2.3.3 点到直线的距离公式 、2.3.4 两条平行直线间的距离课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式，通过复习两点间距离公式自然导入，以“如何用坐标与方程确定点到直线距离”设问，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于融合坐标法与向量法推导公式，发展学生逻辑推理与数学运算素养，如向量法中利用投影向量推导公式，体现数学思维。例题分层设计，含基础应用与延伸探究（如平行线距离最值问题），结合数形结合思想，课堂小结系统梳理公式，助力学生巩固知识，教师可直接用于分层教学，提升效率。

2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离 学习目标 1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养. 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用(重点). 3.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离(重点). 刘雨萌 导语 距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？本节课我们就来学习一下. 刘雨萌 新知探究 一、点到直线的距离公式 问题1 如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+ By+C=0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 提示（教材74页）点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线为l'，垂足为Q，由l'⊥l可知l'的斜率为， ∴l'的方程为y-y0=(x-x0)， 与l联立方程组， 解得交点Q，∴|PQ|=. 刘雨萌 问题2 向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点P到直线l的距离呢？ 新知探究 提示（教材75页）可以看作在直线l的垂线上的投影向量， 直线l：Ax+By+C=0(AB≠0)的斜率为-，所以m=(B，-A)是它的一个方向向量. (1)由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n=(A，B). (2)在直线l上任取点M(x，y)，P(x0，y0)，可得向量=(x-x0，y-y0). (3)|PQ|=||=|·n|=. 刘雨萌 知识梳理 点到直线的距离公式：d= . 注： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax+By+C=0，则当A=0或B=0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. 刘雨萌 典例分析 例1 (课本77页例5)　求点P(-1，2)到直线l：3x=2的距离. 点P(-1，2)到直线l：3x-2=0的距离d==. 例2 (课本例6)已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积. 如图，设边AB上的高为h，则S△ABC=|AB|h. |AB|==2. 边AB上的高h就是点C到直线AB的距离. 边AB所在直线l的方程为=即x+y-4=0. 点C(-1，0)到直线l：x+y-4=0的距离h==. 因此，S△ABC=×2×=5. 刘雨萌 典例分析 (学习笔记53页例1) 已知点P(2，-1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0， 由点到直线的距离公式得=2， 解得k=， 所以直线l的方程为3x-4y-10=0. 故直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0. 刘雨萌 典例分析 设原点为O，连接OP(图略)， 易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线. 由l⊥OP，得kl·kOP=-1，所以kl=-=2. 所以直线l的方程为y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0， 即直线2x-y-5=0是过点P且与原点距离最大的直线，最大距离为=. 延伸探究 (学习笔记53页) 求过点P(2，-1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ 刘雨萌 问题3 已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 新知探究 二、两条平行直线间的距离 提示　根据两条平行直线间距离的含义，如图，在直线l1上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离.这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离. 刘雨萌 新知探究 提示　在直线Ax+By+C1=0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax+By+C2=0的距离，就是这两条平行直线间的距离， 即d=， 因为点P(x0，y0)在直线Ax+By+C1=0上， 所以Ax0+By0+C1=0， 即Ax0+By0=-C1， 因此d===. 刘雨萌 知识梳理 1.两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 的长. 2.公式：两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(A，B不同时为 0，C1≠C2)之间的距离d= . 公垂线段 注： (1)两平行直线间的距离与一条直线上的任一点到另一条直线的距离相等. (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同. 刘雨萌 典例分析 例3(课本78页例7) (1)　已知两条平行直线l1：2x-7y-8=0， l2：6x-21y-1=0，求l1与l2间的距离. 方法2：先把l1x,y的系数转化为与l2相同 两条平行直线之间的距离d=== 所以l1与l2间的距离为. 方法一：先求l1与x轴的交点A的坐标.容易知道，点A的坐标为(4，0). 点A到直线l2的距离d=== 所以l1与l2间的距离为. 刘雨萌 学习笔记54页例2 (1)已知两条直线l1：2x-4y+7=0，l2：x-2y+5=0.求l1，l2间的距离. 典例分析 l1：2x-4y+7=0即x-2y+=0， 所以l1，l2间的距离为d===. (2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x+y-1=0与l2：x+y-3=0所截得的线段为AB，则AB的长为 A.1 B. C. D.2 √ 刘雨萌 反思感悟 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求. (2)公式法：设直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则两条平行直线间的距离d=. 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练1 已知直线5x+12y-3=0与直线10x+my+20=0平行，则它们之间的距离是 A.1 B.2 C. D.4 √ 由两条直线平行可得=， 解得m=24. 则直线10x+24y+20=0， 即5x+12y+10=0， 由两条平行直线间的距离公式得d==1. 刘雨萌 三、两条平行直线间的距离的最值问题 新知探究 学习笔记54页例3 两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； 如图，显然有0<d≤|AB|. 而|AB|==3. 故所求的d的变化范围为(0，3]. (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直. 而kAB==，所以所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3)， 即3x+y-20=0和3x+y+10=0. 刘雨萌 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观地观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 反思感悟 刘雨萌 跟踪训练2 已知直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，-1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是　　　　　.  x+2y-3=0 跟踪训练 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大. 因为A(1，1)，B(0，-1). 所以kAB==2， 所以两条平行直线的斜率为-， 所以直线l1的方程为y-1=-(x-1)，即x+2y-3=0. 刘雨萌 课堂小结 刘雨萌 随堂演练 1.原点到直线x+2y-5=0的距离为 A.1 B. C.2 D. √ 2.(多选)已知点M(1，4)到直线l：mx+y-1=0的距离为3，则实数m等于 A.0 B. C.3 D.2 √ √ 3.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是 A.4 B. C. D. √ 4.P，Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|PQ|的最小值为 A. B. C. D. √ 刘雨萌 课后作业 步步高练透157页 作业20 1-10（必写） 11-14（学有余力的写） 15-16（对数学有追求的写） 刘雨萌 本节内容结束 $