江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期末数学试卷 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知f(x)=x3,则=( ) A.0 B.﹣3 C.2 D.3 2.(5分)若关于x的不等式x2﹣2x﹣m>0的解集为{x|x<﹣2或x>n},则=( ) A.70 B.90 C.180 D.495 3.(5分)已知{an}是单调递增的等比数列,且a4+a5=27,a3a6=162,则公比q的值是( ) A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2 4.(5分)已知随机变量X服从正态分布N(4, 2)( >0),则“m=3”是“P(X≥m2)+P(X>m﹣4)=1”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.(5分)已知sin( ﹣)=cos ,则tan2 =( ) A. B.2 C. D.﹣ 6.(5分)已知点A(4,0),圆C:(x﹣a)2+(y﹣a)2=1,若圆C上存在点P使得PA=3,则实数a的最小值是( ) A.﹣1 B.1 C.0 D.2 7.(5分)已知函数f(x)=sin( x+ )( >0,| |<)的最小正周期为T,f()=f(),若f(x)在区间[0,2]上恰有8个零点,则 的取值范围是( ) A.[,4 ) B.[4 ,) C.(4 ,] D.[,) 8.(5分)已知实数x,y满足+y|y|=1,则x+2y的取值范围是( ) A.[0,) B.(0,2] C.[0,] D.(0,] 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分. (多选)9.(6分)已知动点A,B分别在直线l1:3x﹣4y+6=0与l2:3x﹣4y+10=0上移动,则线段AB的中点P到坐标原点O的距离可能为( ) A. B. C. D. (多选)10.(6分)设 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=4,c=5,cosC=,则( ) A. ABC的外接圆半径为 B.sinA= C.b=6 D. ABC为锐角三角形 (多选)11.(6分)围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字)中说:“弈,围棋也”,因此,“对弈”在当时特指下围棋,现甲与乙对弈三盘,每盘甲赢棋的概率是p1,其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘,每盘甲赢棋的概率是p2,而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立,甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是P(A)和P(B),则( ) A.p1> B.当p1+p2=1时,p2P(A)=p1P(B) C.当P(A)=P(B)时,+p1p2+> D.存在p1,对任意的p2,都有P(A)>P(B) 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 12.(5分)(1﹣)2(x﹣1)4的展开式中x3的系数是 .(用数字作答) 13.(5分)已知等边 ABC的边长为1,若平面内一点M满足=+,则与夹角的余弦值为 . 14.(5分)一个顶点为P,底面中心为O的圆锥的体积为 ,若正四棱锥O﹣ABCD内接于该圆锥,平面ABCD与该圆锥底面平行,点A,B,C,D都在圆锥的侧面上,则正四棱锥O﹣ABCD的体积的最大值是 . 四、解答题:本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,•=0. (1)求C的离心率; (2)若射线AF1交椭圆C于点B,且AB=,求a的值. 16.(15分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AA1=,AB⊥AC,D为A1C1的中点. (1)证明:AB1⊥平面A1BD; (2)若二面角A﹣BC﹣D的余弦值为,求线段AC的长度. 17.(15分)设函数f(x)=2x3﹣ax2+b,a,b∈R. (1)讨论f(x)的单调性; (2)是否存在a>0,b∈R,使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为﹣2且最大值为2?若存在,求实数a,b的值;若不存在,请说明理由. 18.(17分)已知数列{an},{bn},其中数列{an}是等差数列,且满足bn﹣an=(﹣1)nn2,a1+b1=1, a2+b2=8,n∈N*. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若cn=,求数列{cn}的前n项和Sn; (3)设数列{bn}的前n项和为Tn,记集合A={n|n≤100且Tn≤100},求集合A中所有元素的和S. 19.(17分)已知函数f(x)=cosx,且 , ∈(0,). (1)求f( )+f(﹣ )的最大值; (2)判断f( )+sin( + )与f( )的大小关系,并说明理由; (3)判断f( ),f( ),sin( + )能否作为 ABC三边长?若能,给出证明,并探究 ABC的外接圆的半径是否为定值;若不能,请说明理由.