精品解析：广东省深圳市福田区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

福田区2023—2024学年第二学期义务教育阶段学业质量监测八年级数学 本试题共6页，22题，满分100分，考试用时90分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按上述要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，留存试卷，交回答题卡． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，下列分子结构模型示意图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，交于点O，O为中点，下列条件能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 以下说法错误的是（ ） A. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合 B. 六边形内角和为 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于 7. 关于x的方程有增根，则k的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图： ①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F； ②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G； ③作射线，交边于点H； 则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是中线，平分，过点B作交延长线于点F，垂足为点F，连接，若，，则长为（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：___________． 12. 如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个正多边形的边数为______． 13. 如图，直线（）与相交于点P，其纵坐标为3，则关于x的不等式的解集是______． 14. 如图，将含45°角的直角三角尺的直角顶点C放在一把直尺的一边上，顶点B在直尺的另一边上，与直尺的另一边交于点D，当时，D，B两点分别落在直尺上的处，则直尺的宽度为______cm． 15. 如图，在平行四边形中，，，，点E为的中点，将平行四边形沿折痕翻折，使点D落在点E处，则线段的长为______． 三、解答题（本题共7小题，其中第16题6分，第17题7分，第18题7分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分） 16. 解不等式组． 17. 先化简，后求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，，请在图中按要求画图并解答下列问题： （1）将先向上平移个单位长，再向右平移个单位长，得到（，，的对应点分别为，，），画出（要求在图上标好三角形顶点字母）； （2）直接写出的坐标______； （3）若将绕点顺时针旋转后，点A，B，C的对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______． 19. 某校为了培养学生良好的阅读习惯，去年购买了一批图书．其中科技书的单价比文学书的单价多4元，用1800元购买的科技书与用1200元购买的文学书数量相等． （1）求去年购买的文学书和科技书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价提高到10元，科技书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科技书共280本，且购买科技书和文学书的总费用不超过3000元，该校今年至少要购买多少本文学书？ 20. 如图，是中边上的中线，与相交于点E，且，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求的面积． 21. 生活中的数学 某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案．经学生会调查，得到以下信息． 信息1 某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用 45座客车 60座客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 250 300 信息2 七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配． 信息3 八年级师生如果租用45座的客车n辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满． 任务1 （1）参加此次活动的七年级师生共有______人； 任务2 （2）求参加此次活动的八年级师生共有多少人； 任务3 （3）学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案？请直接写出具体的租车方案． 22. 综合与实践： 【问题情境】 活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边绕点A逆时针旋转15°得到，则线段与线段的夹角．如图2，将等边绕点A逆时针旋转100°得到，则线段与线段所在直线的夹角． 【特例分析】 （1）如图1，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度；如图2，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度． 【类比分析】 （2）如图3，已知是等边三角形，分别在边和上截取和，使得，连接．如图4，将绕点A逆时针旋转（），连接，当和所在直线互相垂直时，线段之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由． 【延伸应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，若，，将绕点A逆时针旋转（）．当和所在直线互相垂直时，请直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福田区2023—2024学年第二学期义务教育阶段学业质量监测八年级数学 本试题共6页，22题，满分100分，考试用时90分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按上述要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，留存试卷，交回答题卡． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，下列分子结构模型示意图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义：如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，即可得到答案． 【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意； B.不是中心对称图形，不符合题意； C. 是中心对称图形，符合题意； D. 不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，依次判断，即可求解， 本题考查了，不等式的基本性质，解题的关键是：熟练掌握不等式的基本性质． 【详解】解：A、根据不等式的基本性质，在不等式两边同时加上“”，得到，即可判断， B、根据不等式的基本性质，在不等式两边同时乘以“”，即可判断， C、根据不等式的基本性质，在不等式两边同时乘以“”，即可判断， D、根据不等式的基本性质，在不等式两边同时加上“”，得到，即可判断， 故选：B． 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分解因式的定义“将几个多项式转化为几个因式的乘积”，根据分解因式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意； B．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是分解因式，故本选项不符合题意； D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件：分母不等于零，根据分母不等于零得到求解即可，熟记分式的分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ ∴ 故选：D． 5. 如图，在四边形中，交于点O，O为中点，下列条件能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键 【详解】解：∵O为的中点， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A 6. 以下说法错误的是（ ） A. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合 B. 六边形内角和为 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，多边形内角和，垂直平分线的性质，反证法的运用；熟练掌握以上知识是解题的关键；根据上述知识对选项进行判断即可； 【详解】A、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合，选项正确，不符合题意； B、多边形内角和公式为： ，当时，六边形内角和为，故选项错误，符合题意； C、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，选项正确，不符合题意； D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于，选项正确，不符合题意； 故选：B 7. 关于x的方程有增根，则k的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，求出x的值，据此即可求解． 【详解】解：去分母得，， 分式方程有增根， ，即， 把代入整式方程得：， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图： ①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F； ②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G； ③作射线，交边于点H； 则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出，进而证明是解题的关键. 由， 求得由作图得平分， 则， 由， 得， 所以， 则所以于是得到问题的答案. 【详解】∵， ∴， ∵， ∵四边形是平行四边形，在轴上 ∴轴， 由作图得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴 故选： A. 9. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答． 【详解】解：由题意得：， 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键． 10. 如图，在中，是中线，平分，过点B作交延长线于点F，垂足为点F，连接，若，，则长为（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】延长，，交于点，由平分，，可得，，，结合是中点，得到是的中位线，即可求解， 本题考查了，中线的定义，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：延长，，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由∵是中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个正多边形的边数为______． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了多边形的外角和，由每个外角都是，三角形外角和为即可求出多边形的边数． 【详解】解：∵一个正多边形的每个外角都是，外角和为， ∴多边形的边数为， 故答案为：12． 13. 如图，直线（）与相交于点P，其纵坐标为3，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想是解题的关键．利用求得P点的横坐标，以两函数图象交点为分界，不等式的解集即是直线的图象在直线的图象下方时，所对应的自变量的取值范围，由此得解． 【详解】解： 点P纵坐标为3，点P在上， 点P横坐标为， 由图象可知，不等式的解集，即是直线的图象在直线的图象下方的时，所对应的自变量的取值范围， ． 故答案为：． 14. 如图，将含45°角的直角三角尺的直角顶点C放在一把直尺的一边上，顶点B在直尺的另一边上，与直尺的另一边交于点D，当时，D，B两点分别落在直尺上的处，则直尺的宽度为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线等知识，熟练正确作出辅助线是解题关键. 过点作于点， 在中， 根据“直角三角形中度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，，利用勾股定理可得然后利用度角的直角三角形的性质得到的值，即可确定直尺的宽度. 【详解】如下图， 过点作于点， 根据题意可知：，， 在中， ， ∴ ∴直尺的宽为 故答案为： 15. 如图，在平行四边形中，，，，点E为的中点，将平行四边形沿折痕翻折，使点D落在点E处，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先过点作于点G，利用平行四边形的性质得到，进而利用勾股定理求出，，然后再利用勾股定理得到，即可得到，然后延长交的延长线于点H，过点A作于点P，过点N作于点，则，得到，，再根据等角对等边得到，进而计算，继而得到，然后根据勾股定求折痕的长度即可． 【详解】解：过点作于点G， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵点E为的中点， ∴， ∴，， 设，则， ∵，即， 解得，即， ∴， 延长交的延长线于点H，过点A作于点P，过点N作于点， ∵， ，，， 又∵， ∴， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本题共7小题，其中第16题6分，第17题7分，第18题7分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分） 16. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集， 本题考查了，解一元一次不等式组，解题的关键是：熟练掌握一元一次不等式组的解法． 【详解】解：由得：， 由得： ， ∴原不等式组的解集为：． 17. 先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键．根据分式混合运算顺序和法则化简后，把代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式 18. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，，请在图中按要求画图并解答下列问题： （1）将先向上平移个单位长，再向右平移个单位长，得到（，，的对应点分别为，，），画出（要求在图上标好三角形顶点字母）； （2）直接写出的坐标______； （3）若将绕点顺时针旋转后，点A，B，C的对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转作图，平移作图，熟练掌握作图方法是解题的关键； （1）根据题意平移即可得到； （2）根据点在图上的坐标即可求解； （3）将绕点顺时针旋转后，点A，B，C的对应点分别为，，，即可求出旋转中心的坐标为． 【小问1详解】 如图，根据题意，将先向上平移个单位长，再向右平移个单位长即可得到； 【小问2详解】 根据上图可得，点坐标为 【小问3详解】 根据题意作图： 将绕点顺时针旋转90°后，点A，B，C的对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为． 19. 某校为了培养学生良好的阅读习惯，去年购买了一批图书．其中科技书的单价比文学书的单价多4元，用1800元购买的科技书与用1200元购买的文学书数量相等． （1）求去年购买的文学书和科技书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价提高到10元，科技书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科技书共280本，且购买科技书和文学书的总费用不超过3000元，该校今年至少要购买多少本文学书？ 【答案】（1）学校去年购买文学书单价8元/本，科技书12元/本 （2）学校今年至少要购买180本文学书 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设去年购买文学书的单价为元本，则购买科技书的单价为元本，根据用1800元购买的科技书与用1200元购买的文学书数量相等．列出分式方程，解方程即可； （2）设今年购进m本，则购进科技书本，根据购买文学书和科技书的总费用不超过3000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设去年学校购买文学书单价x元/本．由题意得： 解得： 答：学校去年购买文学书单价8元/本，科技书12元/本． 【小问2详解】 解：设今年学校购买文学书m本．由题意得： ， 解得：． 答：学校今年至少要购买180本文学书． 20. 如图，是中边上的中线，与相交于点E，且，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据是边上的中线，E是的中点，得出再结合，证明四边形为平行四边形，即可作答． （2）先由等边对等角，得，运用勾股定理列式计算，得出，再结合三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 本题考查了平行四边形的判定与性质以及中位线的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵是边上的中线，E是的中点 ∴ ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∴． 21. 生活中的数学 某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案．经学生会调查，得到以下信息． 信息1 某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用 45座客车 60座客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 250 300 信息2 七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配． 信息3 八年级师生如果租用45座的客车n辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满． 任务1 （1）参加此次活动的七年级师生共有______人； 任务2 （2）求参加此次活动的八年级师生共有多少人； 任务3 （3）学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案？请直接写出具体的租车方案． 【答案】（1）420；（2） 480人；（3）共有三种租车方案：方案一：租用45座客车12辆，60座客车6辆；方案二：租用45座客车8辆，60座客车9辆；方案三：租用45座客车4辆，60座客车12辆 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用： （1）设老师一共有x人，根据题意，列出方程，即可求解； （2）根据题意，列出方程，即可求解； （3）设租用60座客车a辆，则45座客车辆，根据题意，列出不等式组，再由a为整数，且为整数，可求出a的值，即可求解． 【详解】解：（1）设老师一共有x人，根据题意得： ， 解得：， ， 答：参加此次活动的七年级师生共有420人； 故答案为：420 （2）根据题意得：， 解得：， ， 答：参加此次活动的八年级师生共有480人； （3）设租用60座客车a辆，则45座客车辆，根据题意得： ， 解得：， ∵a为整数，且为整数， ∴a取6，9，12， ∴共有三种租车方案： 方案一：租用45座客车12辆，60座客车6辆； 方案二：租用45座客车8辆，60座客车9辆； 方案三：租用45座客车4辆，60座客车12辆． 22. 综合与实践： 【问题情境】 活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边绕点A逆时针旋转15°得到，则线段与线段的夹角．如图2，将等边绕点A逆时针旋转100°得到，则线段与线段所在直线的夹角． 【特例分析】 （1）如图1，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度；如图2，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度． 【类比分析】 （2）如图3，已知是等边三角形，分别在边和上截取和，使得，连接．如图4，将绕点A逆时针旋转（），连接，当和所在直线互相垂直时，线段之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由． 【延伸应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，若，，将绕点A逆时针旋转（）．当和所在直线互相垂直时，请直接写出此时的长． 【答案】（1）30；70；（2），见解析；（3）或2 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识， （1）设与交于点F，将等边绕点A逆时针旋转得到，得到，，即可得到，得出线段与线段所在直线的夹角度数为30度；将等边绕点A逆时针旋转得到，得到，，利用四边形内角和定理得到，求出，得线段与线段所在直线的夹角度数为70度； （2）设和所在直线交于点H，则，得到，根据勾股定理得到； （3）分两种情况：当在直线上方时，过点D作于点G；当在直线下方时，过点D作于点H，根据等边三角形的性质及勾股定理求出的长． 【详解】解：（1）设与交于点F， ∵将等边绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴线段与线段所在直线的夹角度数为30度， 故答案为30； ∵将等边绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段与线段所在直线的夹角度数为70度， 故答案为70； （2）设和所在直线交于点H，则， ∴， ∴； （3）当在直线上方时， 过点D作于点G， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； 当在直线下方时， 过点D作于点H ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 综上的长度为或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $