精品解析：2024年重庆市潼南区潼南区九年级下学期第二次联合测试数学试题

2021级九年级下期第二次联合测试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 7 2. 如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是( ) A. B. C. D. 3. 若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为 A. 3：4 B. 4：3 C. ：2 D. 2： 4. 如果四点，和和在反比例函数的图象上，那，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. 下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，，则图6中有（ ）个棋子． A. 37 B. 40 C. 43 D. 50 7. 如图，在中， ，是的角平分线，点O在 上，以点O为圆心，为半径的圆恰好与 相切于一点D，交 于点E．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，则列方程得（ ） A. B. C. D. 9. 如图将矩形沿对角线折叠，使落在处，交 于点，若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 学习平方差公式后，小明所在的学习小组为了加强对公式的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：第一次操作：把多项式与的平方差的结果记为， 第二次操作：把多项式与的平方差的结果记为， 第三次操作：， 第四次操作：把多项式与的平方差的结果记为， ．．．以此类推， 每到了的倍数时就把前两次的结果求和（其中，为整数）．下列说法： （1）若为偶数，则为正整数时都是的倍数； （2）当，时，； （3）若是一个奇数，则必然也是一个奇数； （4）若为奇数，且，从开始的连续个数的和记为，则，，三个数中只有一个奇数；其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：________________ 12. 函数的自变量的取值范围为_______________ 13. 某校初一初二“歌唱祖国合唱团”选拔活动正在进行，通过层层选拔，进入最终选拔的有四名选手，七、八年级各两名选手，则最终八年级一名选手获得第一名，七年级一名选手获得第二名的概率是_______ 14. 一个正多边形的一个内角与一个外角的差是，则这个多边形的内角和为_____． 15. 如图， 为 的直径，且，点是弧 上的一点（不与， 重合．）过点 作 的切线交 的延长线于点，点是的中点，连接．当时，则图中阴影部分面积为________ 16. 如图，在正方形中，，，则线段的长度为________ 17. 若关于的一元一次不等式组有解且最多7个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为________ 18. 定义：如果一个四位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足千位上的数字与个位上的数字的2倍的差等于百位上的数字与十位上的数字的2倍的差，则称这个四位数为差倍数．设为一个差倍数，将的千位数字与百位数字交换位置，十位和个位交换位置后得到的新数再与相加的和与11的商记为．例如：8612是“差倍数”，则，已知差倍数（，且为整数），则________；四位数是一个差倍数，且千位数字满足，是7的整数倍，则满足条件的的最大值为________ 三、解答题：（本大题共8个小题，19小题8分，20-26每小题10分） 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，，平分． （1）用尺规作图完成以下基本作图：作平分，交 于点，连接交于O．（保留作图痕迹，不写作法和结论．） （2）根据（1）中作图，若O为中点，证明四边形是平行四边形，请你补全证明过程． 证明：， ． 又平分， ① ， 同理： ， ② ， 为中点 ③ ， 又 ． 四边形是平行四边形．（ ④ ）． 21. 近年来，我国航天事业成果丰硕，某校为了加强学生爱国主义教育，特组织进行了七、八年级全体学生“强国有我，心向蓝天”航天知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：， ，，D：85分以下，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级组同学的分数分别为：，，，； 八年级组同学的分数分别为：，，，，，，，，． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 95 八年级 88 89 （1）填空：___________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“强国有我，心向蓝天”航天知识竞赛“中，哪个年级学生对航天知识的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级有750名学生，八年级有660名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 22. 博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华优秀传统文化的认同．潼南博物馆位于潼南区大佛街道石碾社区，毗邻潼南大佛景区．馆内设有恐龙、历史文化、石刻文化、建筑文化、人文文化大展厅．是了解潼南历史的新窗口．一学习小组计划利用周末到潼南博物馆参观学习． （1）为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花元请私家讲解人员，后又临时增加名同学，实际的团费虽然增加了元，但实际的人均费用比原来的人均费用少了 元，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数； （2）该博物馆的步行参观路线全长米，分为“亚洲最大恐龙展区”“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”两个部分，参观“亚洲最大恐龙展区”部分的平均速度是米每分钟，若“亚洲最大恐龙展区”的步行路线长米，加上周末参观人数多，在“亚洲最大恐龙展区”部分需排队分钟，若小组整个参观学习过程计划最多花费小时，求“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度最少为多少米每分钟？ 