精品解析：重庆市巫山县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

巫山县2024年春季学业水平测试七年级下册数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 在下列实数中，无理数是（ ） A. B. 3.142 C. D. 2. 在平面直角坐标系中，在P在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，下列对于“小轩家相对于学校的位置”描述最准确的是（ ） A. 距离学校300米处 B. 在学校北偏东方向上的300米处 C. 在学校北偏西方向上的300米处 D. 在学校的西北方向 4. 下列调查方式中比较合适是（ ） A. 为了解重庆市学生的视力状况，采用全面调查的方式 B. 为了解华为手机的使用寿命，采用全面调查的方式 C. 为了解重庆市居民节水意识，采用抽样调查的方式 D. 对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式 5. 估计的值在（　　） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中错误的是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 负数的立方根一定是负数 C. 实数与数轴上的点是一一对应的关系 D. 垂线段叫做点到直线的距离 8. 中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译为“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，则的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 对于任意有序排列的整式，我们都用右边的整式减去左边的整式，将所得之差的一半写在这两个整式之间，形成一组新的整式，这种操作称为“半路差队”，且把所得到的所有整式之和记为S．现对有序排列的2个整式：，进行“半路差队”操作，可以产生一个新整式串：，，，记为整式串1，其所有整式之和记为，则．继续对整式串1进行“半路差队”操作，可以得到整式串2，其所有整式之和记为；以此类推，可以得到整式串，其所有整式之和记为．下列说法： ①整式串4共有18个整式； ②第2022次操作后，所有整式之和为； ③若，则． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在对应横线上． 11. 的平方根是______． 12. 点到轴的距离为_______． 13. 计算：_________． 14. 如图所示，在象棋盘上建立适当的平面直角坐标系，使“炮”的坐标为，“帅”的坐标为，则“马”的坐标为______． 15. 关于、的方程组的解满足，则的值为_____． 16. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则的度数为 _______度． 17. 关于的方程的解为非负数，且关于的不等式有解，求符合条件的所有整数的值的积为_______． 18. 一个三位数（，且，，均为整数），若，我们称这个三位数为等差数．例如满足：，所以是等差数；满足，所以不是等差数．若一个三位数是等差数，则__（用只含，的式子表示）；若是的倍数，则满足条件的最大等差数与最小等差数的差为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，19小题8分，20小题至26小题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤（填空题除外），画出必要的图形，包括辅助线．请将解答过程书写在对应的位置上． 19. （1）解方程组； （2）解不等式组． 20. 请填空，完成下面的证明． 如图，已知于点，于点，，证明：． 证明：，（已知） （ ） ∴（ ） ∴（ ） ∵（已知） ∴（ ） ∴（ ） ∴（ ） 21. 第19届亚洲运动会于2023年9月在浙江杭州举行，某校为了解七年级学生对亚运会相关知识的掌握情况，从中抽取了部分同学的成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： 测试成绩等级标准： 等级 E D C B A 范围 七年级学生成绩频数分布直方图和各等级人数的扇形统计图（如图）： 请根据以上信息回答下面问题： （1）本次调查共抽取了______人； （2）成绩在分的有______人； （3）请图①中补全直方图； （4）扇形统计图中“A”等级对应扇形的圆心角等于______度； （5）若成绩达到D等级与C等级的评为良等，请你估计该校七年级800名学生中成绩评为良等的约为多少人． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，．现将四边形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到四边形．（点、、、分别是点A、B、O、C的对应点）． （1）请作出平移后的四边形； （2）直接写出点的坐标______； （3）若四边形上有一点M平移后得到点则点M的坐标为______； （4）求四边形的面积． 23. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点A，且，求的度数． 24. 广东省梅大高速2024年5月1日2时10分左右发生塌方灾害，造成23辆车陷落，48人遇难，30人受伤，群众生命和财产受到了极大的危害．“众志成城，共克时艰”，某市筹集了大量的救援物资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往医院和事故现场，具体运输情况如表： 批次 货车辆数 第一批 第二批 甲型货车的数量（单位：辆） 3 4 乙型货车的数量（单位：辆） 4 5 已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输救援物资47吨，第二批累计运输救援物资60吨． （1）求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨救援物资? （2）该市后续又筹集了150吨救援物资，计划同时使用两种货车一次性运完（每辆货车都满载），已知甲型货车每辆运输成本500元/次，乙型货车每辆运输成本700元/次，请问共有哪几种运输方案？ （3）运输方案中那种成本最低？最低成本为多少元? 25. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且m，n满足，点C的坐标为． （1）直接写出m，n的值； （2）求三角形的面积； （3）若动点P在坐标轴上运动，是否存在点P，使得，若存在请直接写出满足条件的所有点P的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 综合与探究，问题情境：综合实践课上，数学老师组织同学们开展了探究三个角之间数量关系的数学活动．已知：三角形的内角和为， ，直线分别与直线、交于点F、G． （1）如图1，点E在线段上，，求的度数？ （2）如图2，是的角平分线，是的角平分线所在直线，与交于点Q，试探究与的数量关系？ （3）如图3，平分，交于点K，交于点I，且，，求度数？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 巫山县2024年春季学业水平测试七年级下册数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 在下列实数中，无理数是（ ） A. B. 3.142 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．是负整数，是有理数，不符合题意； B．3.142有限小数，是有理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D． 是的分数，是有理数，不符合题意； 故选：C． 2. 平面直角坐标系中，在P在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中象限内点的特征判断即可； 【详解】∵3＞0，-1＜0， ∴P在第四象限； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中象限内的点特征，准确分析判断是解题的关键． 3. 如图，下列对于“小轩家相对于学校的位置”描述最准确的是（ ） A. 距离学校300米处 B. 在学校北偏东方向上的300米处 C. 在学校北偏西方向上的300米处 D. 在学校的西北方向 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方向角，点的位置，关键是掌握确定点的位置的方法．方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，确定点的位置即要确定点的方向，又要确定点的距离，由此即可得到答案． 【详解】解：小轩家相对于学校的位置，最正确的是：在学校北偏西方向上的300米处． 故选：C． 4. 下列调查方式中比较合适的是（ ） A. 为了解重庆市学生的视力状况，采用全面调查的方式 B. 为了解华为手机的使用寿命，采用全面调查的方式 C. 为了解重庆市居民的节水意识，采用抽样调查的方式 D. 对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是解题的关键．根据全面调查与抽样调查的意义，结合具体的问题情境进行判断即可． 【详解】解：A、为了解重庆市学生的视力状况，采用抽样调查的方式，故原说法错误； B、为了解华为手机的使用寿命，采用抽样调查的方式，故原说法错误； C、为了解重庆市居民的节水意识，采用抽样调查的方式，故原说法正确； D、对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用全面调查的方式，故原说法错误； 故选：C． 5. 估计的值在（　　） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】A 【解析】 【分析】先估算的大小,再得出的取值范围. 【详解】, , , 所以A选项是正确的. 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力,用“夹逼法”估算的取值范围是解答此题的关键. 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则将解集在数轴上表示出来． 【详解】解：解不等式， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为得：， 表示在数轴上如图： 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7. 下列命题中错误的是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 负数的立方根一定是负数 C. 实数与数轴上的点是一一对应的关系 D. 垂线段叫做点到直线的距离 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用线段的性质、立方根的定义、实数的性质及垂线段的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，不符合题意； B、负数的立方根一定是负数，正确，不符合题意； C、实数与数轴上的点是一一对应的关系，正确，不符合题意； D、垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题错误，符合题意． 故选：D． 8. 中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译为“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选A． 9. 如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，则的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出点为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； ， 由此可见，点的坐标为，为正整数）． 当时， 则的坐标为． 故选：B． 10. 对于任意有序排列的整式，我们都用右边的整式减去左边的整式，将所得之差的一半写在这两个整式之间，形成一组新的整式，这种操作称为“半路差队”，且把所得到的所有整式之和记为S．现对有序排列的2个整式：，进行“半路差队”操作，可以产生一个新整式串：，，，记为整式串1，其所有整式之和记为，则．继续对整式串1进行“半路差队”操作，可以得到整式串2，其所有整式之和记为；以此类推，可以得到整式串，其所有整式之和记为．下列说法： ①整式串4共有18个整式； ②第2022次操作后，所有整式之和为； ③若，则． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究，整式的加减，列举出前几个整式串找出规律可判断①；求出前几个整式串的和，找出规律可判断②；根据 可判断③． 【详解】解：整式串1：，，，共有个整式； 整式串2：，， ， ，，共有个整式； 整式串3：， ，，，，，，，，共有个整式； ∴整式串4：共有个整式；故①错误； ∵， ， ， ， ，故②错误； ∵①， ∴ ②， ③， 由③得④， ，得 ， ∴，故③正确； 故选：B． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在对应横线上． 11. 的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根，根据绝对值的性质先去绝对值，再根据求一个正数的平方根的方法即可求得答案． 【详解】解： ，其平方根是， 故答案为：． 12. 点到轴的距离为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到轴的距离．根据点在平面直角坐标系中的坐标特点解答即可． 【详解】解：点 点到轴的距离为 故答案为：3． 13. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．根据有理数的乘方、算术平方根、立方根求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14. 如图所示，在象棋盘上建立适当的平面直角坐标系，使“炮”的坐标为，“帅”的坐标为，则“马”的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，直接利用已知点坐标得出原点的位置进而得出答案． 【详解】如图所示：“马”的坐标为 故答案为：． 15. 关于、的方程组的解满足，则的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查已知二元一次方程组解的情况求参数，将所给两个方程相加可得，再将作为整体代入，得到关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 得， ， ， ， 解得． 故答案为：5． 16. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则的度数为 _______度． 【答案】26 【解析】 【分析】先利用折叠的性质得到，，再利用平行线的性质求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：26 17. 关于的方程的解为非负数，且关于的不等式有解，求符合条件的所有整数的值的积为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解，先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求求出相应的k的值即可解答本题． 详解】解：解方程，得：， 由题意得 解得： ， 解不等式 ，得： ， 解不等式x，得： ， ∵不等式组有解， ∴ ， 则 ， ∴符合条件的整数k的值的积为 ， 故答案为：0． 18. 一个三位数（，且，，均为整数），若，我们称这个三位数为等差数．例如满足：，所以是等差数；满足，所以不是等差数．若一个三位数是等差数，则__（用只含，的式子表示）；若是的倍数，则满足条件的最大等差数与最小等差数的差为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的混合运算，能够结合倍数的特点及熟练掌握整数的奇偶性是解题的关键．根据题意得，推出，代入中即可用用只含，的式子表示；由，得到，进而得到，由是的倍数，可得是的倍数，结合奇偶性求出的值，再根据的倍数求出值，又，得到若是偶数，则也是偶数时才有意义，排除不符合条件的、值，进而根据求出值，得到最大、最小等差数，即可求解． 【详解】解：一个三位数是等差数， ， ， ， ； ， ， ，是的倍数， 是的倍数， 是偶数， 只有当是偶数时，才是的倍数， 或或或， ∵，且a，b，c均为整数 当时，，此时若，则，（是的倍数） 当时，，此时若，则，（是的倍数） 当时，，此时若，则，（是的倍数） 当时，，若，则，若，则，（，是的倍数） ， 若是偶数，则也是偶数时才有意义， 和时是奇数，不符合题意， 当，时，，最小等差数为， 当，时，，最大等差数为， 大等差数与最小等差数的差为：； 故答案：，． 三、解答题（本大题共8个小题，19小题8分，20小题至26小题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤（填空题除外），画出必要的图形，包括辅助线．请将解答过程书写在对应的位置上． 19. （1）解方程组； （2）解不等式组． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加减法解二元一次方程组，即可作答． （2）分别算出每个不等式的解集，再取它们公共部分解集，即可作答． 【详解】解：（1） 得 解得 把代入①，得出 解得 ∴ （2） 由①得； 由②得，解得 ∴ 20. 请填空，完成下面的证明． 如图，已知于点，于点，，证明：． 证明：，（已知） （ ） ∴（ ） ∴（ ） ∵（已知） ∴（ ） ∴（ ） ∴（ ） 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，根据同位角相等，两直线平行得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】证明： ，（已知）， （垂直定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同旁内角互补）， ∵ ， ∴ （同角的补角相等）， ∴ （内错角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等． 21. 第19届亚洲运动会于2023年9月在浙江杭州举行，某校为了解七年级学生对亚运会相关知识的掌握情况，从中抽取了部分同学的成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： 测试成绩等级标准： 等级 E D C B A 的范围 七年级学生成绩频数分布直方图和各等级人数的扇形统计图（如图）： 请根据以上信息回答下面问题： （1）本次调查共抽取了______人； （2）成绩在分的有______人； （3）请在图①中补全直方图； （4）扇形统计图中“A”等级对应扇形的圆心角等于______度； （5）若成绩达到D等级与C等级的评为良等，请你估计该校七年级800名学生中成绩评为良等的约为多少人． 【答案】（1）50 （2）12 （3）图见详解 （4）79.2 （5）约为352人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据E等级的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的总人数， （2）总人数减去其他分数段人数即可计算出成绩在的人数； （3）补全统计图即可； （3）根据频数分布直方图中A等级的人数和调查的总人数，可以计算出扇形统计图中“A”对应扇形的圆心角的度数； （5）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：本次共调查了：（人）， 故答案为：50 【小问2详解】 成绩在分的有： （人）， 故答案为：12 小问3详解】 补全直方图如下： 【小问4详解】 扇形统计图中“A”对应扇形的圆心角的大小为： 故答案为：79.2． 【小问5详解】 800人）， 答：估计该校七年级800名学生中成绩评为良等的约为352人． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，．现将四边形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到四边形．（点、、、分别是点A、B、O、C的对应点）． （1）请作出平移后四边形； （2）直接写出点的坐标______； （3）若四边形上有一点M平移后得到点则点M的坐标为______； （4）求四边形的面积． 【答案】（1）见详解 （2） （3） （4）9 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，割补法求图形面积，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）根据所给的平移方式先确定A、B、C、O对应点的坐标，再描出，最后顺次连接即可； （2）由（1）的图即可得出坐标； （3）根据点的坐标平移规律求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求， 【小问2详解】 如图所示，四边形， ∴点C1的坐标为 ， 故答案为：； 【小问3详解】 由题意得，点M向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度得到， ∴点M的坐标为，即 ， 故答案为：； 【小问4详解】 ． 23. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点A，且，求的度数． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础． （1）根据同位角相等，两直线平行可判定，得到，等量代换得出，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解； （2）由于A， 得出，再根据角平分线的定义及平行线性质即可得解． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵于A， ∴ ， 由（1）知 ， ∴， ∵平分，， ， ∴， ∴ ． 24. 广东省梅大高速2024年5月1日2时10分左右发生塌方灾害，造成23辆车陷落，48人遇难，30人受伤，群众生命和财产受到了极大的危害．“众志成城，共克时艰”，某市筹集了大量的救援物资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往医院和事故现场，具体运输情况如表： 批次 货车辆数 第一批 第二批 甲型货车的数量（单位：辆） 3 4 乙型货车的数量（单位：辆） 4 5 已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输救援物资47吨，第二批累计运输救援物资60吨． （1）求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨救援物资? （2）该市后续又筹集了150吨救援物资，计划同时使用两种货车一次性运完（每辆货车都满载），已知甲型货车每辆运输成本500元/次，乙型货车每辆运输成本700元/次，请问共有哪几种运输方案？ （3）运输方案中那种成本最低？最低成本为多少元? 【答案】（1）每辆甲型货车满载能运5吨救援物资，每辆乙型货车满载能运8吨救援物资 （2）共有3种运输方案 （3）安排6辆甲型货车，15辆乙型货车，运输成本最少；最低成本为13500元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是找出等量关系， （1）设每辆甲型货车满载能运吨救援物资，每辆乙型货车满载能运吨救援物资，根据前两批运输所使用的货车的数量及累计运输物资的吨数，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设应安排辆甲型货车，辆乙型货车，列出关于，的二元一次方程组，结合，为自然数，即可得出各运输方案，然后求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每辆甲型货车满载能运吨救援物资，每辆乙型货车满载能运吨救援物资，依题意得 ， 解得， 答：每辆甲型货车满载能运5吨救援物资，每辆乙型货车满载能运8吨救援物资； 【小问2详解】 设应安排辆甲型货车，辆乙型货车，依题意得： ， ， 又，均为自然数， 解得：或或， 共有3种运输方案， 方案1：安排22辆甲型货车，5辆乙型货车； 方案2：安排14辆甲型货车，10辆乙型货车； 方案3：安排6辆甲型货车，15辆乙型货车； 【小问3详解】 选择方案1所需费用：（元； 选择方案2所需费用：（元； 选择方案3所需费用：（元； ， 安排6辆甲型货车，15辆乙型货车，运输成本最少；最低成本为13500元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且m，n满足，点C的坐标为． （1）直接写出m，n的值； （2）求三角形的面积； （3）若动点P在坐标轴上运动，是否存在点P，使得，若存在请直接写出满足条件的所有点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）9 （3）存在；或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，坐标与图形的性质： （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求解； （2）由（1）可得，再根据三角形的面积公式计算，即可求解； （3）分两种情况：若点P在x轴上时，若点P在y轴上时，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∵点C的坐标为 ∴三角形的面积为； 【小问3详解】 解：存在， 若点P在x轴上时，设点P的坐标为，则， ∵， ∴， 解得：或， 此时点P的坐标为或； 若点P在y轴上时，设点P的坐标为，则， ∵， ∴， 解得：或7， 此时点P的坐标为或； 综上所述点P的坐标为或或或． 26. 综合与探究，问题情境：综合实践课上，数学老师组织同学们开展了探究三个角之间数量关系的数学活动．已知：三角形的内角和为， ，直线分别与直线、交于点F、G． （1）如图1，点E在线段上，，求的度数？ （2）如图2，是的角平分线，是的角平分线所在直线，与交于点Q，试探究与的数量关系？ （3）如图3，平分，交于点K，交于点I，且，，求的度数？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点． （1）过点E作．证明，可得结论； （2）延长交于点K，在的延长线上取一点P，设 ，．用x，y表示出 ，，可得结论． （3）设，则，通过三角形内角和得到，由角平分线定义及得到，求出x的值再通过三角形内角和求． 【小问1详解】 解：过点E作． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 结论：． 理由：延长交于点K，在的延长线上取一点P， 设，． 同法可证， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵， 设，则， ∵，， 又∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$