精品解析：天津市耀华中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

天津市耀华中学2023-2024学年度第二学期期末学情调研 高二年级数学学科 一、选择题（每小题4分，共48分）将答案填涂在答题纸. 1. 若集合，，则集合B的真子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解. 【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个. 故选：C 2. 若∃x0∈，使得成立是假命题，则实数λ的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由命题为假命题可得非命题为真命题，再分离参数，构造函数转化为最值处理，利用导数求出最值可得结果. 【详解】因为∃x0∈，使得成立是假命题， 所以∀x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题， 即∀x∈，恒成立是真命题， 令f(x)＝2x＋，则＝2－， 当x∈时，＜0，当x∈时，>0， 所以当时，取得最小值＝，则λ≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了特称命题的否定，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于中档题. 3. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性判断A；验证的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断D. 【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且， 对于A，，为偶函数，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，为奇函数，当时，， 因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确； 对于D，当时，，，所以时，， 单调递增，当时，，单调递减，故D错误， 故选：C. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 由已知中，由指数函数的单调性和对数函数的单调性，我们可以判断出a，b，c与0，1的大小关系，进而得到答案． 【详解】， ，即 且，即 ， 即 故 故选：C 【点睛】方法点睛：比较实数的大小，一般先把每一个数和零比，再把正数和1比，负数和比较.其中多用到函数的图象和性质. 5. 某公司生产的某型号无人机近5年的年销售量数据统计如表所示. 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 0 1 2 3 4 年销售量y/万件 10 15 20 30 35 根据表中的数据，用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为，则预测2024年该型号无人机的年销售量为（ ） A. 40万件 B. 41.5万件 C. 46万件 D. 48万件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题中所给的数据，计算得出样本中心点，代入求得，再将代入方程求得结果. 【详解】， 又因为直线过点， 故，解得， 则预测2024年该型号无人机的年销售量为（万件）， 故选：B 6. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 74 B. 121 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数， 【详解】因为在， 所以含的项为：， 所以含的项的系数是的系数是， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题， 7. 春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到列联表： 分类 做不到“光盘” 能做到“光盘” 男 45 10 女 30 15 由此列联表得到的正确结论是（ ） A. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 【答案】C 【解析】 【分析】作出列联表，求得，再与临界值表对比判断. 【详解】列联表如下： 分类 做不到“光盘” 能做到“光盘” 总计 男 45 10 55 女 30 15 45 总计 75 25 100 所以，且， 所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”. 故选：C 8. 若在上恒成立，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分离参数可得，只需，设，求导函数，分别令或或，求出函数的单调区间，进而求出函数的最小值即可. 【详解】， 设， 则， 令，则，解得，所以函数在上单调递增； 令，则，解得，所以函数在上单调递减； 令，则，解得，所以函数在处取得极小值， 故，所以， 所以实数取值范围为. 故选：A 【点睛】本题考查了分离参数法求参数的取值范围、利用导数求函数的最值，属于中档题. 9. 已知函数，函数为奇函数，则函数的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：为奇函数，，，，，则的两根为，，所以，的极小值为．又，，存在，使．综上，函数的零点个数为,故应选B． 考点：函数的零点和导数的有关知识的运用． 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具，也高考和各级各类考试的重要内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先求出函数的解析表达式，运用题设中的是奇函数，求出函数解析式中的参数的值，进而运用导数求得函数的两个极值点，通过计算分析算得和，，从而判定函数的零点在区间内．从而使得问题获解，本题具有一定的难度，难点在于如何判定函数的图象的走向，这里求导计算分析函数的极值起到的重要作用． 10. 设，，.若，，则最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用指、对数的关系，用表示，再利用基本不等式求最大值. 【详解】∵，，，， ∴，， ∴， 当且仅当，时取等号. ∴的最大值为1. 故选：C. 11. 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 A. 288种 B. 264种 C. 240种 D. 168种 【答案】B 【解析】 【详解】先分步再排列 先涂点E，有4种涂法，再涂点B，有两种可能： (1)B与E相同时，依次涂点F，C，D，A，涂法分别有3，2，2，2种； (2)B与E不相同时有3种涂法，再依次涂F、C、D、A点，涂F有2种涂法，涂C点时又有两种可能： （2.1）C与E相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能： ①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法； ②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法． （2.2）C与E不相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能： ①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法； ②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法． 所以不同的涂色方法有 4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264． 12. 已知函数（为常数，为自然对数的底数）的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的额几何意义求出切线方程，根据分段函数图象与切线恰好有三个公共点，得到当时，切线与有两个不同的交点，利用二次函数根的分布建立不等式关系，即可求出实数的取值范围. 【详解】解：由，，得，则（e）， 在点处的切线方程为：，① 由于函数，② 由①②联立方程组可得：， 化简得：，③ 要使得函数在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点， 切线与，，在点有一个交点， 只需要满足③式在内有两个不相同的实数根即可， 则只需和抛物线对称轴小于1，且当时， 才能保证在内有两个不相同的实数根， 则，即， 解得：， 的范围：或. 故选：D． 【点睛】本题考查根据函数交点个数求参数的取值范围，以及利用导数的几何意义求切线方程，利用二次函数的根的分布是解题的关键，考查转化思想和函数与方程的思想. 二、填空题（每小题4分，共16分）答案填涂在答题纸. 13. 已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 14. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝________. 【答案】0.6 【解析】 【分析】利用正态分布关于x＝2对称，可求出P(ξ≤0)，从而求出P(0＜ξ＜4). 【详解】由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2. 又正态曲线关于x＝2对称． 则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2， ∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6. 故答案为：0.6 【点睛】本题考查利用正态分布的对称性求指定区间的概率，属于基础题. 15. 若ax2+的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-2 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以由，因此 考点】二项式定理 【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项往往是考查的重点.本题难度不大，易于得分.能较好地考查考生的基本运算能力等. 16. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是_________. 【答案】(0,1) 【解析】 【分析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围． 【详解】令g（x）＝f（x）﹣m＝0， 得m＝f（x） 作出y＝f（x）与y＝m的图象， 要使函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点， 则y＝f（x）与y＝m的图象有3个不同的交点， 所以0＜m＜1， 故答案为（0，1）． 【点睛】本题考查等价转化的能力、利用数形结合思想解题的思想方法是重点，要重视． 三、解答题（本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）答案填涂在答题纸． 17. 已知关于的不等式 （1）当时，解该不等式； （2）当任意实数时，解该不等式． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）移项后通分，将分式不等式转化为一元二次不等式后可求解； （2）移项后通分，将分式不等式转化为整式不等式，再就分类讨论后可得其解. 【详解】（1）当时，原不等式可化为即， 故，所以，故原不等式的解为. （2）原不等式可化为即 当时，不等式的解为或； 当时，原不等式可化为即； 当时，原不等式可化为， 若，则不等式的解为； 若，则不等式的解为； 若，则不等式的解为. 综上， 当时，不等式的解为， 当时，不等式的解为， 当时，不等式的解为， 当时，不等式的解为， 当时，不等式的解为. 【点睛】本题主要考查含参数的分式不等式的解，注意先观察分母的符号是否确定，如果不确定，则可以移项通分后转化为整式不等式来求解，对于含参数的一元二次不等式注意分类讨论的层次. 18. 某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响． （Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 （Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标．另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析 【解析】 【详解】（Ⅰ）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率 （Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 = = （Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为 = 所以的分布列是: 19. 已知函数（，为自然对数的底数）. （1）若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2；（2）当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，单调递减区间为，，单调递增区间为；（3） 【解析】 【分析】（1）由，得出，利用，解得； （2），，令，解得：或0， 对分类讨论，利用导数研究出函数的单调性； （3）由于在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，即当时，，设，则，构造函数，通过对分类讨论，利用导数研究函数的单调性，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）解：由于，， ， 因为函数在点处的切线的斜率为， 所以， 解得：. （2）解：依题意知，， 令，解得：或0， 当时，令，得或， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 当时，令，得， 所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为. （3）解：由于在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 依题意，当时，， 即当时，， 设， 则， 设， 则， ①当时， 当时，，从而， 所以在区间为上单调递增， 又∵， 当时，，从而时，， 所以在区间为上单调递减， 又∵， 从而当时，， 即， 于是当时，； ②当时，令，得， ∴， 当时，， ∴在区间上单调递减， 又∵， 当时，， 从而当时，， ∴在区间上单调递增， 又∵， 从而当时，， 即，不合题意， 综上所述，实数取值范围为. 【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究的单调性以及利用导数解决恒成立问题求参数方程，考查分类讨论思想和计算能力，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市耀华中学2023-2024学年度第二学期期末学情调研 高二年级数学学科 一、选择题（每小题4分，共48分）将答案填涂在答题纸. 1. 若集合，，则集合B的真子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 若∃x0∈，使得成立是假命题，则实数λ的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 函数图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 某公司生产的某型号无人机近5年的年销售量数据统计如表所示. 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 0 1 2 3 4 年销售量y/万件 10 15 20 30 35 根据表中的数据，用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为，则预测2024年该型号无人机的年销售量为（ ） A. 40万件 B. 41.5万件 C. 46万件 D. 48万件 6. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 74 B. 121 C. D. 7. 春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到列联表： 分类 做不到“光盘” 能做到“光盘” 男 45 10 女 30 15 由此列联表得到的正确结论是（ ） A. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 8. 若在上恒成立，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 9. 已知函数，函数为奇函数，则函数的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 设，，.若，，则最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 11. 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 A. 288种 B. 264种 C. 240种 D. 168种 12. 已知函数（为常数，为自然对数底数）的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题（每小题4分，共16分）答案填涂在答题纸. 13. 已知，且，则的最小值为_________． 14 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝________. 15. 若ax2+的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______. 16. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是_________. 三、解答题（本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）答案填涂在答题纸． 17. 已知关于的不等式 （1）当时，解该不等式； （2）当为任意实数时，解该不等式． 18. 某射手每次射击击中目标概率是，且各次射击的结果互不影响． （Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 （Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标．另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列． 19. 已知函数（，为自然对数的底数）. （1）若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$