精品解析：广东省江门市江海区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期义务教育质量监测题 八年级数学 [时间：120分钟 全卷120分] 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列数组为边长的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 5，12，13 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙三个旅行团的游客人数相等，且平均年龄都是32岁，游客年龄的方差分别是，导游小王最喜欢带游客年龄相近的团，则他应选（ ） A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 无法确定 5. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象不会经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：36，39，35，38，则这组数据的中位数是（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 39 8. 图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 10. 如图，在矩形中，．点E在边上，且，M、N分别是边上的动点，且，P是线段上的动点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 二、填空题（本大题包括5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 12. 平行四边形中，，则的度数为_________度． 13. 如图，一次函数的图像经过点，则关于的不等式的解集是______． 14. 如图，某公园有一块三角形空地米，沿放置一道栅栏把分成两个区域种植不同的花卉，D、E分别是的中点，则栅栏的长为________米． 15. 如图，有一张长方形纸片ABCD，，．点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边恰好经过点D，则线段DE的长为________cm． 三、解答题（一）（本大题共3小题，16题12分，17，18题每题8分，共28分．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，四边形是平行四边形，点E是边延长线上一点，，连接．求证：． 18. 请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高10尺，从A处折断，折断后竹子顶端B点落在离竹子底端O点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 四、解答题（二）（本大题包括3小题，每小题9分，共27分） 19. 阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； （2）若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； （3）化简，请直接写出结果． 20. 为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．，B．，C．，D．，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时． 请回答下列问题： （1）本次共调查了________名学生； （2）请补全频数分布直方图； （3）求扇形统计图中C组所对应的圆心角度数； （4）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于7时． 21. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量y（单位：毫升） 7 12 17 22 27 … （1）探究：根据上表中的数据，请判断和（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系?并求出y关于t的表达式； （2）应用： ①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升? ②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 五、解答题（三）（本大题包括2小题，每小题10分，共20分） 22. 综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点． （1）【感知】如图，若点是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系 ． （2）【探究】如图，小阳说“点为上任意一点时，（）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由； （3）【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 23. 综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． （1）直接写出k，b，m的值． （2）如图2，P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点D，E，连接．设点P的坐标为． ①点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（用含n的代数式表示） ②当时，求点P的坐标． （3）在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期义务教育质量监测题 八年级数学 [时间：120分钟 全卷120分] 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，根据此概念即可完成求解． 【详解】解：∵，，， ∴是最简二次根式， 故 选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简，熟悉最简二次根式的概念是解题的关键． 2. 以下列数组为边长的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 5，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理．根据勾股定理逆定理，判断三角形是否是直角三角形即可．掌握常见的勾股数，可以快速解题． 【详解】解：A、，能构成直角三角形； B、，不能构成直角三角形； C、，能构成直角三角形； D、，能构成直角三角形； 故选B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，涉及二次根式的加法，乘法，除法，合并同类项，根据二次根式的加法，乘法，除法等运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意， 故选：D． 4. 甲、乙、丙三个旅行团的游客人数相等，且平均年龄都是32岁，游客年龄的方差分别是，导游小王最喜欢带游客年龄相近的团，则他应选（ ） A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，得到乙的方差最小，根据方差的意义得到乙旅行团的游客年龄的波动最小． 【详解】解：， ， ∴乙旅行团的游客年龄的波动最小，年龄最相近． 故选：B． 5. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，等边对等角．熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 6. 一次函数的图象不会经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由解析式可得，，可知一次函数图象经过一、三、四象限，进而即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数， ∴，， ∴一次函数图象经过一、三、四象限，不会经过第二象限， 故选：． 7. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：36，39，35，38，则这组数据的中位数是（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 39 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数的能力，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数据的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可． 【详解】把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为35，36，38，39 ∴中位数： 故选：C． 8. 图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，是解题的关键．利用正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴ ∴， 故选项正确；选项B错误； 故选B． 9. 如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在矩形中，．点E在边上，且，M、N分别是边上的动点，且，P是线段上的动点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形，可得，则，，，如图1，在上取点N，使，连接，证明，则，，由，可得，则，即M、P、N三点共线，如图2，则四边形是矩形，，可求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图1，在上取点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， 即，， ∴， ∴，即M、P、N三点共线， 如图2，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 二、填空题（本大题包括5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，得， 解得． 故答案为：． 12. 平行四边形中，，则的度数为_________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等即可求出． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 13. 如图，一次函数的图像经过点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一次函数图像解不等式，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据图像可知，当时，函数，据此即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，当时，， ∴关于的不等式的解集是． 故答案为：． 14. 如图，某公园有一块三角形空地米，沿放置一道栅栏把分成两个区域种植不同的花卉，D、E分别是的中点，则栅栏的长为________米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据题意，得到是的中位线，即可得出结果． 【详解】解：∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； 故答案为：6． 15. 如图，有一张长方形纸片ABCD，，．点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边恰好经过点D，则线段DE的长为________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到线段和角相等，然后在Rt△中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在Rt△利用勾股定理进行计算即可求DE的长. 【详解】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD=BC=10,CD=AB=8,∠B=∠C=90°. 根据折叠的性质,得 =8-DE, ,∠=∠B=90°. 在Rt△中,由勾股定理，得==6. ∴=10-6=4. 在Rt△中,由勾股定理，得. ∴（8-DE）2+42=DE2. 解得DE=5. 故答案是：5. 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，16题12分，17，18题每题8分，共28分．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简各二次根式，再合并即可； （2）根据平方差公式，完全平方公式先展开，再根据实数的运算法则即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简，乘法公式，二次根式的混合运算是解题的关键． 17. 如图，四边形是平行四边形，点E是边延长线上一点，，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，求出，，推出四边形是平行四边形，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 18. 请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高10尺，从A处折断，折断后竹子顶端B点落在离竹子底端O点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 【答案】尺 【解析】 【分析】设长为x尺，直接根据勾股定理列方程，求解即可． 【详解】解：设长为x尺． 在中，， ， 解得：， 答：折断处离地面（即）的高度是尺． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题包括3小题，每小题9分，共27分） 19. 阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； （2）若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； （3）化简，请直接写出结果． 【答案】（1）， （2）13或7 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的计算，完全平方公式，读懂阅读材料中的方法是解题的关键． （1）仿照例题计算即可得； （2）仿照例题计算，得出，，根据m，n均为正整数确定m和n的值，代入即可求解； （3）令，m，n均为正整数，仿照（2）中作法求出m和n的值，再利用二次根式性质化简得出答案． 【小问1详解】 解：， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， ，， ， m，n均为正整数， ，，或，， 当，时，， 当，时，， 综上可知，a的值为13或7； 【小问3详解】 解：令，m，n均为正整数， ， ，， ， m，n均为正整数， ，，或，， 当，时，，与矛盾，不合题意， 当，时，，符合题意， ， ． 20. 为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．，B．，C．，D．，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时． 请回答下列问题： （1）本次共调查了________名学生； （2）请补全频数分布直方图； （3）求扇形统计图中C组所对应的圆心角度数； （4）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于7时． 【答案】（1）50；（2）见解析；（3）72°；（4）150 【解析】 【分析】（1）用D组的人数除以所占百分比即可； （2）求出C组的人数，再补全统计图； （3）用C组的人数除以样本人数，再乘以360即可； （4）用样本中每天睡眠时间低于7时的人数除以样本总人数，再乘以1500可得结果． 【详解】解：（1）17÷34%=50人， 故本次共调查了50人， 故答案为：50； （2）50-5-18-17=10人， 补全统计图如下： （3）10÷50×360=72°， 故扇形统计图中C组所对圆心角为72°； （4）样本中每天睡眠时间低于7时的有5人， ∴5÷50×1500=150， ∴该校有150名学生平均每天睡眠时间低于7时． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到 必要的信息是解决问题的关键． 21. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量y（单位：毫升） 7 12 17 22 27 … （1）探究：根据上表中的数据，请判断和（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系?并求出y关于t的表达式； （2）应用： ①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升? ②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 【答案】（1）能正确反映总水量y与时间t的函数关系； （2）①102毫升；②144天 【解析】 【分析】（1）观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，再选取两组数据代入函数解析式，根据待定系数法，即可得到y关于t的表达式； （2）①将代入函数，即可解答； ②由解析式可知，每分钟滴水量为毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答． 【小问1详解】 解：观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系， 把，代入， 可得， 解得， y关于t的表达式； 【小问2详解】 ①当时，， 故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升， 答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升． ②由解析式可知，每分钟的滴水量为毫升， 30天分钟分钟， 可供一人饮水天数天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题包括2小题，每小题10分，共20分） 22. 综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点． （1）【感知】如图，若点是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系 ． （2）【探究】如图，小阳说“点为上任意一点时，（）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由； （3）【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2） 同意，理由如下： 连接， 同理（）可得， ∴； （3）或． 【解析】 【分析】（）连接，证明即可得证； （）连接，同法()证明即可得证； （）过点作于点，分点在点的两侧进行讨论求解即可； 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键. 【小问1详解】 解：连接， ∵在菱形中，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点， 同理（）可知，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由（）知，， ∴， ∴或． 23. 综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． （1）直接写出k，b，m的值． （2）如图2，P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点D，E，连接．设点P的坐标为． ①点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（用含n的代数式表示） ②当时，求点P的坐标． （3）在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2）①，；②点的坐标为或 （3）点的坐标为时，点的坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）把代入，求得，得直线的解析式为，把代入，求得，得点，将其代入，即可求得的值； （2）①将代入，分别求出即可求解； ②由两点坐标可得，当时，即，求得，即可； （3）由（2）可知点的坐标为或， 分两种情况，当点的坐标为时，当点的坐标为时，再根据，，，求出，再结合点在线段上，且即可得点点的坐标． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得：， 即直线的解析式为：， 把代入，得，解得：， 即， 把代入，得，解得：； 【小问2详解】 ①∵，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点D，E， ∴对于，当时，，可得，即：， 对于，当时，，可得，即：， 故答案为：，； ②由①知，，则， ∵， ∴， 当时，即：，解得：或， 此时，点的坐标为或； 【小问3详解】 由（2）可知点的坐标为或， 当点的坐标为时，此时点，则， ∵，点在线段上，且 ∴，即：，解得：， ∴，即， 当点的坐标为时，此时点，则， ∵，点在线段上，且 ∴，即：，解得：， ∴，即； 综上，点的坐标为时，点的坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题，图形与坐标，三角形的面积，解题的关键是利用数形结合的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $