精品解析：浙江省舟山市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

舟山市2023学年第二学期期末检测高二数学试题卷 注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.时间：120分钟 Ⅰ卷 选择题部分 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足（为虚数单位），则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 182 B. 42 C. D. 6. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 嫦娥六号是中国计划进行的一次月球采样返回任务.假设嫦娥六号在接近月球表面时，需要进行一系列的减速操作，其减速过程可以近似地看作是一个指数衰减过程，其速度（单位：米/秒）随时间t（单位：秒）的变化关系可以表示为：，其中是初始速度，是一个减速过程相关的常数.已知嫦娥六号在时的初始速度为，经过后，速度变为.若嫦娥六号需要在时将速度减至月球表面的安全着陆速度，则（ ） （精确到小数点后一位，参考数值：） A. 99.7 B. 99.8 C. 99.3 D. 96.3 8. 已知函数的定义域为，且，的图像关于直线对称，，在上单调递增，则下列说法中错误的是（ ） A. B. 的一条对称轴是直线 C. D. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某校高二年级共有学生600人，现采用比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为60的样本，若样本中男生有40人，则该校高二女生人数是200 B. 数据2，4，5，6，8，10，17第75百分位数为9 C. 已知y关于x的回归直线方程为，若，则 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关，此推断犯错的概率不大于0.05 10. 在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，，则满足条件的△ABC有两个 C. 若D是边BC上一点，满足，且，则△ABC面积最大值为 D. 若△ABC为锐角三角形，D是边BC上一点（不含端点），满足，则的取值范围是 11. 已知正四棱台的所有顶点都在体积为的球的球面上，，，G为内部（含边界）的动点，则（ ） A. 正四棱台存内切球 B. C. 直线AG与平面所成角的取值范围为 D. 的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题部分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知实数，，且，则的最小值为___________. 13. 某高中为了调查学生对手机的使用情况，从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，他们一周内使用手机的时间（小时）频率分布直方图如下图所示，则参与调查的学生每周平均使用手机的时间约为___________小时.（同一组数据用该组数据的中点值作代表） 14. 已知函数在上恰有两个零点，则实数m的取值范围为___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，. （1）若，求； （2）若，求在上的投影向量（用坐标表示） 16. 已知函数（，）且图象的相邻两条对称轴间的距离为，. （1）求的解析式与单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和. 17. 如图，在三棱柱中，AB的中点为D． （1）证明：面； （2）若底面侧面，是锐角，，，，且和平面所成角的正弦值是，求平面与平面ABC所成角的余弦值. 18. 某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场12次，其中球队获胜6次；中锋位置出场24次，其中球队获胜16次；后卫位置出场24次，其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率，则： （1）甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率； （2）为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行10场热身赛，比赛没有平局，获胜得1分，失败得0分.已知Ⅰ队在每场比赛中获胜概率是p（），若比赛最有可能的比分是7∶3，求p的取值范围； （3）现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共6支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若每场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜3场的条件下，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望. 19. 已知函数的定义域为D.若，对于，都，使得，则称函数与具有“和缘”，a叫做函数与的“和缘”值. （1）已知，，，，，，若0是函数与“和缘”值，请写出所有符合题意的函数与的组合（不用说明理由）； （2）已知且，，，. （ⅰ）求的值域； （ⅱ）若存在唯一实数a，使函数与具有“和缘”，求m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 舟山市2023学年第二学期期末检测高二数学试题卷 注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.