精品解析：山东省济宁市北湖区2023-2024学年八年级下学期数学期末试题

2023-2024学年度八年级第二学期期末质量检测 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义：形如的代数式叫做二次根式，其中a叫做被开方数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中的被开方数，故不是二次根式，不符合题意； B、是三次根式，故不是二次根式，不符合题意； C、中的a不一定大于等于0，故不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意， 故选：D． 2. 如图，在菱形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形四边形的判定，关键是掌握正方形的判定方法． 根据正方形的判定来添加合适的条件． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． 即或． 故选：B． 3. 化简的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，正确计算是解题的关键，根据算术平方根的性质计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程是解题的关键． 根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：A、，当时不是一元二次方程，故不符合题意； B、，当时不是一元二次方程，故不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D、是一元二次方程，故符合题意． 故选：D． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 6. 如图：已知点A的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的对称性，菱形即是轴对称图形，又是中心对称图形，通过题目可以发现A点和C点关于原点中心对称，可以直接计算出点C点的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵点O为坐标原点， ∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴C点坐标为， 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的对应点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， 点的坐标为，即， 故选：A． 8. 大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的应用；由黄金分割知：，由此可求得的长． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴， 即， 故选：A． 9. 如图，在中，点在边上，连接，点在线段上，且交于点，，且交于点，若，，则的长为(　　) A. 2 B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质及判定；根据，可得，结合已知得出，进而根据，可得，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 10. 如图，在中，，点P为边上任一点，过P作于E，于F，则线段的最小值是（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，矩形的判定与性质，垂线段最短等知识，证四边形是矩形，根据矩形的性质得出，根据垂线段最短得出时，最短，然后根据三角形的面积公式求出此时值即可． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， 四边形是矩形， ， 当时，最小，即最小， ， ， 由三角形面积公式得， ， 即的最小值是， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 把方程化为一般形式后，它的一次项系数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，为：．把原等式化为一般形式为，即得出答案． 【详解】解：， ， ， ∴把方程化为一般形式后，它的一次项系数为6． 故答案为：6． 12. 最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式，根据同类二次根式的定义解答即可．熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：． 13. 如图， ，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，得出是解题的关键． 14. 如果关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式等知识点，由根于系数的关系得到是解题的关键． 先根据根与系数的关系用k表示出,然后根据结合完全平方公式得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，平分，点D是的中点，与交于点O，则的值__________． 【答案】 【解析】 【分析】：如图，过点E作，垂足为F，过点D作，交于点G，由角平分线性质定理，得，由三角形面积可求证，由可进一步求证，可得，于是，求证，可得，进一步得证，，从而． 【详解】解：如图，过点E作，垂足为F，过点D作，交于点G， ∵平分，，， ∴. ∵， ∴. ∴. ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴， 又， ∴ ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，角平线的性质定理；运用相似三角形的性质推证线段之间的数量关系是解题的关键． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、解一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则及计算方法成为解题的关键． （1）直接运用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）直接运用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 如图，在四边形中，，，的角平分线交于点E，连接、，交于点O． （1）求证：四边形是菱形； （2）若点E是的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，从而推出，即可证明； （2）由菱形的性质可得，再结合线段中点，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ， ， 点E是的中点， ． 18. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°， ∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°， ∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC， ∴△ABP∽△PCD ； （2）3． 【解析】 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论； （2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1， ∴， ∵△ABP∽△PCD ， 设，则， ∴ 经检验：是原方程的解， 所以三角形的边长为：3． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； （3）求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3）9 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比的定值作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，由图可知四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接，， 由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为， 该四边形的面积为：． 20. 据统计，摩托车、电动自行车、小汽车是导致交通事故死亡最多的车辆，摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约80%为颅脑损伤致死．为确保安全出行，交警提醒骑车出行必须佩戴头盔．某头盔品牌厂商在各大电商平台共有100个网店，一个网店平均每月销售1000个头盔．现准备多开一些网店以提高销售量，试验发现，每多开1个网店，每个网店头盔月销售量就会减少2个，但随着网店数量增加，运营成本也会增加，如果要使每月总销售量增加15.2%，且尽可能减少运营成本，那么应多开几个网店? 【答案】应增加20个网店 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的实际应用，设应增加x个网店根据销售总量=每个网点销售量乘以网点数量，正确理解题意列得一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设应增加x个网店，根据题意，得 解得，， 因为网店越多，运营成本增加越多，为减少运营成本x取20 答：应增加20个网店． 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“连根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“连根方程”； （2）已知关于的方程（是常数）是“连根方程”，求的值； （3）若关于的方程（是常数）是“连根方程”，请直接写出之间满足的关系式． 【答案】（1）是连根方程 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，掌握“连根方程”的定义，是解题的关键． （1）因式分解法解方程，根据“连根方程”的定义，进行判断即可； （2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为，则另一个根为，根据根与系数的关系进行求解即可； （3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，解得：， ∵， ∴是连根方程； 【小问2详解】 ∵方程（是常数）是“连根方程”， 设的两个根为， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 方程（是常数）是“连根方程”， 设方程的两个根为：，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 故． 22. 已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义以及和的关系，可以得出，，据此求出的长即可； （2）根据和相似，可以求出和的长，过作交于，根据和可求出的值； （3）分情况讨论：当时；当时，即可解答． 【小问1详解】 解：，平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 过作交于，如图：     ， ， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，在上截取点，使，如图所示： 则， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等角的补角相等、相似三角形的判定和性质、平行线的判定及性质、等腰三角形的判定与性质、外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确判断相似条件与全等是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度八年级第二学期期末质量检测 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在菱形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 3. 化简的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 16 4. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图：已知点A的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的对应点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点在边上，连接，点在线段上，且交于点，，且交于点，若，，则的长为(　　) A. 2 B. 3 C. D. 6 10. 如图，在中，，点P为边上任一点，过P作于E，于F，则线段的最小值是（ ） A. 10 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 把方程化为一般形式后，它的一次项系数为______． 12. 最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 13. 如图， ，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，则的长为______． 14. 如果关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值是_______． 15. 如图，在中，，，，平分，点D是的中点，与交于点O，则的值__________． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 如图，在四边形中，，，的角平分线交于点E，连接、，交于点O． （1）求证：四边形是菱形； （2）若点E是的中点，，求的长． 18. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 19. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； （3）求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 20. 据统计，摩托车、电动自行车、小汽车是导致交通事故死亡最多的车辆，摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约80%为颅脑损伤致死．为确保安全出行，交警提醒骑车出行必须佩戴头盔．某头盔品牌厂商在各大电商平台共有100个网店，一个网店平均每月销售1000个头盔．现准备多开一些网店以提高销售量，试验发现，每多开1个网店，每个网店头盔月销售量就会减少2个，但随着网店数量增加，运营成本也会增加，如果要使每月总销售量增加15.2%，且尽可能减少运营成本，那么应多开几个网店? 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“连根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“连根方程”； （2）已知关于的方程（是常数）是“连根方程”，求的值； （3）若关于的方程（是常数）是“连根方程”，请直接写出之间满足的关系式． 22. 已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $