2.3.1 两条直线的交点坐标+2.3.2 两点间的距离公式课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式 人教A版选择性必修一 学习目标 1.能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标 2.探究并掌握两点间的距离公式 学习重点 学习难点 两条直线的交点坐标、两点间的距离 两条直线的交点坐标的求解与应用、坐标法求解几何问题 新课导入 在平面几何中，我们对直线作了定性研究。引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等. 新课学习 两条直线的交点坐标 方程组解数与两条直线的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线 l1 与 l2 的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线 l1 与 l2 的位置关系 相交 重合 平行 例题来了 解： 解： 方法一： 方法二：用斜率判断位置关系 如果不要求求交点坐标，用斜率更简单 思考一下 归纳： （3）由两点间的距离公式，既可以在已知点的坐标时求距离，也可以在已知距离时求点的坐标. 解： 例4 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 分析：首先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果翻译成几何关系 证明： 利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤为： 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量 第二步：进行有关代数运算 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论 坐标法的几何思路 几何问题 建系 代数问题 代数结论 几何结论 反推 根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法?你能说说建立适当坐标系对证明的重要性吗? 本题还可以用以对角线的交点为原点证明 证明： y x O C D B A 课堂巩固 B A A C D -1 总结一下 1.两条直线的交点公式 2.两点间的距离公式 谢谢观看 设这两条直线的交点为P，则点P既在直线 上，也在直线 上.所以点P的坐标既满足直线 的方程 ，也满足直线 的方程 ，即点P的坐标是方程组 的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 已知两条直线 , , 方程组 ，解的组数与两条直线的位置关系如图所示 例1 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形： ， . 解方程组 得 ， 所以 与 的交点是 . 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， . 分析：解直线l1，l2的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则l1与l2相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则 ；若方程组中的两个方程可化为同一个方程，则l1与l2重合. （1）解方程组 得 . 所以， 与 相交，交点是 . （2）解方程组 ， 得9=0，矛盾，这个方程组无解， 所以l1与l2无公共点， . （3）解方程组 ，①×2得 ， ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合. ； ， 与 相交. ； . ，且 ， ； ， 与 重合. 如图，由点 ， ，得 .于是， . 由此得到 ， 两点间的距离公式 . 特别地，原点 与任一点 间的距离 . （1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成 . （2）当直线 垂直于 轴时， . 当直线 垂直于 轴时， . 例3 已知点 ， ，在x轴上求一点P，使 ，并求 的值. 如图，四边形ABCD是平行四边形.以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 在 中，点A的坐标是(0，0)，设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a+b，c). 由两点间的距离公式，得 ， ， ， . 所以 ， . 所以 ， 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 以平面直角坐标系 的对角线的交点为原点， 对角线DB所在的直线为x轴，建立如图所示的 直角坐标系. 设点C的坐标为 ，点B的坐标为 （a，b，c都是正数），有平行四边形的性质， 得点A的坐标为 ，点D的坐标为 . 所以 ， ， ， .所以 ， .所以 .又因为 ， ，所以结论成立. 1.经过直线 与直线 的交点，且平行于直线 的直线方程为( ) A. B. C. D. 解析：由 ，解得 ，即两直线的交点坐标为 ， 设所求直线方程为 ， 则有 ，解得 ， 所以所求直线方程为 ，即 .故选：B. 2.若直线 与直线 的交点在第一象限，则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：联立方程组 ，解得 ， 因为直线 与直线 的交点在第一象限， 所以 ，解得 ，所以 ，即实数k的取值范围是 . 3.已知三角形的三个顶点 ， ， ，则 边上中线的长为( ) A. B. C. D. 解析：设 的中点为 ，由中点坐标公式得 ，所以 ， 所以 . 4.在平面直角坐标系xOy中，原点O到直线 与 的交点的距离为( ) A. B. C. D. 解析：因为 ，所以 ，所以交点坐标为 ， 所以原点O到交点的距离为 ， 故选:C. 5.已知点 ，在直线 和 轴上各找一点P和Q，则 的周长的最小值为( ) A. B. C. D. 解析：设点 关于直线 的对称点为 ， 则有 ， 点 关于y轴的对称点为 ，如图所示： 当 ，Q，P， 四点共线时， 的周长的最小， 最小值为 . 6.已知直线 经过两直线 和 的交点，则k的值等于______. 解析：联立方程组 ，解得 ， ，即两直线的交点为 ， 将点 代入直线 ，可得 ，解得 ， 即实数k的值为 . $$