精品解析：江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2024学年吴吴相新初一年级数学期末试卷 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其它笔答题． 3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，若，于点，则为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值是（ ） A. 5 B. C. D. 7 5. 已知是方程的解，则m的值为（ ） A. B. 11 C. 2 D. 6. 若不等式组的解集是，则不等式②可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一张边形纸片被撕掉一块，若该边形的每个内角都相等，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是_________． 10. 芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为________． 11. 如图，将沿射线方向平移得到，若，则________． 12. 因式分解＝_____． 13. 如图，已知：，平分，如果，那么________． 14. 如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 =__________． 15. 如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号(a，b)＝c，例如32＝9，那么记作(3，9)＝2，根据以上规定，则(－2，－)＝________． 16. 如图，在中，，，在中，，，以D为顶点作一个的角，使其两边分别交于M交于点N，连接，那么的周长为____． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式：． 18. 解方程组：． 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 20. 如图，在中，点D、E分别在AB、BC上，且，．问AF与BC有怎样的位置关系？为什么？ 21. 先化简，再求值：其中，． 22. 如图，点D在的边延长线上，点E在边上，连接交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 已知：如图，、相交于点，点、在上，，，，求证：． 24. 某商家在线上销售甲、乙两种纪念品．为了吸引顾客，该商家推出两种促销方案A和B，且每天只能选择其中一种方案进行销售．方案A，B分别对应的甲、乙两种纪念品的单件利润（单位：元）如表： 甲纪念品单件利润 乙纪念品单件利润 方案A 10 18 方案B 16 14 该商家每天限量销售甲、乙两种纪念品共100件，且当天全部售完． （1）某天采用方案A销售，当天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润共1360元，求甲、乙两种纪念品当天分别销售多少件？ （2）某天销售甲、乙两种纪念品，要使采用方案B当天所获得的利润不低于采用方案A当天所获得的利润，求甲种纪念品当天的销量至少是多少件？ 25. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2中阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：__________；图2：__________． 【例题解析】：如图3，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ，，即：， 又，． 方法二：从“形”的角度解： ，，又，， ．即． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 【类比迁移】： （2）若，则__________． （3）如图4，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 26. 阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则________，_______； （2）买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ （3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 27. （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，中，，，，P为上一点，当__________时，与是偏等积三角形； （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，求的长度； （3）如图3，四边形ABED中，，，，与是偏等积三角形吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年吴吴相新初一年级数学期末试卷 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其它笔答题． 3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方以及合并同类项，根据相关运算法则计算出各选项后再判断即可． 【详解】解：A．，原选项计算错误，不符合题意； B．，原选项计算错误，不符合题意； C．不能运算，原选项计算错误，不符合题意； D．，计算正确，不符合题意； 故选：D． 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项错误； B、的大小关系不定，原选项错误； C、，原选项正确； D、，原选项错误； 故选C． 3. 如图，直线，若，于点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂线的定义可得，从而得到，再由平行线的性质进行计算即可得到的度数． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、垂线的定义，熟练掌握平行线的性质、垂线的定义，是解题的关键． 4. 已知，则的值是（ ） A. 5 B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开，进而求出的值，进一步求出的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 故选B． 5. 已知是方程的解，则m的值为（ ） A. B. 11 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，将代入方程进行求解即可． 【详解】解：将代入，得： 故选A． 6. 若不等式组的解集是，则不等式②可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出每一个选项的解集，再与①组合，即可判断． 【详解】解：解①得， A、解得，，则不等式组的解集为，本选项符合题意； B、解得，，则不等式组的无解，本选项不符合题意； C、解得，，则不等式组的无解，本选项不符合题意； D、解得，，则不等式组的解集为，本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7. 如图，一张边形纸片被撕掉一块，若该边形的每个内角都相等，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是多边形内角和公式、正多边形的内角问题，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式． 先由题意求得，再结合多边形内角和公式及正多边形内角算法即可求解． 【详解】解：如图，延长线段和线段交于点， 依题得：， 该边形的每个内角都相等， 即， ， 又， ，， 又正边形内角， ， 解得． 故选：． 8. 关于x的不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解的情况求参数的值，求出不等式组的解集，根据不等式组的所有整数解的和为9，求出的范围，进而得到的整数解，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式组的所有的整数解为9，且， ∴不等式组的整数解为：或2,3,4， ∴或， 解得：或， ∴整数a的值有-2，-1，4，5共4个； 故选：D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是_________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，有理数乘方计算，根据有理数的乘方法则计算，判断即可得出结果． 【详解】解：当时，，， “如果，那么”是假命题， 故答案为：1（答案不唯一）． 10. 芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如图，将沿射线方向平移得到，若，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查平移的性质，关键是根据平移中连接各组对应点的线段平行且相等解答． 根据平移的性质得出，进而解答即可． 【详解】解：由平移可得，， ∵， ∴． 故答案为：6． 12. 因式分解＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式后运用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本考查了因式分解的方法，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 13. 如图，已知：，平分，如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 由可得，则；根据角平分线的性质可得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 =__________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用以及通过图形面积关系求解差值，解题的关键是明确与两个正方形面积的关系，再结合已知条件计算． 根据图形可知为边长为m的正方形面积减去重叠部分面积，为边长为n的正方形面积减去重叠部分面积，故等于两个正方形面积之差；利用平方差公式结合已知和计算差值． 【详解】解：由图形可知，，． 则． 根据平方差公式 已知 所以． 故答案为：． 15. 如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号(a，b)＝c，例如32＝9，那么记作(3，9)＝2，根据以上规定，则(－2，－)＝________． 【答案】-5 【解析】 【分析】根据题目的规定及负整数指数幂的意义即可完成． 【详解】∵ac＝b记作 (a，b)＝c，且（－2）－5＝－， ∴（－2，－）＝－5． 故答案为：－5． 【点睛】本题是新规定问题，理解新规定、掌握负整数指数幂的意义是关键． 16. 如图，在中，，，在中，，，以D为顶点作一个的角，使其两边分别交于M交于点N，连接，那么的周长为____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接．证明，得出，，证明，得出，进而得出答案． 【详解】解：延长至，使，连接． ，且， ， ，， ， ， 同理可得， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， 的周长； 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键． 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握加减消元法和代入消元法． 先根据加减消元法求得，再用代入消元法可得． 【详解】解：可得， 解得， 将代入可得， 解得， 故该方程组的解为． 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将不等式组的解集在数轴上表示如下： ． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 所以此不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示略． 20. 如图，在中，点D、E分别在AB、BC上，且，．问AF与BC有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】AF∥BC，理由见解析 【解析】 【分析】首先利用DE∥AC得出∠1=∠ACB，然后结合∠1=∠2得出∠2=∠ACB，由此即可证明结论. 【详解】AF∥BC，理由如下： ∵DE∥AC， ∴∠1=∠ACB， ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠ACB， ∴AF∥BC. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握相关概念是解题关键. 21. 先化简，再求值：其中，． 【答案】，16 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据单项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，得，然后把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵，， ∴． 22. 如图，点D在的边延长线上，点E在边上，连接交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟记三角形的内角和定理与外角的性质是解本题的关键； （1）分别利用外角得到，，再结合已知条件可得结论； （2）先求解，．再证明，从而可得答案． 【小问1详解】 证明：在中． ， 在中． ， 又∵ ∴． 【小问2详解】 ∵，． ∴，． 中． ． 中．而， ． 即：． ∴． 在中，． 23. 已知：如图，、相交于点，点、在上，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据题意先证明，进而证明，即可得证． 【详解】证明：， ， 在和中， ， 在和中 ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键． 24. 某商家在线上销售甲、乙两种纪念品．为了吸引顾客，该商家推出两种促销方案A和B，且每天只能选择其中一种方案进行销售．方案A，B分别对应的甲、乙两种纪念品的单件利润（单位：元）如表： 甲纪念品单件利润 乙纪念品单件利润 方案A 10 18 方案B 16 14 该商家每天限量销售甲、乙两种纪念品共100件，且当天全部售完． （1）某天采用方案A销售，当天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润共1360元，求甲、乙两种纪念品当天分别销售多少件？ （2）某天销售甲、乙两种纪念品，要使采用方案B当天所获得的利润不低于采用方案A当天所获得的利润，求甲种纪念品当天的销量至少是多少件？ 【答案】（1）甲、乙两种纪念品当天分别销售55件，45件 （2）甲种纪念品当天的销售至少40件 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析等量关系． （1）设甲为x件，乙为y件，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设甲 为x件，乙为y件，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲为x件，乙为y件， 解得， ∴甲、乙两种纪念品当天分别销售55件，45件； 【小问2详解】 解：设甲 为x件，乙为y件， 解得， 答：甲种纪念品当天的销售至少40件． 25. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2中阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：__________；图2：__________． 【例题解析】：如图3，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ，，即：， 又，． 方法二：从“形”的角度解： ，，又，， ．即． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 【类比迁移】： （2）若，则__________． （3）如图4，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）；（2）10（3）5 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，灵活运用乘法公式是解题的关键． （1）根据阴影部分面积的不同表示方式，列式后即可得出能解释的数学公式； （2）将和看作是整体，然后利用完全平方公式变形，化简后整体代入求解即可； （3）设，则，根据可得，然后根据列式求出，进而可得答案． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； 图2中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得： 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ， 故答案为：10 （3）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 26. 阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则________，_______； （2）买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ （3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】（1），． （2）购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． （3）该值为． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组，加减消元法解三元一次方程组，解题关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意列出二元一次方程组后利用加减消元法即可得解； （2）设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元，根据题意列出三元一次方程组，再用加减消元法求解； （3）根据题意列出三元一次方程组，用加减消元法即可求解． 【小问1详解】 解：依题得， 则可得即， 可得即． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元， 则依题得， 可得， 即， ． 答：购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． 【小问3详解】 解：依题得，由 可得， 即， ． 27. （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，中，，，，P为上一点，当__________时，与是偏等积三角形； （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，求的长度； （3）如图3，四边形ABED中，，，，与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【答案】（1）4.5；（2）2或3；（3）是，见解析 【解析】 【分析】（1）当，与是偏等积三角形，证，再证与不全等，即可得出结论； （2）由偏等积三角形的定义得，则，再证，则，得，然后由三角形的三边关系求解即可； （3）过A作于M，过B作于N，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，与是偏等积三角形，理由如下： 设点B到AC的距离为h，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形， 故答案为：； （2）解：设点A到的距离为n，则， ∵与是偏等积三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵线段的长度为正整数， ∴的长度为偶数， 在中，， ∴， 即：， ∴或6， ∴或； （3）与是偏等积三角形，理由如下： 过A作交的延长线于M，过B作于N，如图所示： 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形． 【点睛】本题考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；理解“偏等积三角形”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $