间上单调，符合题意，所以的最大值是3. 故选:B. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列正确的是（ ） A. 在任意四边形中，分别为的中点，则 B. 复数是虚数单位，则 C. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 D. 直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算化简判断A，根据复数的除法运算及乘方运算化简判断B，根据直四棱柱的定义判断C，根据三角形的两边之和大于第三边结合直三棱柱的结构特征判断D. 【详解】对于A，由题意，，， 且，所以，正确； 对于B，因为， 所以，正确； 对于C，长方体是四棱柱，但直四棱柱不一定是长方体， 例如当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，错误； 对于D，如图所示：    因为三棱柱的侧面均为矩形，所以三棱柱是直三棱柱， 则， 因为，且， 所以，故直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积，正确. 故选：ABD 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数图象向右平移个单位可得函数的图象 D. 若方程在上有两个不等实数根，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项． 【详解】对于A：由图可知，，所以， 所以，则， 将点代入得：， 所以，，又，所以， 所以，A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，将函数图象向右平移个单位， 可得函数，故C正确； 对于D，因为，所以函数图象关于对称， 由条件结合图象可知，于是， 所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 在棱长为2的正方体中，点分别是线段，上的动点，以下结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 若是中点，则异面直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可判断A；根据，可得即为异面直线与所成角的平面角，即可判断B；根据平面，点到平面的距离等于点到平面的距离等于，即可判断C；设，连接，易得，即可判断D. 【详解】对于A，由正方体，得， 因为平面，平面，所以， 由，平面，所以平面， 又平面，所以，同理得， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， ，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为，故B错误； 对于C，因为平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离等于，为定值， 而为定值，所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D，如图，设，连接，则为的中点，且， 因为，所以，且， 则，当且仅当位于点处取等号， 所以的长的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请将正确答案填在答题卷相应位置） 12. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中3名女生2名男生，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，则抽到2名男生的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用列举法，结合古典概型即可得解. 【详解】设名女生为，名男生为， 则有，共种抽法， 其中抽到2名男生的抽法有， 所以抽到2名男生的概率为. 故答案为：. 13. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，若为中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，即可利用向量的模长求解. 【详解】由余弦定理，，将，代入解得， 因为，所以，所以． 故答案为： 14. 如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，，过点A作，垂足为，设，利用三角形的边角关系求出，利用锥体的体积公式求出的值，确定三棱锥外接球的球心，求解外接球的半径，由表面积公式求解即可． 【详解】取的中点，连接，，过点A作，交DE的延长线于点， 所以为二面角的平面角， 设，则，， 所以， 所以，EH=， 因为三棱锥的体积为， 所以，解得：，， 设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接，，，过点O作OF⊥AH于点F，则，，，，设，则，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱锥外接球的半径满足， 则三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，棱锥的体积公式的理解与应用，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心， 四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，，，边，上的点，满足，，为中点． （1）设，求实数，的值； （2）若，求边的长． 【答案】（1），； （2）8. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得； （2）用、表示出，再根据数量积的运算律及定义计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以 ， 又，且、不共线， 所以，； 【小问2详解】 因为， 所以 ， 解得或（舍去），即边的长为． 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】（1）0.030 （2）84 （3）平均数为62；方差为23 【解析】 【分析】（1）根据各组的频率和为1列方程可求出的值； （2）先判断第75百分位数，然后列方程可求得结果； （3）先根据频率分布直方图计算出成绩在和的人数，然后根据平均数的定义和方差公式可求得结果. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1得，，解得. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第75百分位数， 由，解得， 所以第75百分位数为84； 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以； 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为 17. 高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于），点在线段上，且满足.已知，，设， （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果； （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值. 【答案】（1）时，达最大值 （2）当时，达到最大值 【解析】 【分析】（1）由三角形为直角三角形，，得到，在直角中，易得，再由点为半圆上一点，得到，，从而得到然后求解； （2）在直角中，利用等面积法得到，再在直角中，得到，从而求解. 【小问1详解】 因为三角形为直角三角形，， 所以， 在直角中，因为，所以. 因为点为半圆上一点，所以，又因为， 所以， 所以 ， 因为， 所以当，即时，达最大值； 【小问2详解】 在直角中，因为， 所以， 因为，所以， 又因为所以， 在直角中，， 所以， ，， 所以当即时，达到最大值， 答：当时，达到最大值. 18. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，此时点是线段的中点且 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明平面，再证明即可证出结论； （2）根据（1）中线面垂直的结论并结合线面角的概念找出所求角，再结合已知条件即可求解； （3）首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解. 【小问1详解】 如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为 E是BC 的中点， 所以，又因为，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着AE翻折成后，平面，因为平面， 则有，又平面， 所以平面， 由题意，易知,所以四边形是平行四边形，故， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，所以线段在平面内的射影为线段， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. 【小问3详解】 假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 19. 对于函数，，若存在实数m，n，使得函数，则称为，的“合成函数”． （1）已知，，试判断是否为，的“合成函数”？若是，求实数的值；若不是，说明理由； （2）已知，，为，的“合成函数”，且，，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围； （3）已知，，为，的“合成函数”（其中，），的定义域为，当且仅当时，取得最小值6．若对任意正实数，且，不等式恒成立，求实数p的最大值． 【答案】（1）是， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“合成函数”的定义计算即可； （2）由题意可得，则，即，令，则方程转化为关于的一元二次方程，分离参数，进而可得出答案； （3）求得，根据已知结合基本不等式求出，从而可求出的解析式，再利用基本不等式求出的最大值即可得解. 【小问1详解】 假设为，的“合成函数”， 则=， 所以，解得， 所以为，的“合成函数”，且； 【小问2详解】 因为，且，， 所以， 由， 得（*）， 令， 则，所以， 因为，所以，故， 所以方程（*）为在上有解， 所以， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 所以， 所以； 【小问3详解】 由题意， 得， 当且仅当，即时取等号， 所以，解得， 所以， 则恒成立， 因为，所以， 又，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 所以实数p的最大值为. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新余市2023-2024学年度下学期期末质量检测 高一数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量 ，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A. 48 B. 64 C. 80 D. 144 5. 若a，b，c为空间中的不同直线，，，为不同平面，则下列为真命题的个数是（ ） ①，，则； ②，，则； ③，，则； ④，，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 下列结论错误的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，，则为等腰直角三角形 D. 在中，若，，面积，则外接圆半径 7. 已知为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，且在区间上单调，则的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列正确的是（ ） A. 在任意四边形中，分别为的中点，则 B. 复数是虚数单位，则 C. 长方体四棱柱，直四棱柱是长方体 D. 直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象关于直线对称 C. 函数图象向右平移个单位可得函数的图象 D. 若方程在上有两个不等实数根，，则 11. 在棱长为2的正方体中，点分别是线段，上的动点，以下结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 若是中点，则异面直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的长的最小值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请将正确答案填在答题卷相应位置） 12. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中3名女生2名男生，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，则抽到2名男生概率为______． 13. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，若为中点，则______． 14. 如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______． 四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，，，边，上的点，满足，，为中点． （1）设，求实数，的值； （2）若，求边的长． 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 17. 高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于），点在线段上，且满足.已知，，设， （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果； （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值. 18. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 对于函数，，若存在实数m，n，使得函数，则称为，的“合成函数”． （1）已知，，试判断是否为，的“合成函数”？若是，求实数的值；若不是，说明理由； （2）已知，，为，的“合成函数”，且，，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围； （3）已知，，为，的“合成函数”（其中，），的定义域为，当且仅当时，取得最小值6．若对任意正实数，且，不等式恒成立，求实数p的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$