北京市东城区2023-2024学年高二下学期期末统一检测数学试题

东城区2023一2024学年度第二学期期末统一检测 高二数学 2024.7 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分）》 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 (1)已知集合M={0,a,a2},N={-2,-1,0,1,2),若1∈M,则M∩N= (A){0,1} (B)-1,0,1} (C){0,1,2} (D)(-2,-10,1;2 (2)某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿 童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高之间的散点 图，则与身高之间具有正相关关系的是 肺 视 ,5"gw ●。°。之二 →身高 0 身高 肢 B 指↑ 体柔韧度 +身高 +身高 (A)肺活量 (B)视力 (C)肢体柔韧度 (D)BMI指数 (3)已知x,y∈R,且x>y,则下列不等式中一定成立的是 (A)x2>y2 (B)>1 (C)Inx>Iny (D)2r>2y 4)袋中有10个大小相同的小球，其巾7个黄球，3个红球.每次从袋子中随机摸出一个 球，摸出的球不再放回.则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为 A号 (B)号 D品 高二数学第1页（共6页） (5)已知2=3，log5=b,则2-$的值为 (A)15 (B)号 (D)-2 (6)A,B,C三所大学发布子面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大 学.某中学现有四位学报名，若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方 法共有 (A)30种 (B)36种 (C)72种 (D)81种 (7)2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星 载天线，实现了球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口 径)为4.2m的“金色太伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星 波束呈近似平行状态射人接收天线，经反射聚集到焦点F处.若“金色大伞”的深度 为0.49m,则“金色大伞”的边缘A点到焦点F的距离为 (A)2.25m (B)2.74m (C)4.5m (D)4.99m (8)已知直线l:mx一y一2m+5=0被圆(x一3)2+(y-4)2=4截得的弦长为整数，则 满足条件的直线共有 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 (9)已知函数f(x)=a(x-a)(x-b)(a,b∈R),则“b>a>0"是“h为f(x)的极小值点”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (10)《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余 法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同， 么称a和b对模m同余，记为a=b(modm).若a=C22+Co24X3+C3o2:X32+ +C8数×32o24,a=b(mod5),则b的值可以是 (A)2023 (B)2024 (C)2025 (D)2026 尚二数学第2页（共6页） 第二部分（非选择题 共110分) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 1)函数)一+1ax的定义域是 (12)已知双曲线C的焦点为（一2,0）和(2,0)，一条渐近线方程为y=√3x,则C的方程 为 (13)已知二项式(2x十1)"=ax”十an-1x-1十…十a1x十ao的所有项的系顿和为248， 则n= a2= (14)某学校要求学生每周校园志愿服务时长不少于1小时.某周可选择的志愿服务项 目如下表所示： 岗位 环保宣讲 器材收纳 校史讲解 食堂清扫 图书整理 时长 20分钟 20分钟 25分钟 30分钟 40分钟 每位学生每天最多可选一个项目，且该周同一个项目只能选一次，则不同选择的组 合方式共有 种。 15)设aR,函数K)=>0”给出下列四个结论： -x2,x≤a. ①当a=0时，函数了(x)的最大值为0： ②当a=1时，函数fx)是增函数： ③若函数f(x)存在两个零点，则0<a<1, ④若直线y=ax与曲线y=f(x)恰有2个交点，则a<0, 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分.每局比赛严始时，由·方进行 发球，随后每两球交换一次发球权，先得1】分且至少领先2分若胜，该局比赛结 束；当某局比分打成10：10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.已 知甲、乙两人要进行一场五局三胜制（当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结 束)的比赛， (I)单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为行，乙发球时甲得分的概率为，求 甲4：0领先的概率； (Ⅱ)若每局比赛乙获胜的概率为子，且每局比赛结果相互独立，求乙以3：1赢得 比赛的概率. 高二数学第3页（头6页） (17)(本小题13分) 设函数f(x)=ae+x,其中a∈R.曲线y=f(x)在点(0，∫(0)处的切线方程为 y=-x+b. (I)求a,b的值； (Ⅱ)求∫(x)的单调区间. (18)(本小题14分) 近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能诚排.遥遥计划在A1,A2, A,A,A,A这6个国产新能源品牌或在B1,B,B,B,这4个国产燃油汽车品 牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费4000元.据测算，每行驶5 公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约指耗电1于瓦时如果购买新能源汽车： 遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷 时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如下表： 充电价格 充电服务费 充电时间段 (元/千瓦时) (元/千瓦时) 峰时 10,00一15：00和18：00一21：00 1.0 平时 7:00-10:00,15:00-18:00和 0.7 0.8 21:00-23:00 谷时 当日23：00一次日7：00 0.4 (I)若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌A,被选中的 概率； (Ⅱ)若遥遥选购新能源汽车，他在18：00,18：30,19：00,19：30，…，23：30这12 个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千凤时（用时不超过 半小时).设X为遥遥每次充电的费用，求X的分布列和数学期望； (Ⅲ)假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购 车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花要 更少. 高二数学第4页（共《页） (19)(本小题15分) 已知椭圆E语+芳=1a>6>0)过点0W),A,B分别是E的左顶点和下顶点， F是E右焦点，∠AFB=吾 (I)求E的方程： (Ⅱ)过点F的直线与椭圆E交于点P,Q,直线AP,AQ分别与直线x=4交于不 同的两点M,N.设直线FM,FN的斜率分别为k1,k2,求证：k1k2为定值， (20)(本小题15分) 已知函数f(x)-x2-alnx-l(a∈R). (I)当a=2时，求f(x)的极值； (Ⅱ)若对Vx∈(1，十∞)，f(x)>0恒成立，求a的取值范围； (Ⅲ)证明：若∫(x)在区间(1，十∞)上存在唯一零点x,则x0<c2(其中 e=2.71828…) 高二数学第5页（共6页） (21)(本小题15分) 已知n项数列Am:a1,a2,…,an(n≥3)，满足i≠j有a,≠a.对于变换T满足 V∈{1,2，…，n,有T(a)∈{a1,a2,…,an},且i≠j有T(a)≠T(a),称数列 T(An):T(a1),T(a2),…,T(an)是数列An的一个排列.i∈(1,2，…，n},记 T(a)=T(a),T+1(a)=T(T(a)(k∈N),如果k是满足T(a)=am+1-:的 最小正整数，称数列A,存在k阶逆序排列，称T是A。的k阶逆序变换 (I)已知数列A:1,2,3,4,数列T(A,):3,1,4,2,求T(A),T(A4): (Ⅱ)证明：对于4项数列A4,不存在3阶逆序变换； ()若n项数列A,存在3阶逆序变换，求n的最小值. (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 高二数学第6页（共6页） 东城区2023一2024学年度第二学期期末统一检测 高二数学参考答案及评分标准 2024.7 -、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)B (2)A (3)D (4)A (5)C (6)B (7)B (8)C (9)A (10)D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)(1,+∞) (12)x2- (13)540 (14)20 (15)①③ 三、解答题（共6小题，共85分） 16)(共13分) 解：(I)设事件A:单局比赛中甲4：0领先， 所以单局比赛中甲4：0领先的概率是务 6分 (Ⅱ)设事件B:乙以3：1赢得比赛， 则P(B)=CX号×（宁=品 所以乙以3：1赢得比赛的概率为 2 7 13分 17)(共13分) 解：(I)依题意，f(0)=a=b. 因为f(x)=ae+1,所以f(0)=a+1. 依题意，f(0)=-1,故a十1=-1，得a=-2. 所以a=b=一2. 7分 (Ⅱ)由(I)知，f(x)=-2e+1. 令f(x)=0,解得x=-ln2. 令f(x)>0,得x<-ln2,所以f(x)在区间（一oo,-ln2)上单调递增； 令f(x)<0,得x>-ln2,所以f(x)在区间(-ln2,+)上单调递减. 所以f(x)的单调递增区间为（一o∞，一1n2),单调递减区间为（一ln2,十o).…13分 (18)(共14分) 解：(I)设事件A:遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，品牌A1被选中，则 所以遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，品牌A被选中的概率是子.…4分 高二数学参考答案及评分标准第1页（共4页） (Ⅱ)12个整点或半点中，“峰时”有6个，“平时”有4个，“谷时”有2个. X的所有可能取值为36,45,54. PX=36)=是PX=45)=是，PX=50= 6 所以X的分布列为 X 36 45 54 P 3 2 所以E(X)=36×日+45×号+54×号 48(元). 9分 (Ⅲ)按新车使用8年计算，燃油汽车使用的燃油费为30000X8×3=144000(元)， 新能源汽车使用电费最多为3000X8×(1.0+0.8)=86400(元)， 5 因为购买新能源汽车比燃油车多花费40000元， 所以144000-40000-86400=17600（元）. 新能源汽车至少比燃油汽车，总花费少17600元，所以选择新能源汽车总花费更少.·14分 (19)(共15分) 解：(1)由椭圆E:若+芳=1(a>6>0)过点0w5).得6=. 因为∠AFB=号，所以c=1, 由于a2=b+2,解得a2=4. 所以E的方程为号+苦=1. ………5分 (Ⅱ)设直线PQ的方程为x=my十1. (x=my+1, 由若+1.得3m++6my-9=0 3 所以△=(6m)2+36(3m2+4)=144m+144>0. 设P(x1,y),Q(x2y),则y十= 6m 9 3m2+4'y13y2= 3m2+4 直线AP的方程为y=十2+2， 令x=4,得点M的纵坐标为yM= 6y1 6y1 x十2my十3 同理可得点N的纵坐标为yv= 6y2 my2+3 4y1y2 4y1y2 9 (my+3)(my2+3)myy2+3m(y+y2)+9 -36 3m2+4 =1 -9m1 18m2 3m2+4 3n2+4+9 所以k:k:为定值. 15分 高二数学参考答案及评分标准第2页（共4页） (20)(共15分) 解：(I)函数f(x)的定义域为(0，十∞) 当a=2时，f(x)=2x-2=2(x2-1) 令f(x)=0,解得x=1,或x=-1(舍). 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表所示： (0,1) (1,+∞) f'(x) 0 十 f(x) 单调递减 0 单调递增 因此，当x=1时，f(x)有极小值，极小值为f(1)=0.……………4分 (Ⅱ)f(x)=2x-4=2x-a ①当a≤2时，因为x∈(1，+∞)，所以2x2一a>0.所以f(x)>0.所以f(x)在区间(1，十∞) 上单调递增， 故f(x)>f(1)=0,满足题意. ②当a>2时，令(x)<0,得1<x<ya, 2, 所以fx)在区间1，)上单调递减，所以经)<f1)=0,不符合题意。 2 综上可知，a∈（一o∞，2].… ……9分 (Ⅲ)当a≤2时，由（Ⅱ）知，对任意x∈(1，十o∞)，f(x)>0恒成立，所以f(x)在区间(1，十∞) 没有零点，不符合题意， 当a>2时，因为)在区间(1，)上单调递减，且f1)=0,所以()在1，)上无零 2 点.因为f(x)在区间1，十∞)上存在唯一零点x。,所以x>②@ 2 因为当x>时，fx)>0,所以函数f)在(，+∞)上单调递增。 要证xo<e2,只要证f(x)<f(e),即只要证f(e-)>0. f(e-2)=e2a--a(a-2)-1,令t=a-2>0,只要证e2-t(t+2)-1>0. 令g(x)=e2-x(x+2)-1(x>0),g(x)=2e2-2x-2. 令h(x)=2e2r-2x-2,当x>0时，h'(.x)=4e2x-2>0, 所以g(x)在区间(0，十∞)上单调递增，则有g'(x)>g'(0)=0. 所以g(x)在区间(0，十∞)上单调递增，则有g(x)>g(0)=0,于是f(e“-2)>0得证. 故x0<e-2.…15分 高二数学参考答案及评分标准 第3页（共4页） (21)(共15分) 解：(I)因为数列A:1,2,3,4,T(A):3,1,4,2,所以T(A):4,3,2,1, T3(A):2,4,1,3,T(A):1,2,3,4.… 4分 (Ⅱ)对数列A,的任意变换T, ①若存在i∈{1,2,3,4}，有T(a,)=a,则T(a:)=a,≠a-4,则T不是A的3阶逆序变换。 ②若对{i,j,s,t}=(1,2,3,4},有T(a)=a,T(a,)=a,T(a,)=a,T(a)=a, 则T(a;)=T(a)=T(a:),T(a;)=T(a;),T(a,)=T(a.),Ts(a,)=T(a). 所以T(A,)和T(A:)是相同的数列. 若T(A,)是A的逆序排列，则T(A)也是A的逆序排列.所以T不是3阶逆序变换， ③若对{i,j,s,t}={1,2,3,4},有T(a)=a,T(a,)=a,T(a,)=a,T(a,)=a, T3(a;)=T2(aj)=T(a,)=a,T3(a)=T(a:)=T(aj)=a,ai. 所以T不是A4的3阶逆序变换， 综上所述，对于4项数列A,不存在3阶逆序变换. 9分 (Ⅲ)由（Ⅱ）知，4项数列A,不存在3阶逆序变换. 对于3项数列A3:a1,a2,a3, ①若T(a1)=a1,则T(a1)=a1≠ag,所以变换T不是A3的3阶逆序变换， ②若T(a1)=a2, 当T(a2)=a时有T(a)=ag,则T(ag)=ag≠a1,所以变换T不是Aa的3阶逆序变换. 当T(a2)=a3时有T(a3)=a1,则T3(a1)=T(a2)=T(a)=a1≠a3, 所以变换T不是A:的3阶逆序变换. ③若T(a1)=a4,同②可知，变换T不是A3的3阶逆序变换. 所以，3项数列A3不存在3阶逆序变换， 对于5项数列A:a1,a2,a3,a4,a5, 若存在3阶逆序变换T,则T(a1)=a,T3(a2)=a4,T(aa)=a3,T3(a4)=a2,T(a)=a1. ①若T(a)=ag,则对于数列A4:a1,a2,a4,as,和上述的变换T, 有T3(a1)=a5,T3(a2)=a4,T3(a4)=a2,T8(a5)=a1. 所以这个4项数列A4:a1,a2,a4,a存在3阶逆序变换，与（Ⅱ）结论矛盾. ②若T(a)≠a3,因为T3(a)=a4,则存在i,j∈{1,2,4,5}，有T(aa)=a,T(a,)=a, T(a)=as. 此时，T(a,)=T(a,)=T(a3)=a≠as-,与T是3阶逆序变换矛盾. 所以，5项数列A,不存在3阶逆序变换， 对于6项数列A6:a1,a2,a3,a4,a5,a6,存在变换T使得T(A,):a2,a3,a6,a1,a1,a5, 则T(Ag):a3,a6,a5,a2,a1,a4,T3(As):a6,as,a4,a3,a2,a1. 所以6项数列A。存在3阶逆序变换， 综上，n的最小值为6.……… 15分 高二数学参考答案及评分标准 第4页（共4页）