精品解析：山东省威海市乳山市银滩高级中学2023-2024学年高一下学期4月检测数学试题

高一数学4月模块检测 一、单选题： 1. 时间经过1小时40分钟，时针转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弧度制定义计算即可得. 【详解】， 故时针转过的弧度数为. 故选：D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助向量坐标运算与数量积公式计算即可得. 【详解】，由， 则有，解得. 故选：B. 3. 已知，则角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数基本关系与绝对值性质计算即可得. 【详解】， 则，，故角所在的象限是第三象限. 故选：C. 4. 已知平面向量满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式变形，再两边平方结合已知条件计算得出结果； 【详解】， 等式两边平方得， 因为，，，化简可得， 所以. 故选：A. 5. 如图，O为正六边形的中心，则下列的终点P落在内部(不含边界)的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】各选项分别去求，从而得出答案. 【详解】对于A：，以O为公共起点，､为邻边作平行四边形，得对角线，显然点P不在△内部； 对于B：，以O为公共起点，､为邻边作平行四边形，得对角线，显然点P在△内部； 对于C：，以O为公共起点，､为邻边作平行四边形，得对角线，显然点P不在△内部； 对于D：，以O为公共起点，､为邻边作平行四边形，得对角线，显然点P不在△内部. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】由可得， 故选：A 7. 如图所示，设点是单位圆上的一定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点所旋转过的的长为，弦的长为，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点为，设，在直角三角形求出的表达式，根据弧长公式求出的表达式，再用表示，再根据解析式得答案. 【详解】取的中点为，设， 则，， 所以，即，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦函数的图象，考查弧长公式，其中表示出弦长和弧长的解析式是解题的关键，属于基础题. 8. 在中，，，，是内一点，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加法运算法则，结合共线关系，即可得求解. 【详解】如图:过作，故, 由于，，，不妨设，则， 故， 结合可得，故， 故选：D 二、多选题： 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，即可根据同角关系以及诱导公式，结合选项逐一求解. 【详解】由可得， 对于A，，A错误， 对于B，，B正确， 对于C, ,C正确， 对于D，，D错误， 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. ，将绕原点旋转到位置，则点的坐标为 C. 已知，，则 D. 点在所在平面内，且满足，则是的垂心 【答案】AD 【解析】 【分析】对A：借助三角恒等变换公式化简即可得；对B：借助三角函数定义计算可得，即可得的坐标；对C：借助同角三角函数基本关系与两角差的余弦公式计算即可得；对D：借助向量的线性运算与垂直定义计算即可得. 【详解】对A： ，故A正确； 对B：设，，则，， 则， 由， ， 则，故，故B错误； 对C：， ， 则 ， 故，故C错误； 对D：由， 则有，即， 即，同理可得、， 故在的垂心，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在区间上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据辅助角公式可得，由周期得，进而代入验证即可求解AB，利用整体法即可求解CD. 【详解】，由于最小正周期为，故，故， 对于A, ,故的图像关于点对称，A错误， 对于B，，的图像关于直线对称，故B正确， 对于C，当时，，故在上单调递增，C正确， 对于D，时，，故，故，D正确， 故选：BCD 三、填空题： 12. 方程在区间上解的个数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据和即可求解. 【详解】由可得或， 若，，则， 若，，则或或 综上可得在区间上的解为或或 故解的个数为3， 故答案为：3 13. 已知，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系即可求得的值． 详解】 ，， 则， 故答案为：． 14. 如图，半圆的直径为半圆弧上的两个三等分点，则向量在向量上的投影的数量为______；______． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】在中计算，因为为半圆弧的三等分点，得出，利用投影的定义直接计算可得出空一结果；由等分关系可得出，又有，代入所求可得到，代入向量数量积的公式即可求出空二结果. 【详解】由题可得， 如图，连接，则，在中，，所以， 所以向量在向量上的投影为； 如图，连接，，因为，为半圆弧上的两个三等分点， 所以，， . 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：（1）向量在向量上的投影为； （2）求向量的数量积经常利用向量的线性运算将向量转化为其他向量，然后再利用向量数量积的定义计算. 四、解答题 15. 已知向量，，向量. （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求，夹角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据向量平行的坐标运算得，进而得解； （Ⅱ）先计算，再计算两向量的模长，利用夹角公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）由，得， 解得. 又，所以. （Ⅱ）若，则 所以 又，， 设，的夹角为，则. 16. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上． （1）求的值； （2）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角函数定义、二倍角公式与同角三角函数基本关系构造齐次式后弦化切计算即可得； （2）结合所给角度范围，分别计算出、、后，结合两角差的正弦函数公式计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得，则； 【小问2详解】 由，则，又，即， 则， 由，则，， 由，则， 则 ， 故，即. 17. 如图所示，在中，是边中点，是边上的一点，与CE交于点，设． （1）求值； （2）若，，求长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助平面向量的线性运算与平面向量基本定理计算即可得； （2）借助平面向量基本定理将转化为、表示，结合数量积公式计算即可得解. 【小问1详解】 ， 设，则， 故有，解得，即； 【小问2详解】 由，则， ， 则有 ， 故，即， 故长. 18. 已知中，，，，点满足，点在线段上移动（包含端点）． （1）若，求实数的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助向量的线性运算与平面向量基本定理计算即可得； （2）设，结合向量线性运算与数量积公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 故，，则； 【小问2详解】 设，， 则， ， 故 ， 由，则. 19. ，，函数． （1）求在上的单调递增区间； （2）求在上的最小值及取得最小值时的集合． （3）若将函数的图像向左平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到函数的图像．又，，，，求的值． 【答案】（1） （2）在上的最小值为，且最小值时的集合为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算结合三角恒等变换可得，即可利用整体法求解， （2）利用整体法即可求解， （3）利用图象的变换可得，即可根据同角关系式以及正弦和差角公式求解. 【小问1详解】 ， 令， 解得，又， 取，则， 取，则， 故在的单调递增区间为. 【小问2详解】 时，， 令，则， 故在上的最小值为，且最小值时的集合为 【小问3详解】 由题意可得， ，， 又，， 所以，， 故 20. 如图，圆心角为的扇形的半径为2，点是上一点，作这个扇形的内接矩形．设，． （1）若，求矩形的面积； （2）用表示矩形的面积，并求出矩形面积的最大值． 【答案】（1） （2），最大值. 【解析】 【分析】（1）利用直角三角函数求出，进而可得矩形面积； （2）利用直角三角函数用表示出，进而就可以表示矩形的面积，然后利用正弦函数的性质求最值. 【小问1详解】 当时，在直角三角形中， ， 又在直角三角形中，， 所以， 则； 【小问2详解】 在直角三角形中， ， 又在直角三角形中，， 所以， 则 ， 即， 因为，所以， 所以， 所以. 21. 已知向量，，函数的部分图象如图所示． （1）求的值及表达式： （2）若先将函数的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，若，是图象上两不同点，且满足，求的最小值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）借助平面向量数量积公式与两角差的余弦公式可得，结合图象利用周期性与零点可计算出的值，即可得表达式； （2）结合三角函数的平移变换可得的解析式，结合其值域可得，两点特征，再利用两点间距离公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 由图可得，又，则， ，则，故， 又，则，故； 【小问2详解】 由题意可得， 由，， 则若，两点中，一个在最高点处、一个在最低点处， 则，即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学4月模块检测 一、单选题： 1. 时间经过1小时40分钟，时针转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A B. C. D. 3. 已知，则角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知平面向量满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 如图，O为正六边形的中心，则下列的终点P落在内部(不含边界)的是（ ） A. B. C D. 6 已知，则（ ） A B. C. D. 7. 如图所示，设点是单位圆上的一定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点所旋转过的的长为，弦的长为，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，是内一点，，设，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题： 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. ，将绕原点旋转到位置，则点坐标为 C. 已知，，则 D. 点在所在平面内，且满足，则是的垂心 11. 已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在区间上的值域为 三、填空题： 12. 方程在区间上解的个数是______． 13. 已知，且，则______． 14. 如图，半圆的直径为半圆弧上的两个三等分点，则向量在向量上的投影的数量为______；______． 四、解答题 15. 已知向量，，向量. （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求，夹角的余弦值. 16. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上． （1）求的值； （2）若，，，求的值． 17. 如图所示，在中，是边的中点，是边上的一点，与CE交于点，设． （1）求值； （2）若，，求长． 18. 已知中，，，，点满足，点在线段上移动（包含端点）． （1）若，求实数的值； （2）求的取值范围． 19. ，，函数． （1）求在上的单调递增区间； （2）求在上的最小值及取得最小值时的集合． （3）若将函数的图像向左平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到函数的图像．又，，，，求的值． 20. 如图，圆心角为的扇形的半径为2，点是上一点，作这个扇形的内接矩形．设，． （1）若，求矩形的面积； （2）用表示矩形的面积，并求出矩形面积的最大值． 21. 已知向量，，函数的部分图象如图所示． （1）求的值及表达式： （2）若先将函数的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，若，是图象上两不同点，且满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$