江苏南京市第十二中学2025-2026学年高二下学期6月期末数学试题

**基本信息** 高二（下）期末数学试卷以函数、统计、导数等核心知识为载体，通过人工智能社团调研、饮品销量预测等现实情境，考查数学抽象、数据观念与逻辑推理，实现基础巩固与创新应用的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数极值、二项式定理|结合学习兴趣调查等情境考查统计应用| |多选题|3/18|回归分析、函数性质|设置弹簧实验数据判断，强化数据分析能力| |填空题|3/15|立体几何夹角、概率|以正八面体、传球游戏为载体，体现空间观念| |解答题|5/77|导数证明、双曲线综合|分层设计，如双曲线题从求方程到证明定值，培养逻辑推理与创新意识|

高二（下）期末试题 2026.6 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．的值是（     ） A．11 B．17 C．126 D．132 2．下列函数中存在极值点的是（     ） A． B． C． D． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C． D． 5．被5除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．某中学对100名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如表所示．根据此列联表中的数据可以求得，则（   ） 主动预习 不太主动预习 合计 学习兴趣高 36 14 50 学习兴趣一般 12 38 50 合计 48 52 100 参考公式：，其中． A．240 B．280 C．300 D．320 7．某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（     ） A．144 B．114 C．94 D．78 8．若，则＝（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．某实验小组为研究弹簧所受拉力（单位：）与伸长量（单位：）之间的关系，根据收集的实验数据，计算得出线性回归方程为．已知，，下列说法中，正确的有（   ） A．变量与呈负相关 B．回归直线经过点 C． D．当时， 10．设函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．直线是曲线的对称轴 C．直线是曲线的切线 D．有三个零点 11．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．______． 13．在如图所示的正八面体中，棱与所在直线的夹角为________． 14．8名同学围成一圈玩传球游戏，初始时球在甲同学手中．每轮抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，根据掷出的点数，沿顺时针方向依次传递个人．经过三轮，球回到甲手中的概率是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．某饮品店推出一款网红饮品，记录上市第天的销量（单位：杯），数据如下： 1 2 3 4 5 130 170 220 280 350 (1)求样本相关系数；（精确到0.01） (2)求关于的经验回归方程，并预测第7天该饮品的销量． 附：，，，，样本相关系数，经验回归方程中回归系数与回归截距分别为，． 16．已知角的终边经过点． (1)求的值； (2)若，求的值． 17．已知函数为奇函数． (1)求实数的值; (2)设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 18．已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 19．设函数，为函数的导函数. (1)求证：； (2)设函数. （i）讨论的单调性； （ii）若时，，求实数的取值范围. 高二（下）期末试题 2026.6 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C A C B D BCD ACD 题号 11 答案 ACD 12． 13． 14． 15．(1)样本相关系数约为 (2)经验回归方程为，第7天该饮品的销量预测为450杯 【分析】（1）计算出和的样本均值，代入公式求解即可. （2）求出回归系数与截距，得到经验回归方程，代入即可完成销量预测. 【详解】（1）样本均值，， 则， ， 因此. （2）回归系数， 截距， 故经验回归方程为. 将代入回归方程，得， 即第7天销量预测为450杯. 16．(1) (2)或 【分析】（1）先根据三角函数定义求出，再根据二倍角公式求出，最后利用正切的两角和公式求出答案. （2）先求出，再利用同角三角函数关系式求出，然后分两种情况计算. 【详解】（1）已知角的终边经过点，. ，. （2）已知角的终边经过点，，. ，. . 当时，. 当时，. 综上，或. 17．(1)； (2)①； ②证明：因为，其定义域为， 所以， 所以， 所以函数的图象关于点对称． 【分析】（1）由定义域关于原点对称，得，再代入检验即可； （2）①由题意可得，将代入求解即可； ②证明即可. 【详解】（1）因为为奇函数， 由，得， 即， 当时，得，定义域为，不满足题意； 当时，由，得， 又因为是奇函数， 故定义域关于原点对称， 所以， 解得； 当时，， 定义域为，关于原点对称， 且，满足题意； 所以； （2）①因为， 所以； ②略； 18．(1) (2) (3)由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 【分析】（1）直接由待定系数可求得双曲线方程； （2）直接用点差法求中点弦的方程并检验可得； （3）分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论：当直线的斜率存在时，设直线，，中点，结合根与系数关系得，，再圆的方程中令，设，所以由根与系数关系得，进而可将，再将代入可得；当直线的斜率不存在时，得，进而可得所求值，综上可得所证结果. 【详解】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）略 19．(1)证明见解析 (2)（i）答案见解析；（ii）. 【分析】（1）对函数求导，结合基本不等式即可求解； （2）（i）由（1）得，分类讨论的取值范围即可；（ii）根据函数的单调性，判断函数的最值即可. 【详解】（1）函数，则，当且仅当时等号成立， 所以. （2）（i）函数，则， 由（1）可知，， ①当时，，在上单调递增； ②当时，令，解得，， 由于，则有，即， 当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii）由（i）可知： ①当时，在上单调递增；恒成立； ②当时，在上单调递减，，与题设矛盾， 综上，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $