精品解析：山西省晋城市部分高中学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题

2023—2024学年下学期高二年级期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列满足，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知空间向量，，，且，，共面，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（ ） A. B. C. D. 4. 过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（ ） A. e B. 2 C. D. 5. 已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2022 D. 2023 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点F的坐标为 C. 直线AQ与抛物线相切 D. 10. 从1，2，3，4四个数字中随机抽取一个数字，记事件“取到数字1或数字2”，事件“取到数字1或数字3”，事件“取到数字2或数字4”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件相互独立 B. 事件为对立事件 C. D. 设事件发生的次数为，则 11. 已知正方体的棱长为1，且E为AB的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线与夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则________． 13. 将2名女生和3名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各1人，则不同的分法种数为________． 14. 将（）的展开式中第m项的系数记作，则________（用数字作答）． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和（）． （1）求的值； （2）证明：； （3）证明：． 16. 如图，在三棱锥中，，，，． （1）证明：平面PAB； （2）过的中点作平面与平面ABC平行，并分别交，于点，，且E为的中点，求二面角的正弦值． 17. 已知直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，并交椭圆C：（）于不同的两点，且三等分线段． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，O为坐标原点，当的面积最大时，求直线l的方程． 18. 已知函数． （1）当时，证明：函数为增函数； （2）当时，证明：． 19. 一个袋子中有大小、形状、质地完全相同的n（）个球，号码分别标为1，2，，…，，从中有放回地随机摸球3次，每次摸球2个，把每次摸到的2个球号码之和记下，分别为，，． （1）若，求的概率； （2）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年下学期高二年级期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列满足，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：B. 2. 已知空间向量，，，且，，共面，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】因为三个向量共面，由向量的基本定理可知存在实数，使得， 代入计算即可. 【详解】因为共面， 所以存在实数，使得， 即 所以，解得. 故选：D. 3. 如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，根圆的弦长求出，根据两点的距离公式求出，再求出即可. 【详解】取的中点，连接，则， 圆的半径， 则， ， 所以. 故选：B. 4. 过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（ ） A. e B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点，求导，得切点处的切线方程，即可代入原点求解. 【详解】设切点，则， 故切点处的切线方程为，故， 将代入得，故，解得或， 若，则，此时无解，故不符合题意， 若，则，故，此时满足题意， 故选：D 5. 已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得渐近线方程，结合轴且过右焦点，可得.再根据的面积与双曲线方程即可解得. 【详解】由双曲线方程得其渐近线方程为， 由题知轴且过右焦点，令，得，. 则的面积，解得. 双曲线（），，解得. 故选：. 6. 如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解. 【详解】取的中点，连接, 四边形为的菱形，所以， 由于平面平面，且两平面交线为，,平面， 故平面,又四边形为正方形，故建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方形的边长为2，则, 故, 则，又 故， 故直线所成角的正弦值， 故选：C 7. 若是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考虑分段函数的两段函数的单调性，再结合题意列出不等式组，即可求得答案. 【详解】当时，为单调递增函数； 当时，，则， 令，即，而，则可得， 故要使得是R上的增函数， 需满足，解得， 故选：C 8. 已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2022 D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点F的坐标为 C. 直线AQ与抛物线相切 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】将代入抛物线可得，即可判断ABD,根据直线与抛物线联立后判别式为0，即可求解. 【详解】将代入中可得，故，,A正确，B错误， ,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确， 由于轴，所以不成立，故D错误， 故选：AC 10. 从1，2，3，4四个数字中随机抽取一个数字，记事件“取到数字1或数字2”，事件“取到数字1或数字3”，事件“取到数字2或数字4”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件相互独立 B. 事件为对立事件 C. D. 设事件发生的次数为，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据相互独立事件的定义即可判断A；根据对立事件的定义即可判断B；利用条件概率公式即可判断C；写出的所有可能取值，求出对于概率，再根据期望公式求期望即可判断D. 【详解】对于A，， 则， 所以事件相互独立，故A正确； 对于B，因为抽取到的数字是或或或， 而事件不可能同时发生且必有一个发生， 所以事件为对立事件，故B正确； 对于C，， 所以，故C错误； 对于D，由题意可取， 则， 所以，故D错误. 故选：AB. 11. 已知正方体的棱长为1，且E为AB的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线与夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解A,利用数量积的运算律即可求解B，建立空间直角坐标系，利用坐标运算，以及夹角公式即可求解C，利用等体积法即可求解D. 【详解】对于A, , ,故A错误， 对于B， , 故，B正确， 对于C，建立如图所示空间直角坐标系， 则, 可得,故， 所以直线与夹角的余弦值为，C错误， 对于D，由， 可得， 其中为点到平面的距离，故D正确， 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】, 故答案为： 13. 将2名女生和3名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各1人，则不同的分法种数为________． 【答案】12 【解析】 【分析】有排列组合即可结合分步乘法计数原理求解. 【详解】每个小组安排一个女生，有种方法， 每个小组安排一名男生，有种方法， 故每个兴趣小组分配男生女生各1人，共有种方法， 故答案为：12 14. 将（）的展开式中第m项的系数记作，则________（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再根据组合数的运算性质计算即可. 【详解】由题意可得， 则 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题意得出是解决本题的关键. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和（）． （1）求的值； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1）65 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用求出和即可. （2）明确，再对适度放缩，可得答案. （3）根据（2），可以很容易证明. 【小问1详解】 当时，， 又， 所以. 【小问2详解】 因为，所以（时取“”）. 所以， 即（当且仅当时取“”）. 【小问3详解】 由（2）（当且仅当时取“”）. 所以，，，…，. 各式相加得：. 即. 16. 如图，在三棱锥中，，，，． （1）证明：平面PAB； （2）过的中点作平面与平面ABC平行，并分别交，于点，，且E为的中点，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：在中，，，所以. 在中，，，，因为，所以.即， 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以， 又，平面，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证与平面内的两条相交直线，分别垂直，再根据线线垂直，得到线面垂直. （2）根据（1）的有关结论，建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的三角函数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图：以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为平面平面，且为中点，则为中点. 则,,,,,. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，取； 设平面的法向量为， 则，取. 设二面角为，则， 所以. 17. 已知直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，并交椭圆C：（）于不同的两点，且三等分线段． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，O为坐标原点，当的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三等分点得向量关系，即可求解，将其代入椭圆方程中即可求解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据弦长公式以及点到直线距离公式，可得三角形面积表达式，即可利用基本不等式求解最值. 【小问1详解】 直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，故, 由于是线段的三等分点，所以, 故， 将代入椭圆方程可得， 故椭圆方程为， 【小问2详解】 设直线：， 则， 设, 则， 故， 点到直线的距离， 故，当且仅当，即时等号成立， 时，，符合题意， 故的面积最大时，求直线l的方程为 18. 已知函数． （1）当时，证明：函数为增函数； （2）当时，证明：． 【答案】（1）证明：当时，，， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以函数为增函数； （2）证明：当时，，， ， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又， 所以存在，使得，此时， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令， 则， 所以函数在上单调递减， 所以， 即， 所以． 【解析】 【分析】（1）求导，构造函数，利用导数证明，再放缩结合基本不等式证明即可； （2）利用导数证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19. 一个袋子中有大小、形状、质地完全相同的n（）个球，号码分别标为1，2，，…，，从中有放回地随机摸球3次，每次摸球2个，把每次摸到的2个球号码之和记下，分别为，，． （1）若，求的概率； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，4个小球得编号为：1，2，4，8，从中取2个，其编号和记为，则为：3，5，6，9，10，12，求出对应的概率，设事件：，可求. （2）先明确，问题转化为求，用表示每次摸到的2个球号码之和，求的分布列，再求. 【小问1详解】 当时，4个小球得编号为：1，2，4，8，从中取2个，其编号和记为，则为：3，5，6，9，10，12， 且（） 记事件：，则. 【小问2详解】 因为是有放回抽取，所以，所以. 用表示每次摸到的2个球号码之和，则可以为：，，…，，，，…，，，…，. 共个不同的结果，且每个结果出现的可能性相同，对应概率均为. 所以 所以 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $