精品解析：江苏省南通市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

江苏省南通市2023~2024学年度第二学期期末学业质量监测试卷 七年级数学 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下调查方式比较合理的是（ ） A. 了解全国学生周末使用网络情况，采用普查的方式 B. 了解全国七年级学生节约用水的情况，采用抽样调查的方式 C. 了解一沓钞票中有没有假钞，采用抽样调查的方式 D. 了解全国中学生心理健康现状，采用普查的方式 2. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 3. 画中边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中是真命题的（ ） A. 同旁内角互补 B. 三角形的外角和为 C. 两个锐角的和是锐角 D. 三角形的任意两边之和大于第三边 5. 若，则的值为（ ） A B. C. D. 6. 将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 为落实“双减”政策，刘老师把班级里48名学生分成若干小组进行小组互助学习，每个小组只能为4人或6人，则分组方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 8. 剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩余多边形纸片的内角和不可能是（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺四寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，点点其中，点C(1,-1)，在线段AB、AC、BC所围成的区域内(包括边界)，若横、纵坐标都是整数的点恰有6个，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分）． 11. 的相反数是__________． 12. 如果点在轴上，则点坐标为____________． 13. 已知二元一次方程组的解满足，则k的值是 ____. 14. 小明随机调查了所在小区50户家庭，某天各类生活垃圾的投放总量是100千克，各类生活垃圾投放量分布情况如图所示，根据以上信息，估计该小区300户家庭这一天投放的可回收物共______千克． 15. 如图，的度数为________． 16. 如图，，，将线段平移得到．若的对应点的坐标为，的对应点的坐标为，则的值为________． 17. 关于的不等式的最小整数解是4，则实数的取值范围是_____． 18. 如图，分别延长四边形的各边，使得点A，B，C，D分别为的中点，顺次连结E，F，G，H，得四边形．若，则的值等于_______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19. （1）计算：； （2）解方程组：． 20. 解不等式组，并写出所有整数解． 21. 为培养学生劳动习惯与劳动能力，某校开展“劳动伴我成长”实践活动．为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取部分学生，他们每日平均家务劳动时长（单位：分钟）数据如下： 20 21 24 25 25 26 29 30 30 32 32 34 35 35 36 36 36 37 38 39 39 40 40 40 44 44 44 46 46 46 整理分析：按照学生每日平均家务劳动时长分成六组，绘制成频数分布表和频数分布直方图． 时长分组 频数 3 4 5 9 a 3 请结合上述信息完成下列问题： （1）本次调查共抽取了_______人，频数分布表中_______，补全频数分布直方图； （2）若将所抽取学生的每日平均家务劳动时长制成扇形统计图，则组所对应的圆心角度数为_______； （3）学校准备将每日平均家务劳动时长达到40分钟及以上的学生评为“劳动小能手”，若该校有1500名学生，请估计本次被评为“劳动小能手”的学生人数． 22. 如图，在四边形中，，平分，平分． （1）若，求的度数； （2）求证． 23. 已知：在中，，的周长为21． （1）的取值范围是________； （2）若边上的中线把的周长分为15和6，求的长． 24. 某学校准备一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同）．若购买3个足球和2个篮球共需490元；购买2个足球和4个篮球共需660元． （1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？ （2）根据该学校的实际情况，需要一次性购买足球和篮球共62个，要求购买足球和篮球的总费用不超过6750元，则该学校最多可以购买多少个篮球？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点，，点C在平分线上，且点C到x轴、y轴的距离均为4． （1）点C的坐标为_______，_______； （2）直线轴且过点，点P为l上一动点，设点P的横坐标为m．若，求m的值； （3）如图2，E为x轴上一点（点E在点A的左边），过点B作，交延长线于点F，平分，延长交于点M．探究与的数量关系，并证明你的结论． 26. 【阅读材料】 数学思考】 根据光的反射定律，结合“等角的余角相等”，上图中，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角对应相等．例如：在图1、图2中，设平面镜与平面镜的夹角，从点F射出一条光线，分别在点E，点G发生反射，则有，． （1）如图1，光线经过2次反射又回到了点F，入射光线与第2次反射光线夹角为．若，则_______度； （2）如图2，光线经过2次反射，第2次反射光线为，请探索证明与α的数量关系，并直接写出当α为多少度时，； （3）如图3，有三块平面镜，入射光线与平面镜的夹角，已知入射光线从平面镜开始反射，经过n（n为正整数，）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含有m的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市2023~2024学年度第二学期期末学业质量监测试卷 七年级数学 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下调查方式比较合理的是（ ） A. 了解全国学生周末使用网络情况，采用普查的方式 B. 了解全国七年级学生节约用水的情况，采用抽样调查的方式 C. 了解一沓钞票中有没有假钞，采用抽样调查的方式 D. 了解全国中学生心理健康现状，采用普查的方式 【答案】B 【解析】 【分析】根据普查和抽样调查的定义逐项判断即可得． 【详解】A、了解全国学生周末使用网络情况，适合采用抽样调查的方式，此项不符题意； B、了解全国七年级学生节约用水的情况，适合采用抽样调查的方式，此项符合题意； C、了解一沓钞票中有没有假钞，适合采用普查的方式，此项不符题意； D、了解全国中学生心理健康现状，适合采用抽样调查的方式，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了普查、抽样调查，熟记定义是解题关键． 2. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了无理数，根据无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：含有的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数，如（相连两个2之间1的个数逐渐增加一个），由此进行判断即可． 【详解】解：在，，，中，是无限不循环小数，是无理数， 故选：A． 3. 画中边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键；根据三角形的高可进行排除选项． 【详解】解：由题意可知只有D选项符合的边上的高； 故选D． 4. 下列命题中是真命题的（ ） A. 同旁内角互补 B. 三角形的外角和为 C. 两个锐角的和是锐角 D. 三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】D 【解析】 【分析】根据同旁内角概念，外角和定理，锐角的定义和三角形三边关系对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故本选项错误； B、三角形的外角和为，故本选项错误； C、两个锐角的和不一定是锐角，故本选项错误； D、三角形的任意两边之和大于第三边，故本选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了命题和定理，熟记相关概念是解题的关键． 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：被开方数由到缩小了100倍， 结果由缩小10倍，即． 故选B． 6. 将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 为落实“双减”政策，刘老师把班级里48名学生分成若干小组进行小组互助学习，每个小组只能为4人或6人，则分组方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】D 【解析】 【分析】设可分成每小组4人的小组组，每小组6人的小组组，利用各组人数之和为48人，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出共有5种分组方案． 【详解】解：设可分成每小组4人的小组组，每小组6人的小组组， 依题意得：， ． 又，均为自然数， 或或或或 共有5种分组方案． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 8. 剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩余多边形纸片的内角和不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 【详解】解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变， 当截线为经过长方形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形，内角和为； 当截线为经过长方形一组对边的直线时，剩余图形是四边形，内角和； 当截线为只经过长方形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形，内角和为． ∴C不符合题意； 故选C 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和，解决本题的关键是理解剪掉多边形的一个角的含义． 9. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺四寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，点点其中，点C(1,-1)，在线段AB、AC、BC所围成的区域内(包括边界)，若横、纵坐标都是整数的点恰有6个，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形列出关于m的不等式，解之确定m的范围 ． 【详解】如图所示，除C（1,-1）外，所有整数点都位于AB上．整数点除了（1,0）和（1，-1）外，还剩4个点，只有在直线x=1两边，才能使得在线段AB、AC、BC所围成的区域内(包括边界)，横、纵坐标都是整数的点恰有6个，即-2<1-m-1解得2m<3， 故正确答案为A． 【点睛】此题主要考查在平面直角坐标系中描出点所在位置，根据要求找出符合条件的点的坐标是解此题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分）． 11. 的相反数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数解答即可． 【详解】解：相反数是 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相反数的概念，掌握互为相反数的两个数只有符号不同是关键． 12. 如果点在轴上，则点的坐标为____________． 【答案】（-2，0） 【解析】 【分析】根据x轴上点的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点在直角坐标系的x轴上， ∴点P的纵坐标是0， ∴m+2=0，解得:m=-2， ∴点P的坐标是（-2，0）． 故答案为：（-2，0）． 【点睛】本题考查了点的坐标，利用x轴上点的纵坐标等于零得出m的值是解题的关键． 13. 已知二元一次方程组的解满足，则k的值是 ____. 【答案】4 【解析】 【分析】将方程组中的两个方程相减，得到，结合即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴得， ∵， ∴， 解得， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了特殊法解二元一次方程组，正确掌握方程组与的关系是解题的关键． 14. 小明随机调查了所在小区50户家庭，某天各类生活垃圾的投放总量是100千克，各类生活垃圾投放量分布情况如图所示，根据以上信息，估计该小区300户家庭这一天投放的可回收物共______千克． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．也考查了用样本估计总体．用投放垃圾总量乘以可回收垃圾所占的百分比再除以50求出样本中平均每户投放的可回收垃圾的质量，再乘以，可得答案． 【详解】解：300户居民这一天投放的可回收垃圾共约:（千克）， 故答案为：． 15. 如图，的度数为________． 【答案】##360度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据三角形内角和进行列式，化简即可作答． 【详解】解：如图： ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为： 16. 如图，，，将线段平移得到．若对应点的坐标为，的对应点的坐标为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、图形的平移，根据点平移前后的坐标，判断平移方式，求出、的值，计算的值即可，熟练掌握坐标与图形、图形的平移是解题的关键． 【详解】解：∵，的对应点的坐标为， ∴， ∴向上平移了个单位， ∵，的对应点的坐标为， ∴，， ∴向右平移了个单位， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 关于的不等式的最小整数解是4，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组），先用含m的式子表示出x的取值范围，再根据最小整数解是4列出关于m的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 最小整数解是4， ， 解得， 故答案为：． 18. 如图，分别延长四边形的各边，使得点A，B，C，D分别为的中点，顺次连结E，F，G，H，得四边形．若，则的值等于_______． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，连接，根据三角形中线平分三角形面积得到，，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点A，B，C，D分别为的中点， ∴， ∴ 同理可得，， ∴， 故答案为：20 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、解二元一次方程组，熟练掌握运算法则和解二元一次方程组是解题的关键． （1）先计算立方根、绝对值、算术平方根，再加减计算即可； （2）移项得出，利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ②移项得：， 把③代入①得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为． 20. 解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】，整数解为． 【解析】 【分析】此题考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再写出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴所有整数解为． 21. 为培养学生劳动习惯与劳动能力，某校开展“劳动伴我成长”实践活动．为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取部分学生，他们每日平均家务劳动时长（单位：分钟）数据如下： 20 21 24 25 25 26 29 30 30 32 32 34 35 35 36 36 36 37 38 39 39 40 40 40 44 44 44 46 46 46 整理分析：按照学生每日平均家务劳动时长分成六组，绘制成频数分布表和频数分布直方图． 时长分组 频数 3 4 5 9 a 3 请结合上述信息完成下列问题： （1）本次调查共抽取了_______人，频数分布表中_______，补全频数分布直方图； （2）若将所抽取学生的每日平均家务劳动时长制成扇形统计图，则组所对应的圆心角度数为_______； （3）学校准备将每日平均家务劳动时长达到40分钟及以上的学生评为“劳动小能手”，若该校有1500名学生，请估计本次被评为“劳动小能手”的学生人数． 【答案】（1）30，6，图见解析 （2） （3）450人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、利用样本估计总体等： （1）先求出组人数，再补全频数分布直方图； （2）组人数所占比例乘以360度可得对应的圆心角度数； （3）用学生总人数乘以劳动时长达到40分钟及以上的学生所占比例即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查共抽取了30人，频数分布表中，补全后的频数分布直方图如下： 故答案为：30，6 【小问2详解】 解：组共9人，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计本次被评为“劳动小能手”的学生人数为450人． 22. 如图，在四边形中，，平分，平分． （1）若，求的度数； （2）求证． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，多边形的内角和定理的应用，平行线的判定，角平分线的定义，熟练的利用多边形的内角和定理解决问题是解本题的关键． （1）由四边形内角和定理得到，由平分即可得到答案； （2）设，证明，在中，，则，即可证明． 【小问1详解】 解：∵在四边形中，，， ∴， ∵平分， ∴． 【小问2详解】 证明：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴在四边形中，， ∵平分， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 23. 已知：在中，，的周长为21． （1）的取值范围是________； （2）若边上的中线把的周长分为15和6，求的长． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系、二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）设，根据三边关系列出一元一次不等式组，解不等式组即可； （2）设，，分和两种情况，分别列方程组，解方程组并根据三角形三边关系判断即可． 【小问1详解】 解：设， ∵的周长为21． ∴， ∴ 解得， 故答案为： 【小问2详解】 设，， ∵是的中线， ∴， 当时， 解得 ∴三边长为； 当时， 解得 ∴三边长； ∵ ∴不符合三角形三边关系，舍去； ∴的长为10． 24. 某学校准备一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同）．若购买3个足球和2个篮球共需490元；购买2个足球和4个篮球共需660元． （1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？ （2）根据该学校的实际情况，需要一次性购买足球和篮球共62个，要求购买足球和篮球的总费用不超过6750元，则该学校最多可以购买多少个篮球？ 【答案】（1）购买一个足球80元，一个篮球125元 （2）该学校最多可以购买39个篮球 【解析】 【分析】（1）设购买一个足球x元，一个篮球y元，根据购买3个足球和2个篮球共需490元；购买2个足球和4个篮球共需660元，列出方程组即可； （2）设该学校购买m个篮球，根据购买足球和篮球的总费用不超过6750元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个足球x元，一个篮球y元． 由题意得：， 解得：， 购买一个足球80元，一个篮球125元． 【小问2详解】 设该学校购买m个篮球． 由题意得： 解得：． 是正整数， 的最大值为39，即该学校最多可以购买39个篮球． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用．解题的关键是理解题意，找准等量关系，正确的列出方程组和不等式． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点，，点C在的平分线上，且点C到x轴、y轴的距离均为4． （1）点C的坐标为_______，_______； （2）直线轴且过点，点P为l上一动点，设点P的横坐标为m．若，求m的值； （3）如图2，E为x轴上一点（点E在点A的左边），过点B作，交延长线于点F，平分，延长交于点M．探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），7 （2）或 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）用所在长方形的面积减去四周小三角形的面积可得； （2）分点P在点A右侧与左侧两种情况，用含m的式子表示出的面积，进而可得m的值； （3）由三角形外角的性质可得，，等量代换可得，再根据平行线的性质得出，可证． 【小问1详解】 解：点C在第三象限，到x轴、y轴的距离均为4， 点C的坐标为． 如图，作轴于点H，轴于点G， ， 故答案为：，7 【小问2详解】 解：， ， 点P的坐标为，当点P在点A右侧时，如图： ， 解得； 同理，当点P在点A左侧时，可得， 综上可知，m的值为或； 【小问3详解】 解：， 证明如下： 平分， ， ， 平分， ， ， 又， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查坐标与图形，三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质等，掌握坐标系内三角形面积的求法，熟练运用分类讨论、等量代换思想是解题的关键． 26. 【阅读材料】 【数学思考】 根据光的反射定律，结合“等角的余角相等”，上图中，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角对应相等．例如：在图1、图2中，设平面镜与平面镜的夹角，从点F射出一条光线，分别在点E，点G发生反射，则有，． （1）如图1，光线经过2次反射又回到了点F，入射光线与第2次反射光线的夹角为．若，则_______度； （2）如图2，光线经过2次反射，第2次反射光线为，请探索证明与α的数量关系，并直接写出当α为多少度时，； （3）如图3，有三块平面镜，入射光线与平面镜的夹角，已知入射光线从平面镜开始反射，经过n（n为正整数，）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含有m的代数式表示）． 【答案】（1）40 （2）， （3）或 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、多边形内角和等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和平角的定义进行求解即可； （2）由三角形内角和定理求出，进一步得到，再求出即可得到答案； （3）分两种情况分别画出图形进行求解即可． 小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：40； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当时，即时，； 【小问3详解】 ①当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符， 则只能在边反射后与平行， 如图所示， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴； 综上可知，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $