精品解析：上海市松江二中2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

松江二中2023学年第二学期高二年级数学期末 2024.06 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为______． 2. 已知向量满足，则______． 3. 已知，若，则______. 4. 已知，若，则________． 5. 在的展开式中，含的项的系数是__________. 6. 已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为______. 7. 一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________ 8. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作，交准线l于点A.若，则的长为_________. 9. 用1，2，3，…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有________个． 10. 已知函数，若图象经过第一象限，则实数的取值范围是______． 11. 椭圆具有对称美，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”.已知“斜椭圆”的方程为，则“斜椭圆”的离心率为_________． 12. 设集合为满足，，的空间向量，，中可能出现的两两共线的向量组数组成的数集，集合，若，当最小时，的取值为_______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知由样本数据组成一个样本，变量具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量之间的相关系数为，则经验回归直线经过（ ） A. 第一､二､三象限 B. 第二､三､四象限 C. 第一､二､四象限 D. 第一､三､四象限 14. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（ ） A. 在区间上是严格减函数 B. 在区间上是严格增函数 C. 是极小值点 D. 是极小值点 15. 一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（ ） A B. C. 互斥 D. 相互独立 16. 在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（     ） A. B. C. D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知全集，集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）命题p:，命题q:，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围. 18. 如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，，. （1）求证：平面； （2）设线段与交于点，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 （1）若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ （2）为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 20. 已知点为抛物线上一点，点P到的准线的距离为5. （1）求抛物线标准方程； （2）过原点的一条直线与圆相切，交抛物线于另一点，且，求圆的方程； （3）设为焦点，，为上两点，，求面积的最小值． 21. 给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”.记函数所有“正交点”所组成的集合为. （1）若，判断集合是否为空集，并说明理由； （2）若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线； （3）若，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 松江二中2023学年第二学期高二年级数学期末 2024.06 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可求解. 【详解】直线的斜率， 设其倾斜角为，故可得，又，故． 故答案为： 2. 已知向量满足，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据，求出，进行计算 【详解】由，则可得， 则. 故答案：. 3. 已知，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性计算可得. 【详解】若，且， 则， 则. 故答案为： 4. 已知，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】，由于，所以，所以， 故答案为：3 5. 在的展开式中，含的项的系数是__________. 【答案】15 【解析】 【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数即可写出含的项，则可得到答案. 【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数, 所以含的项为. 所以展开式中，含的项的系数是15. 故答案为：15 6. 已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件求出与的关系，即可得双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可知，双曲线的焦距是椭圆焦距的3倍， 则有，化简得，则有， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 7. 一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________ 【答案】0.88 【解析】 【分析】根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可． 【详解】＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂， 所以至少有一个公司不需要维护的概率为， 故答案为0.88． 【点睛】本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用． 8. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作，交准线l于点A.若，则的长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的定义得出是等边三角形，再由定义得出点坐标，进而由距离公式求解. 【详解】不妨设点在第二象限，由抛物线定义可得，又， 所以是等边三角形．所以，则， 则，，则. 故答案为： 9. 用1，2，3，…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有________个． 【答案】600 【解析】 【详解】解析：依题意，要使得各位数字之和为奇数，则可能是3个奇数1个偶数或3个偶数1个奇数， 若为3个奇数1个偶数，则偶数一定排在个位，从4个偶数中选一个排在个位，有C＝4（种）， 再在5个奇数中选出3个排在其余三个数位，有A＝60（种）排法，故有CA＝240（个）数字； 若为3个偶数1个奇数，则奇数不排在个位，从5个奇数中选一个排在前三位有CA＝15（种）， 再在4个偶数中选出3个排在其余三个数位，有A＝24（种）排法，故有CAA＝360（个）数字． 综上，可得一共有240＋360＝600（个）数字． 10. 已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，列出不等式并分离参数，转化为能成立的问题求解即可. 【详解】由的图象经过第一象限，得，使得，即， 设，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则，有， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 11. 椭圆具有对称美，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”.已知“斜椭圆”的方程为，则“斜椭圆”的离心率为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，然后根据已知方程结合基本不等式可求出的最大值和最小值，从而可求出长半轴长和短半轴长，进而可求出离心率. 【详解】设“斜椭圆”的中心为坐标原点， 由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值， 短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值， 由基本不等式，可得， 所以，解得， 当且仅当时成立， 当且仅当时，成立， 所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 所以椭圆离心率为. 故答案为： 12. 设集合为满足，，的空间向量，，中可能出现的两两共线的向量组数组成的数集，集合，若，当最小时，的取值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先分析出，或或或或，当时二次函数的图象可以最靠下，即最小，且，当对称轴为时最小，从而得到不等式，求出的最小值及此时的取值. 【详解】若空间向量，，均为非零向量，则空间向量，，共线或两两互相垂直， 此时三组向量中两两共线的有0组或3组； 若其中一个为零向量，当另外两个向量共线且不为零向量时， 此时三组向量中两两共线的有3组， 若另外两个向量一定不共线， 则， 此时零向量和另外两个向量组成两组共线向量，此时两两共线的有2组， 显然，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有1组. 则，由得是的子集， 令，其开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 由二次函数的连续性和对称性，或或或或， 当或或或时， 所得的取值范围必包含； 当时二次函数的图象可以最靠下，即最小，且， 由对称性可知，当对称轴为时最小， 此时且，则， 综上，，最小时，的取值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知由样本数据组成的一个样本，变量具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量之间的相关系数为，则经验回归直线经过（ ） A. 第一､二､三象限 B. 第二､三､四象限 C. 第一､二､四象限 D. 第一､三､四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知负相关，已知条件求得样本中心点，然后根据经验回归直线经过样本点中心即可得出结果. 【详解】由相关系数为，知负相关，所以. 又，求得样本中心点为， 由于在经验回归直线上，且点在第三象限， 所以经验回归直线经过第二､三､四象限. 故选：B. 14. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（ ） A. 在区间上是严格减函数 B. 在区间上是严格增函数 C. 是极小值点 D. 是极小值点 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象分析在不同区间上取值的正负，然后判断相应的单调性，即可判断每个选项. 【详解】对于A，由图象知在上取正值，所以在上递增，A错误； 对于B，由图象知在上取正值，所以在上递增，B正确； 对于C，由图象知在某个上取负值，这里，所以在上递减，从而不可能是的极值点，C错误； 对于D，由图象知在上取正值，在某个上取负值，这里，所以在上递增，在上递减，从而是的极大值点，D错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用图象判断导数的正负，再由此确定函数的单调性. 15. 一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（ ） A. B. C. 互斥 D. 相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义判断可得出结果. 【详解】对于A:事件发生时，事件不一定发生，所以A错； 对于B: 时，事件发生同时不发生，所以B错； 对于C: 时，A,B同时发生，所以C错； 对于D: ，则相互独立，所以D正确. 故选：D 16. 在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出的取值范围可得答案. 【详解】设，连接，设， 则，，所以， 又， 所以， 令，则有，解得：或， 因为在单位圆外，所以舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点， 即与圆有4个交点，且过点， 结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）.， 所以、、都符合. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知全集，集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）命题p:，命题q:，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解法化简两个集合，结合交集概念求解答案； （2）将必要条件转化集合包含关系，进而直接列式求解. 【小问1详解】 由，得，则， 即， 比较的大小，由，则， 所以， 因为， 所以或， 所以或，即实数a的取值范围为 【小问2详解】 因为命题p:，命题q:，若q是p的必要条件， 所以， 所以，解得或， 即实数a的取值范围为 18. 如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，，. （1）求证：平面； （2）设线段与交于点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，即可证明是的中点，从而得到，即可得证； （2）由（1）可得平面，建立空间直角坐标系，由得到，利用空间向量法求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 如图，设交于点，连接， 在圆锥中，底面圆，底面圆，所以， 又等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，为直径，所以， 所以，所以， 可知，即是的中点， 又是母线的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 由（1）知平面，，所以平面，又， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为线段与交于点，，， 所以，即，所以， 又，所以， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，即， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 （1）若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ （2）为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6635 7.879 【答案】（1）40；80；有关 （2）分布列见解析，1933 【解析】 【分析】（1）先完善列联表，再求卡方,即可作出判断；（2）先用分层抽样，然后用超几何分布的概率公式计算，即可得分布列与期望. 【小问1详解】 消费金额不低于800元的人数为：人， 则活跃客户共有60人，所以，， 列联表如下 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 80 100 女 40 60 100 总计 60 140 200 计算， 因此有的把握与性别有关． 【小问2详解】 从“活跃客户”中用分层抽样，抽出消费900元：人，消费1100元：人， 从中抽取2人免单总金额的取值有：， 则，，， 所以的分布列为： 即. 20. 已知点为抛物线上一点，点P到的准线的距离为5. （1）求抛物线的标准方程； （2）过原点的一条直线与圆相切，交抛物线于另一点，且，求圆的方程； （3）设为的焦点，，为上两点，，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义计算求参得出抛物线方程； （2）直线和圆的位置关系转化为点到直线距离为半径即可计算； （3）联立方程组结合韦达定理计算求参数范围，再应用面积公式求最值即可 【小问1详解】 由题可知，解得.所以的标准方程为 【小问2详解】 设，则， 由对称性，不妨取，则， 直线方程为，即，由圆的圆心到的距离为， 得，解得， 故圆的方程为. 【小问3详解】 因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得，，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或， 所以当时，的面积. 21. 给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”.记函数所有“正交点”所组成的集合为. （1）若，判断集合是否为空集，并说明理由； （2）若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线； （3）若，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾，即可判断； （2）设“正交点”是在和处的切线的交点，求出切线方程，即可求出交点坐标，由切线互相垂直求出，即可得解； （3）依题意不存在图像上的点，使得该点是“正交点”，先利用反证法证明：对任意的实数，若图像上的点是“正交点”，则该点本身一定是切点，假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，即可得到方程对无解，结合二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 假设存在“正交点”，则存在两条相互垂直的切线， 设为和处的切线， 因为，所以，所以， 所以不存在“正交点”，所以. 【小问2详解】 设“正交点”是在和处的切线的交点， 因为，所以， 所以在和处的切线方程为：，， 联立，解得，即， 因为两条切线互相垂直，所以， 所以，所以所有“正交点”在一定直线上. 【小问3详解】 因为，所以不存在图像上的点，使得该点是“正交点”. 先证明：对任意的实数，若图像上的点是“正交点”，则该点本身一定是切点. 反证法：假设该点不是切点，则存在切线， 它与函数图像交于点，所以， 化简得，因为，所以， 同理可得，所以，所以两条切线重合，矛盾！所以该点本身一定是切点. 假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点， 则由前文可知，所以 ， 因为，所以， 即， 设， 则有， 由题意可知图像上的点都不是“正交点”，也即不存在这样的点， 所以方程对无解. 设，其对称轴为， 所以当时，取得最小值， 要使得无解，只要，解得. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解定义，利用导数、反证法相关知识进行解答，以达到转化的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$