时间：120分钟 Ⅰ卷 选择题部分 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式，求得集合，再直接求交集即可. 【详解】由可知，故，又，所以. 故选：C. 2. 复数z满足（为虚数单位），则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法运算法则求出复数z即可得复数z的虚部. 详解】由题， 故复数z的虚部为. 故选：B. 3. 已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系判断即可. 【详解】对于A，当，成立时，还可能，故A错误； 对于B，若，，，则或与异面，如图所示，故B错误； 对于C，因为，，所以在平面内一定存在平行于的直线， 此直线也垂直于平面，即可得到，故C正确； 对于D，当时，也可能存在，，， 所以若，，成立，还可能，故D错误. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用诱导公式化简，变形求得，再根据二倍角公式及齐次式化简求解即可. 【详解】， 所以，即，所以， 所以. 故选：D. 5. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 182 B. 42 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出展开式的通项，从而确定常数项. 【详解】因为， 则的展开通项公式为， 的展开通项公式为， 令，即， 可得和， 相加得， 故选：B. 6. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可. 【详解】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 故选：A. 7. 嫦娥六号是中国计划进行的一次月球采样返回任务.假设嫦娥六号在接近月球表面时，需要进行一系列的减速操作，其减速过程可以近似地看作是一个指数衰减过程，其速度（单位：米/秒）随时间t（单位：秒）的变化关系可以表示为：，其中是初始速度，是一个减速过程相关的常数.已知嫦娥六号在时的初始速度为，经过后，速度变为.若嫦娥六号需要在时将速度减至月球表面的安全着陆速度，则（ ） （精确到小数点后一位，参考数值：） A. 99.7 B. 99.8 C. 99.3 D. 96.3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，可求得，又，代入计算可求得. 【详解】由，根据题意可得，又， 所以，两边取以为底的对数，可得， 所以，由，所以，所以 所以两边取以为底的对数得， 所以. 故选：A. 所以 8. 已知函数的定义域为，且，的图像关于直线对称，，在上单调递增，则下列说法中错误的是（ ） A. B. 的一条对称轴是直线 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可求得，令，可得，利用已知可得关于对称，可判断B；可求得函数的周期为6，关于对称，计算可判断AD；由题意可得在上单调递减，可判断C. 【详解】， 令，可得，解得； 令，，则， ∴，∴为奇函数； ∵的图像关于对称，, ∴关于对称，故B正确； ∴，∴， ∴，即的周期为6， ∵关于对称，可得关于对称 ∴，，，，， 所以，， 故A正确，D错误； ∵，又在上单调递增 ∴在上单调递减，所以，即，故C正确. 故选：D. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某校高二年级共有学生600人，现采用比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为60的样本，若样本中男生有40人，则该校高二女生人数是200 B. 数据2，4，5，6，8，10，17的第75百分位数为9 C. 已知y关于x的回归直线方程为，若，则 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关，此推断犯错的概率不大于0.05 【答案】AC 【解析】 【分析】利用分层抽样计算判断A；求出第75百分位数判断B；根据回归方程经过样本中心判断C；利用独立性检验的思想判断D. 【详解】对于A，该校高二年级女生人数是，A正确； 对于B，由，数据2，4，5，6，8，10，17的第75百分位数为，B不正确； 对于C，线性回归方程中，根据回归方程经过样本中心， y关于x的回归直线方程为，若，则，C正确； 对于D，由，犯错误的概率不大于0.05可判断X与Y无关， D不正确. 故选：AC. 10. 在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，，则满足条件的△ABC有两个 C. 若D是边BC上一点，满足，且，则△ABC面积的最大值为 D. 若△ABC为锐角三角形，D是边BC上一点（不含端点），满足，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据面积公式和余弦定理得即可判断；B根据正弦定理结合和角正弦公式可得，根据正弦定理得，结合角的范围即可判断；C根据题意，平方后得，结合基本不等式得，根据面积公式即可判断；D令，则，根据正弦定理得，弦化切后分离常数，结合角的范围即可判断. 【详解】对于A，，则， 根据余弦定理得，即， 由，故A正确； 对于B，根据正弦定理可得，, 即， 由，， 根据正弦定理得，， 由，故只有一解，故B错误； 对于C，， ，即， ，，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即△ABC面积的最大值为，故C正确； 对于D，令，则， 在中，根据正弦定理得， ， 在上单调递减， 所以当时，有最大值， 当时，有最小值， 所以的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知正四棱台的所有顶点都在体积为的球的球面上，，，G为内部（含边界）的动点，则（ ） A. 正四棱台存在内切球 B. C. 直线AG与平面所成角的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出图形的示意图，由已知可得外接球半径，进而可得可判断A；求得体积判断B；作，则面，可得线面角的最大角与最小角判断C；易得，求得最大值与最小值可判断D. 【详解】如图， 设外接球球心为，外接球半径为， 由球的体积，解得， 所以， 由已知，， 所以， ， 设，则， 所以或（舍）， ∴O为球心，即在AC和BD的中点，且， 由等腰梯形的性质可求得棱台高为，斜高为， 因为，∴正四棱台不存在内切球，故A错误； 所以，B正确； 作，为正四棱台上底面的中心， 所以底面，又底面，所以，又， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 所以，故最大时最小， 当G在时，最大， 由四边形是等腰梯形，且， 所以四边形，四边形为菱形，且可求得， 可得，，所以此时直线AG与平面BDG所成角最小为30°， 当G在O时，最小，直线AG与平面BDG所成角最大为60°，故C正确； 对于D，连接，因为四边形为菱形，所以， 又平面平面，又平面平面， 所以平面， 所以关于平面对称，所以， 所以， 当动点G或落在或D上，最大值，最大值是， 当动点G落在O时，有最小值，最小值为， 所以的范围为，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题部分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知实数，，且，则的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，利用“1”的代换，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 13. 某高中为了调查学生对手机的使用情况，从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，他们一周内使用手机的时间（小时）频率分布直方图如下图所示，则参与调查的学生每周平均使用手机的时间约为___________小时.（同一组数据用该组数据的中点值作代表） 【答案】4 【解析】 【分析】根据频率和为1求得，再结合平均数的计算公式分析求解. 【详解】由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得， 可得平均数（小时）， 所以平均使用手机的时间约为4小时. 故答案为：4. 14. 已知函数在上恰有两个零点，则实数m的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点定义题目中零点问题可转化成函数与图像在上有两个交点，接着研究函数的单调性得其简图，数形结合即可得解. 【详解】因为，所以， 又因为，令，则， 显然，故不是的零点， 令，，则， 故函数在上恰有两个零点 方程在上有两个根， 与函数图像在上有两个交点， 令，， 因为，所以在和单调递增， 又因为单调递增， ①所以时，，单调递增且， 故此时在上单调递增， 且，； ②时，，单调递减， 故此时在上单调递减， 且此时时，； ③时，，单调递减， 故此时在上单调递减， 且此时时，，， 故在上图像简图如下： 由图得实数m的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题函数零点问题的关键是分离参数将问题转化成函数与图像在上有两个交点，接着研究函数的单调性并作出其图像简图，数形结合即可得解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，. （1）若，求； （2）若，求在上的投影向量（用坐标表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入中，再根据的坐标去求模长即可； （2）根据，把坐标代入计算求出的值，再列式求得在上的投影向量. 【小问1详解】 当时，，， ∴. 【小问2详解】 ∵，∴，∴， 即，∴，即， ∴在上的投影向量为. 16. 已知函数（，）且图象的相邻两条对称轴间的距离为，. （1）求的解析式与单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再求出，最后根据求出和单调减区间； （2）先求出，再求出或，将问题转化为图像交点问题，在根据三角函数的对称性求解. 【小问1详解】 由题意可得：， ∵图象的相邻两条对称轴间的距离为， ∴的最小正周期为，即可得， 又，，所以，故， 令，解得 所以函数的递减区间为. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象， ∵，则或， 画出的图象如图所示： 令，，解得， ， 即图像在轴右边前两个取最大值的对称轴为和，则，， ∴方程在内所有根的和为. 17. 如图，在三棱柱中，AB中点为D． （1）证明：面； （2）若底面侧面，是锐角，，，，且和平面所成角的正弦值是，求平面与平面ABC所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于E，则E是的中点，连接DE，由中位线定理可得，利用线面平行的判定定理可证结论； （2）由题意可得平面，可得，进而计算可得，在平面内过点作于O，可得，在平面ABC内过O作于G，连接，可证，进而得是二面角的平面角，求解即可. 【小问1详解】 连接交于E，则E是的中点， 又D是AB中点，连接DE，则DE是的中位线， ∴，又面，面， ∴面 小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴， ∵平面平面， 平面平面， ，平面ABC， ∴平面， ∵平面， ∴，又， 即，而，，平面， ∴平面，∴和平面所成线面角是， ∵，∴，∴， ∴，∵，， ∴， 在平面内过点作于O， 则，， ∵平面平面，平面平面， ∴平面ABC，又平面ABC， 则， 在平面ABC内过O作于G，连接， ∵，OG，平面， ∴平面，而平面，则， 从而是二面角的平面角， ， 显然，， ∴， 所以平面与平面ABC所成角的余弦值是. 18. 某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场12次，其中球队获胜6次；中锋位置出场24次，其中球队获胜16次；后卫位置出场24次，其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率，则： （1）甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率； （2）为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行10场热身赛，比赛没有平局，获胜得1分，失败得0分.已知Ⅰ队在每场比赛中获胜的概率是p（），若比赛最有可能的比分是7∶3，求p的取值范围； （3）现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共6支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若每场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜3场的条件下，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）由二项分布的概率公式，根据概率最大，即可列式求解p的取值范围； （3）先分别求出Ⅰ队获胜场的概率，再由条件概率求得X的分布列，进而得到X的数学期望. 【小问1详解】 设“甲担任前锋”；“甲担任中锋”；“甲担任后卫”； “某场比赛中该球队获胜”. 则：，，， ，，， 由全概率公式可得： ， 所以甲参加比赛时，Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率是. 【小问2详解】 设这10场比赛，Ⅰ队获胜的场数是k，则P（Ⅰ队获胜k场）， 由题意，时，P（Ⅰ队获胜k场）最大， 所以有，解得， 所以p的取值范围为. 【小问3详解】 由题意，Ⅰ队一共需要打5场比赛， 设“5场比赛中Ⅰ队获胜i场”（，4，5），“5场比赛中Ⅰ队至少获胜3场”， ；； ，则， ， 同理可得， ， 则X的分布列为： X 3 4 5 P . 19. 已知函数的定义域为D.若，对于，都，使得，则称函数与具有“和缘”，a叫做函数与的“和缘”值. （1）已知，，，，，，若0是函数与的“和缘”值，请写出所有符合题意的函数与的组合（不用说明理由）； （2）已知且，，，. （ⅰ）求的值域； （ⅱ）若存在唯一实数a，使函数与具有“和缘”，求m的值. 【答案】（1），；； （2）（ⅰ）；（ⅱ）或 【解析】 【分析】（1）根据已知可写出结论； （2）（ⅰ）分类去绝对值符号，可求值域； （ⅱ）法一：令，可得，，由存在唯一的实数a，对任意，都存在由题意可得，利用分类讨得出与的关系，利用唯一可求的值. 法二：由（ⅰ）可得的值域等于，换无得进而，据此计算可求的值. 【小问1详解】 有两组符合，第一组：，；第二组：与； 由已知条件，由，， 可知对，，又0是函数与的“和缘”值， 故时，，由， 可知，具有“和缘”，； 可知对，，又0是函数与的“和缘”值， 故时，，由， 可知，具有“和缘”； 【小问2详解】 （ⅰ）设，， ∵在递减，递增， ∴，， 即在上的值域为 （ⅱ）法一：∵ 令，，，，， 则， 令， 依题意，即存在唯一的实数a，对任意，都存在满足， 即， 因为，则，故， 记的值域为H，则，， 的对称轴为， 当，则时，在上递增， 所以，，即， 所以，得， 由于a唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时，在上递增， 所以，，， 所以则，得， 由于a唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时，，，， 所以，得， 由于a唯一，所以，解得，符合题意： 当，即时， ，，， 所以，得， 由于a唯一，所以，解得（舍），满足题意； 综上，m的值为或 法二：依题意，即存在唯一的实数a，对任意，都存在满足 ，即，因为，则， 故的值域等于， 所以， 由法一有，，， 的对称轴， 当，则时，在上递增， 所以，， 所以，解得，不符合题意； 当，即时，在上递增， 所以，， 所以，解得，不符合题意 当，即时，，， 所以，解得，符合题意； 当，即时，，， 所以，解得，（舍去），满足题意； 综上，m值为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$