精品解析：湖南省名校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

名校联考联合体2024年春季高一年级期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的商的运算法则可求得，进而可求得，可求. 【详解】，所以. 故选：. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的并集运算即可. 【详解】集合， 所以. 故选:D. 3. 已知，把通过四舍五入精确到小数点后位的近似值分别记为，若从中任取1个数字，则满足的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题意可得， 从中任取1个数字，结果有4种， 其中满足的有，共2种，故所求概率. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将转化成统一格式，再利用对数函数的单调性以及真数的大小关系即可判断得解. 【详解】由题， 因为，且在上是增函数， 所以，即. 故选：C. 5. 已知圆台的上､下底面的半径分别为，若，过轴（其中分别为上､下底面的圆心）的轴截面的面积为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出高和母线，再利用圆台的表面积公式求解即可. 【详解】 如图所示，过点作垂直于点，则， 设圆台的高为，因为过轴的横截面的面积为， 所以，解得， 所以在直角中，， 所以. 故选：A. 6. 如图，正方形是同样大小的正方形，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，则（ ） A. B. C. D. 大小关系不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积运算求得，进而确定正确答案. 【详解】设正方形的边长为， 则， ， 所以. 故选：C 7. 将函数的图象的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】借助三角函数平移变换与伸缩变换的性质推导即可得，作出函数与在的图象可得结论. 【详解】将函数的图象的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到， 然后再向右平移个单位长度，得到， 作出函数与函数在上的图象如下图所示， 观察图象可知，曲线与的交点个数为6. 故选：C. 8. 由甲､乙､丙､丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲､丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙､丙都猜对的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相互独立事件同时发生概率公式结合条件建立方程组，进而即得. 【详解】设甲､乙､丙､丁猜对的概率依次为，依题意，根据独立事件的性质，可得 ，解得, 所以乙､丙都猜对的概率是. 故选:B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知小王2023年5月份总收入10000元，总支出5000元，他的各项收入与支出占比情况如下表： 工资 兼职 理财 其他 收入占比 衣 食 住 行 其他 支出占比 则下列判断中正确的是（ ） A. 小王2023年5月份的收入主要来源是工资 B. 小王2023年5月份的兼职收入低于食的支出 C. 小王2023年5月份的最大支出出于食 D. 小王2023年5月份的工资刚好够支出 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据表中的数据逐个分析判断即可. 【详解】对于A项，小王2023年5月份的收入来源中工资占比为，占比最大，故A正确； 对于B项，小王2023年5月份的兼职收入为，食的支出为，故小王2023年5月份的兼职收入高于食的支出，故B错误； 对于C项，小王2023年5月份的支出中食占比为，占比最大，故C正确； 对于D项，小王2023年5月份的工资收入为，刚好够支出， 故D正确. 故选：ACD. 10. 《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏赋所写的一首词作.其下阕为“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”，如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（ ） A. 秋千绳与墙面始终平行 B. 秋千绳与道路所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复 C. 秋千板与墙面所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复 D. 秋千板与道路始终垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图中秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面、线线、面面关系逐项判断可得答案． 【详解】对于A，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，故A正确； 对于B，在荡秋千的过程中，但与道路所成的角在变化，逐渐增大，逐渐减小， 逐渐增大，逐渐减小，循环往复，故B正确； 对于C，在荡秋千的过程中，秋千板始终与墙面垂直，故C错误； 对于D，在荡秋千的过程中，秋千板也与道路始终垂直.故D正确. 故选：ABD. 11. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，利用1的代换可得，可判断A；，利用二次函数可求最小值判断B；作差法比较数的大小判断C；利用1的代换可得判断D. 【详解】因为且，所以，则， 所以，， 对于A项，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B项，， 当且仅当，即时等号成立，所以，故正确； 对于C项，，因为， 所以，所以，即，故C错误； 对于D项，， 当且仅当时等号成立，此时不符合题意，所以等号不成立，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律可得答案. 【详解】由， 解得. 故答案为：. 13. 王老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为）；③在上为单调增函数.王老师说某中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确.请你写出一个这样的函数__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】写出符合其中两个条件的一个函数即可. 【详解】，定义域为），在上为单调增函数， 但不是奇函数， 所以满足②③，不满足①，符合题意. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 在直三棱柱中，分别为的中点，则过作直三棱柱的截面，则截面的面积等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，过作直三棱柱的截面就是梯形，计算可求截面等腰梯形的面积. 【详解】如图，取的中点，连接， 结合三棱柱的性质知：且，因为是的中位线， 所以且，所以且，所以四点共面， 则过作直三棱柱的截面就是梯形. 因为，所以由勾股定理得， ， 则等腰梯形的高， 所以截面等腰梯形的面积. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文笔说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为1，最小值为 【解析】 【分析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开,结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简，由正弦函数的周期公式即可得解. （2）根据自变量的取值范围为,求得的范围，结合正弦函数的图像与性质即可求得函数在区间上的最大值和最小值. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 即函数在区间的最大值为1，最小值为. 16. 某中学有高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析.得到如图所示的频率分布直方图. （1）求以及从该校高一年级､高二年级､高三年级学生中各抽取的人数； （2）根据频率分布直方图，估计该校这名学生中竞赛成绩在分（含分）以上的人数； （3）根据频率分布直方图，估计该校这名学生竞赛成绩的平均数､中位数､众数.（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）（结果取1位小数） 【答案】（1），高一年级、高二年级、高三年级分别抽取人、人、人 （2）人 （3）平均数为，中位数为，众数为 【解析】 【分析】（1）利用频数分布直方图的性质求解参数，再利用分层抽样的性质求解各个年级的人数即可. （2）利用频率近似得到概率，再求解人数即可. （3）利用平均数，中位数，众数的性质分别求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得：， 解得. 依题意从高一年级学生中抽取人， 从高二年级学生中抽取人， 从高三年级学生中抽取人. 【小问2详解】 由频率分布直方图可得样本中竞赛成绩在 80分（含80分）以上的频率为， 所以估计该校这2600名学生中竞赛成绩在 80分（含80分）以上的人数为人 【小问3详解】 估计该校这2600名学生竞赛成绩的平均数为 ， 因为， 所以中位数位于区间内，设为， 则，解得， 故估计中位数为76.4，因为区间的频率最大，所以估计众数为75. 17. 已知内角所对的边长分㓩为. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可由已知条件得到，进而得到角A； （2）先由（1）以及为锐角三角形得到角B的范围，进而利用正弦定理即可得，再结合三角恒等变换公式以及角B的范围进行推算即可得解. 【小问1详解】 由，得， 由余弦定理得， 整理得， 所以， 又，则. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，， 所以可得， 又，故由正弦定理得： ， 因为，所以，所以，则， 所以 ， 故的取值范围为. 18. 如图，在棱长为3的正方体ABCD−A'B'C'D'中，M为AD的中点. （1）求证：平面； （2）在体对角线上是否存在动点Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出DQ的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）连接交于点E，连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得面. （2）根据题意，证得平面，得到平面平面，作，利用面面垂直的性质，证得平面，再由，即可求得的长. 【小问1详解】 证明：连接，交于点E，连接. 因为四边形是正方形，所以E是的中点， 又M是的中点，所以， 因为面，面，所以面. 【小问2详解】 在对角线上存在点Q，且，使得平面， 证明如下：因为四边形是正方形，所以， 因为平面，面，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 作于Q，因为，所以， 因为平面，平面平面，所以平面， 由，可得， 所以当时，平面. 19. 将连续正奇数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当时，此时为1357911，共有7个数字，则.现从这个数中随机取一个数学，为恰好取到1的概率. （1）求， （2）当时，求的表达式； （3）求满足的的对数（注：与算一对） 【答案】（1）， （2） （3）17对 【解析】 【分析】（1）利用列举分析思想，问题可以求解； （2）利用分段函数思想，来研究个数； （3）利用分类列举思想，来解决问题. 【小问1详解】 当时，因为前5项是个位数，后45项是两位数，所以， 即这个数中共有95个数字，其中含有数字1的项有， 所以含有数字1的个数为，则恰好取到1的概率为. 【小问2详解】 当时，这个数由个一位数组成，； 当时，这个数由5个一位数和个两位数组成， 则； 当时，这个数由5个一位数，45个两位数和个三位数组成， 则； 当时，这个数由5个一位数，45个两位数，450个三位数和个四位数组成， 则； 综上所述， 【小问3详解】 由（2）得，当时，； 当时，； 当时，； 要满足， 则或， 或或或， 或或或或， 或或或或 或或或或或， 又显然是关于的单调递增函数，所以与是一一对应的， 所以满足的的对数是17对. 【点睛】方法点睛：利用分类列举思想来解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校联考联合体2024年春季高一年级期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，把通过四舍五入精确到小数点后位的近似值分别记为，若从中任取1个数字，则满足的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上､下底面的半径分别为，若，过轴（其中分别为上､下底面的圆心）的轴截面的面积为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形是同样大小的正方形，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，则（ ） A. B. C. D. 大小关系不能确定 7. 将函数的图象的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 由甲､乙､丙､丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲､丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙､丙都猜对的概率是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知小王2023年5月份总收入10000元，总支出5000元，他的各项收入与支出占比情况如下表： 工资 兼职 理财 其他 收入占比 衣 食 住 行 其他 支出占比 则下列判断中正确的是（ ） A. 小王2023年5月份的收入主要来源是工资 B. 小王2023年5月份的兼职收入低于食的支出 C. 小王2023年5月份的最大支出出于食 D. 小王2023年5月份的工资刚好够支出 10. 《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏赋所写的一首词作.其下阕为“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”，如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（ ） A. 秋千绳与墙面始终平行 B. 秋千绳与道路所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复 C. 秋千板与墙面所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复 D. 秋千板与道路始终垂直 11. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，且，则__________. 13. 王老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为）；③在上为单调增函数.王老师说某中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确.请你写出一个这样的函数__________. 14. 在直三棱柱中，分别为的中点，则过作直三棱柱的截面，则截面的面积等于__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文笔说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间的最大值和最小值. 16. 某中学有高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析.得到如图所示的频率分布直方图. （1）求以及从该校高一年级､高二年级､高三年级学生中各抽取的人数； （2）根据频率分布直方图，估计该校这名学生中竞赛成绩在分（含分）以上的人数； （3）根据频率分布直方图，估计该校这名学生竞赛成绩的平均数､中位数､众数.（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）（结果取1位小数） 17. 已知内角所对的边长分㓩为. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 18. 如图，在棱长为3的正方体ABCD−A'B'C'D'中，M为AD的中点. （1）求证：平面； （2）在体对角线上是否存在动点Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出DQ的长；若不存在，请说明理由. 19. 将连续正奇数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当时，此时为1357911，共有7个数字，则.现从这个数中随机取一个数学，为恰好取到1的概率. （1）求， （2）当时，求的表达式； （3）求满足的的对数（注：与算一对） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $