精品解析：重庆市长寿区2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（B卷）

长寿区2024年春期高中期末质量监测 高一年级数学 试题（B卷） 注意事项： 1.考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页. 2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效. 3.需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写. 4.答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数虚部的概念即可得到答案. 【详解】因为复数，则虚部为. 故选：B. 2. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数分别是 （ ） A. 45，45 B. 45，46 C. 46，45 D. 47，45 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据茎叶图知识求出中位数和众数即可． 【详解】根据题意，有30个数据，所以中位数为排序后第15和16个数的平均值： ，众数为出现最多的数，为45. 故选：C. 3. 下列常见几何体的体积公式错误的是 （ ） A. 球 B. 棱锥 C. 棱柱 D. 棱台 【答案】A 【解析】 【分析】根据球、棱锥、棱柱和棱台的体积公式即可判断. 【详解】对A，球，故A错误； 对B，棱锥，故B正确； 对C，棱柱，故C正确； 对D，棱台，故D正确. 故选：A. 4. 已知，且，则与的夹角为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及数量积公式计算向量的夹角； 【详解】由题设， 结合向量夹角范围知：，则与的夹角为. 故选：B. 5. 已知分别为三个内角的对边，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理即可得到答案. 【详解】根据正弦定理得，即， 即，解得. 故选：A. 6. 已知圆锥的底面半径是1，高是，则这个圆锥的侧面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出圆锥的母线长，再结合侧面积公式可得答案. 【详解】底面半径为1，高是，则母线长， 圆锥的侧面积为：. 故选：B. 7. 已知点在所在平面内，满足，则点是的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到的距离相等可得答案. 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 8. 复数与的积是实数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求积可得，根据复数为实数的条件，即可得解. 详解】， 若要复数与的积是实数， 则， 反之，则复数与积是实数， 所以是复数与的积是实数的充要条件， 故选：C. 9. 平面与平面平行的充分条件可以是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 直线 C. 直线，直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与平面和平面与平面的位置关系，结合充分条件的概念依次判断即可. 【详解】选项A， 当内有无数条直线都与平行时，平面与平面可能相交，故不正确； 选项B，当两个平面平行于同一条直线时，这两个平面可能相交，故不正确； 选项C，当平面平面，，，满足条件，此时平面与平面相交，故不正确. 选项D，当两个平面垂直于同一条直线时，这两个平面平行，故正确. 故选：D 10. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】建立空间直角坐标系,利用夹角公式求出，即可求解异面直线的夹角． 【详解】根据题意，以,,分别为,,轴建立空间直角坐标系， 设，,0,,,2,,,0,,,2,， ,2,,,,， ， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D． . 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 为虚数单位，复数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算． 【详解】． 故答案为：． 12. 已知点，向量，且，则点P的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可. 【详解】由向量，得，而点， 所以点P的坐标为. 故答案为： 13. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则恰好出现一次6点的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型的概率公式计算即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，两次骰子的点数的样本点共有个， 恰好出现一次6点的样本点有个， 故所求概率. 故答案为： 14. 如图，四边形ABCD是平行四边形，设向量，用向量表示向量 = _____________. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用向量减法法则有，结合线段数量关系，即可求解. 【详解】 令，则. 故答案为： 15. 已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱台的性质与勾股定理可以得到. 【详解】根据题意可得如图所示图形，则,, 过作于点，过作于点, 则，所以，即该正四棱台的高为. 故答案为：. 三、解答题（本题共5小题，每小题15分，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. 某班统计出一天中学生咨询物理、化学、生物问题的次数，其中咨询物理问题有次，化学问题有次，生物问题有次.现用分层抽样的方法抽取，抽取的样本容量为，再从样本中任取次. （1）样本点用的形式表示，写出所有的样本点； （2）求样本点中恰好抽到物理和化学各一次的概率？ 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样求出咨询物理，化学，生物问题次数分别为3，2，1，进而利用列举法求出样本点; （2）根据恰好抽到咨询物理和化学问题各一次共有6种，计算概率. 小问1详解】 用分层抽样抽到咨询物理，化学，生物问题次数分别为3，2，1. 设物理问题用，化学问题用，生物问题用. 若从样本中任取2次，有 共15种. 【小问2详解】 由（1）问知，恰好抽到咨询物理和化学问题各一次共有6种，所以恰好抽到咨询物理和化学问题各一次的概率为：. 17. 已知分别为三个内角的对边，若且. （1）求角A； （2）若，求边的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积得，代入余弦定理即可； （2）直接利用余弦定理即可. 【小问1详解】 由得 ，，. 【小问2详解】 由余弦定理得： 故. 18. 如图，正方体中，E，F分别是的中点. （1）求证：平面 （2）若正方体的边长为2，求点A到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行； （2）作出辅助线，得到平面，点A到平面的距离为的长，利用直角三角形的面积公式求出答案. 【小问1详解】 证明：取AD的中点M，连接EM，MF， 因为点M，E分别是AD，的中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为点M，F分别是AD，AB的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，得平面平面， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 过点A作交于点H， 则易证得平面，又因平面，所以， 又且，平面，故平面， 即点A到平面的距离为的长. 在中，由面积法得， 其中，得. 19. 某学校从参加高一期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段后得到如下部分频率分布直方图． （1）求分数在内的频率； （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分． 【答案】（1） （2）121 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1计算即可； （2）根据频率分布直方图中平均数计算公式即可得到答案. 【小问1详解】 分数在内的频率为 . 【小问2详解】 平均分为. 20. 如图，三棱锥是由绕着旋转得到，其中. （1）求证：平面； （2）求平面PBC与平面ABC所成二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，再由线面垂直的判定定理即可证明； （2）取BC的中点E，连接PE，AE，证得，，从而可得是平面PBC与平面ABC所成二面角的平面角，求解即可. 【小问1详解】 由题设，又平面，故平面 ； 【小问2详解】 取BC的中点E，连接PE，AE，设， 因为三角形ABC是等边三角形，所以， 由（1）知平面且面，所以，， 又平面，可得平面， 由面，则， 所以是平面PBC与平面ABC所成二面角的平面角. 在中，，故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长寿区2024年春期高中期末质量监测 高一年级数学 试题（B卷） 注意事项： 1.考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页. 2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效. 3.需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写. 4.答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数分别是 （ ） A. 45，45 B. 45，46 C 46，45 D. 47，45 3. 下列常见几何体的体积公式错误的是 （ ） A. 球 B. 棱锥 C. 棱柱 D. 棱台 4. 已知，且，则与的夹角为 （ ） A. B. C. D. 5. 已知分别为三个内角的对边，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径是1，高是，则这个圆锥的侧面积为（   ） A. B. C. D. 7. 已知点在所在平面内，满足，则点是的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心 8. 复数与的积是实数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 9. 平面与平面平行的充分条件可以是（ ） A 内有无数条直线与平行 B. 直线 C 直线，直线 D. 直线 10. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 为虚数单位，复数______． 12. 已知点，向量，且，则点P坐标为__________. 13. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则恰好出现一次6点的概率是_________． 14. 如图，四边形ABCD是平行四边形，设向量，用向量表示向量 = _____________. 15. 已知一个正四棱台上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为___________． 三、解答题（本题共5小题，每小题15分，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. 某班统计出一天中学生咨询物理、化学、生物问题的次数，其中咨询物理问题有次，化学问题有次，生物问题有次.现用分层抽样的方法抽取，抽取的样本容量为，再从样本中任取次. （1）样本点用的形式表示，写出所有的样本点； （2）求样本点中恰好抽到物理和化学各一次的概率？ 17. 已知分别为三个内角的对边，若且. （1）求角A； （2）若，求边的值． 18. 如图，正方体中，E，F分别是的中点. （1）求证：平面 （2）若正方体的边长为2，求点A到平面的距离. 19. 某学校从参加高一期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段后得到如下部分频率分布直方图． （1）求分数在内的频率； （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分． 20. 如图，三棱锥是由绕着旋转得到，其中. （1）求证：平面； （2）求平面PBC与平面ABC所成二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$