2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2 两点间的距离公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的交点坐标与两点间距离公式，通过问题驱动（如“两条直线交点坐标怎么求”）和实例引入，搭建从平面几何定性研究到代数定量分析的桥梁，衔接直线方程与方程组解的关系，形成学习支架。 其亮点在于结合典例分析（如交点坐标求解、三角形形状判断）和坐标法证明（如平行四边形对角线性质），培养数学思维（推理、运算）与数学眼光（几何代数转化），方法总结系统（如直线位置关系条件、距离公式应用步骤），助力学生提升逻辑推理与运算能力，教师可高效实施教学。

第二章 直线和圆的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标 新课引入—两条直线的交点坐标 在平面几何中，我们对直线作了定性研究.引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.我们已经通过直线方程的系数研究直线的位置关系，进一步我们可以把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等. 作出直线和，判断两条直线位置关系如何？ 提示：直线的图象如图所示.点既在直线上，也在直线上.满足直线的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.即交点坐标是方程组 的解. 两条直线的交点坐标怎么求？ 高斯消元法 新知讲解—两条直线的交点坐标 已知两条直线和.联立两直线方程得到方程组. 直线和的位置关系 相交 重合 平行 系数满足条件 方程组解的情况 直线l1和l2交点个数 唯一解 无数解 无解 1个 无数个 0个 若两条直线相交，则交点的坐标就是方程组 的解. 典例分析—两条直线的交点坐标 例1.（1）两条直线与的交点坐标为（　　）A. B. C. D. 解析：联立 解得 ∴两条直线的交点坐标为（2，3）. （2）已知直线与相交于点，则 _______________. 解析：∵直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M（1， 1），∴ ⇒ ⇒ ∴a＋b＝－2＋1＝－1. 典例分析—两条直线位置关系的判断 例2.判断下列各对直线的位置关系.如果直线相交，求出交点的坐标： （1）和； （2）和； （3）和. 解：(1)解方程组 得 所以直线l1和l2相交，交点坐标为（2，－3）. (2)解方程组 无解，所以直线l1和l2没有公共点，即l1∥l2. (3)l1：2x＋3y－3＝0即l1：y＝－ x＋1与l2：y＝1－ x为同一个方程，即l1与l2表示同一条直线，所以l1与l2重合; 巩固训练—两条直线位置关系的判断 巩固训练2.（1）若关于的方程组（∈R）有无穷多组解，则__________. 解析：若方程组 有无穷多组解，即两条直线重合，即 ＝ ＝ ， 所以m＝－2，n＝－2，则mn＝（－2）×（－2）＝4. （2）已知三条直线，和不能围成三角形，则m的值为 ⁠. 或 典例分析—直线过定点 例3.求证：不论为何值，直线恒过一个定点. 法二　直线方程可变形为（3x＋y＋3）＋m（x＋2y－9）＝0. ∵对任意m该方程恒成立，∴ 解得故直线恒过点（－3，6）. 证明：法一　取m＝0，得直线3x＋y＋3＝0；取m＝1，得直线4x＋3y－6＝0， 解方程组 得 故两条直线的交点为（－3，6）. 下面验证直线（m＋3）x＋（2m＋1）y＝9m－3恒过点（－3，6）. 将x＝－3，y＝6代入方程，左边＝9m－3＝右边， 故直线恒过点（－3，6）. 典例分析—过定点的直线系问题 例4.求过两直线和的交点且与直线平行的直线方程. 法二　设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，即（2＋ λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0.（*） 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有 得λ＝ ，代入（*）式得 x＋ y＋（2× －3）＝0，即15x＋5y＋16＝0. 变式　本例中若将“平行”改为“垂直”，其他条件不变，如何求解？ 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3（2＋λ）＋（λ－3）×1＝0，得λ＝－ ，所以所求直线方程为5x－15y－18＝0. 方法总结—过定点的直线系问题 过两条直线交点的直线方程的求法 （1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合 其他条件写出直线方程； （2）特殊解法（直线系法）：先设出过两条直线交点的直线系方程，再 结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程. 　　提醒：过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的 直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0）. 第二章 直线和圆的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.2 两点间的距离公式 新知讲解—两点间的距离公式 如图，已知平面内两点,如何求，间的距离？ 思考 由于，则 所以两点间的距离公式为 特别地，原点间的距离 新知讲解—两点间的距离公式 你能利用构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？ 思考 当两点的连线平行轴时，; 当两点的连线平行轴时，. 典例分析—两点间的距离公式 例1.（1）已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为 ⁠. 解析：设BC的中点为D（x，y），由中点坐标公式得 所以D（4，－2），所以｜AD｜＝ ＝ ＝2 . （2）已知，，在轴上求一点，使，则点的坐标是 ⁠， 巩固训练—两点间的距离公式 巩固训练.在已知直线上存在一点，使它到点的距离为5，则直线PM的方程为 ________. 或 解析：∵点P在直线2x－y＝0上，∴可设P点坐标为（a，2a）， ∴ ＝5，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a ＝ ，∴点P的坐标为（2，4）或（ ， ）.∴直线PM的方程为 ＝ 或 ＝ ，即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0. 典例分析—两点间距离公式的应用 例2.已知的三个顶点坐标分别是，，试判断 的形状. 解：因为｜AB｜＝ ＝2 ， ｜AC｜＝ ＝ ， ｜BC｜＝ ＝5. 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形. 巩固训练—两点间距离公式的应用 巩固训练2.（1）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点 的坐标为，则的最小值为________________. 变式.若点的坐标为 *（2）函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 典例分析—坐标法的应用 例3.用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条领边的平方和的两倍. 归纳总结—坐标法的应用 用坐标法解决几何问题的基本步骤 （1）建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量； （2）进行有关的代数运算； （3）把代数运算结果“翻译”成几何关系. 　　提醒：建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算. 巩固训练—坐标法的应用 巩固训练3.（1）用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. （2）已知等腰三角形的顶点是，，｜BC｜＝4，边的中点是，则此三角形的腰长为 ⁠. 解析：｜BD｜＝ ｜BC｜＝2，｜AD｜＝ ＝ 2 ，所以在Rt△ADB中，｜AB｜＝ ＝2 . 2 课堂小结 1.两条直线位置关系的判断 2.两点间的距离公式 两点间的距离公式为 特别地，原点 间的距离 $