23. 如图，在菱形中，，，动点 ， 均以每秒个单位长度的速度同时出发，点 沿折线方向运动，点 沿折线方向运动，当两者到达 点时停止运动．设运动时间为秒，线段的长度为，． （1）请直接写出，关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这两个函数图象，并各自写出两函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（结果保留一位小数） 24. 某校进行应急演练，事发地点处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于 点处的演练应急处理队员立即报告120（专为演练准备的），并组织位于 点处的救护人员立即出发，处的120救护车接到通知后也立刻同时出发前往事发地点处．计划由B处的救护人员赶到事发地点处一边应急处理一边护送该伤员沿方向行进，与救护车相遇后将该伤员转移到救护车上接受救治．已知在的北偏东方向500米上， 在的东北方向上，且在的正南方向上． （1）求 两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）； （2）黄金救援时间是6分钟（本次演练设定为3分钟），救护人员的平均速度为90米/分，救护车的平均速度为230米/分，请判断该伤员是否能在黄金救援时间内接受救治？请说明理由．（事发与接到通知之间的时间，接送伤员上下车的时间均忽略不计） 25. 如图 ，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点 ，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图，点为直线 上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交 于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度， 为平移后抛物线对称轴上的一点，若，请写出所有符合条件的点 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 26. 如图，是等边三角形，点D是平面内一点，连接，在平面内将线段绕点D逆时针方向旋转得到线段． （1）如图1，若点D在 上，将绕点D逆时针方向旋转得到线段，此时点E正好落在 上，G是 延长线上一点，连接交 于点F，若，，求的长； （2）如图2，将绕点D逆时针方向旋转°，连接 、，点H是 中点，连接交于点Q，连接，． ①求证：； ②如图3，点M是中点，连接 ，将沿 翻折至，当点N到直线 的距离最大时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021级九年级下期第二次联合测试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【详解】解:∵， ∴的倒数是． 故选择A． 【点睛】本题考查倒数的定义，掌握倒数的定义是解题关键． 2. 如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图． 【详解】左视图有2层3列，第一层有3个正方形，第二层有一个正方形；每列上正方形的分布从左到右分别是2，1，1个． 故选D． 【点睛】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型． 3. 若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为 A. 3：4 B. 4：3 C. ：2 D. 2： 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答. 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4， ∴△ABC与△DEF的相似比为：2， ∴△ABC与△DEF的周长比为：2. 故选C 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比． 4. 如果四点，和和在反比例函数的图象上，那，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相等，求出各点纵坐标，比较大小即可． 【详解】解：，和和在反比例函数的图象上， ， ，，， ， 故选A． 5. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握二次根式的混合运算法则和无理数估算的方法是解题的关键． 先计算出原式，再估算出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 6. 下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，，则图6中有（ ）个棋子． A. 37 B. 40 C. 43 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察图形可得规律，图n有个，据此规律求解即可． 【详解】解：图1中棋子有个， 图2中棋子有个， 图3中棋子有个， ……， 以此类推可知，图n有个， ∴图6有个， 故选：B． 7. 如图，在中，， 是 的角平分线，点O在 上，以点O为圆心，为半径的圆恰好与相切于一点D，交 于点E．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆切线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ 是 的角平分线， ∴， ∴， 故选：C． 8. 中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为 ，则列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每年盈利的年增长率为 ，根据题意列出方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每年盈利的年增长率为 ， 由题意得：， 故选：． 9. 如图将矩形 沿对角线 折叠，使落在处，交 于点，若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，由矩形的性质推出，由折叠的性质得到，求出，即可得到的度数． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 学习平方差公式后，小明所在的学习小组为了加强对公式的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：第一次操作：把多项式与的平方差的结果记为， 第二次操作：把多项式与的平方差的结果记为， 第三次操作：， 第四次操作：把多项式与的平方差的结果记为， ．．．以此类推， 每到了的倍数时就把前两次的结果求和（其中，为整数）．下列说法： （1）若为偶数，则为正整数时都是的倍数； （2）当，时，； （3）若是一个奇数，则必然也是一个奇数； （4）若为奇数，且，从开始的连续个数的和记为，则，，三个数中只有一个奇数；其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据阅读材料，利用平方差公式进行计算，然后对进行分析，从而判断出结果，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】 ， ， ， ∵， ∴ ， ∴，，， ，，， ， ∴，，， 若为偶数，是的倍数， 则为正整数时，都是的倍数， ∴①正确； 当，时，， ∴正确； ∵， ∴ ， ∴当操作次数为的倍数时，其结果是偶数， ∵是的倍数， ∴必然是一个偶数， ∵，是一个奇数， ∴必然也是一个奇数， ∴正确； 若为奇数，且，从开始的连续个数的和记为， 由上可知必为偶数，，必为奇数， 当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为偶数， 则，，三个数中只有一个奇数； 当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为奇数， 则，，三个数中有两个奇数； 当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为偶数， 则，，三个数中只有一个奇数； ∴错误； 以上说法中正确的个， 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 函数的自变量 的取值范围为_______________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴函数的自变量 的取值范围为， 故答案为：． 13. 某校初一初二“歌唱祖国合唱团”选拔活动正在进行，通过层层选拔，进入最终选拔的有四名选手，七、八年级各两名选手，则最终八年级一名选手获得第一名，七年级一名选手获得第二名的概率是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到最终八年级一名选手获得第一名，七年级一名选手获得第二名的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设用A、B表示七年级两名学生，用C、D表示八年级两名学生，画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中最终八年级一名选手获得第一名，七年级一名选手获得第二名的结果数有4种， ∴最终八年级一名选手获得第一名，七年级一名选手获得第二名的概率为， 故答案为；． 14. 一个正多边形的一个内角与一个外角的差是，则这个多边形的内角和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角与外角的关系，设外角的度数是，则内角的度数是，由题意得，解出，然后求出边数即可求解，掌握其计算公式是解题的关键． 【详解】设外角的度数是，则内角的度数是， 由题意得：， 解得， ∴该正多边形边数为， ∴正多边形的内角和为， 故答案为：． 15. 如图， 为 的直径，且，点是弧 上的一点（不与，重合．）过点作 的切线交的延长线于点，点是 的中点，连接．当时，则图中阴影部分面积为________ 【答案】 【解析】 【分析】连接， ，由是 的中点，可得，证明，得，再求出，最后根据阴影部分的面积即为四边形的面积减去扇形的面积进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 为 的直径， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 四边形的面积为， 阴影部分面积为． 故答案为：. 【点睛】此题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法，正确的作出辅助线是解题的关键． 16. 如图，在正方形 中，，，则线段的长度为________ 【答案】 【解析】 【分析】连接，先证和全等，得到，，继而得出，再分别求出的度数，进一步求出的度数，从而得到为等腰直角三角形，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形 是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， 由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键． 17. 若关于 的一元一次不等式组有解且最多7个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为________ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解和解一元一次不等式组，求出一元一次不等式组的解集，根据它有解且最多7个整数解，求得m的取值范围；解分式方程，根据其解为整数，求得所有符合条件的m的值，将这些值相加即可． 【详解】解：, 解不等式得，， 所以，不等式组的解集为， ∵原不等式组有解且最多7个整数解， ∴． 解分式方程得：， ∵是原分式方程的增根， ∴． ∴，且， ∵为整数， ∴或4或6， 当时，； 当时，； 当时，， ∴， 故答案为：1． 18. 定义：如果一个四位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足千位上的数字与个位上的数字的2倍的差等于百位上的数字与十位上的数字的2倍的差，则称这个四位数为差倍数．设为一个差倍数，将的千位数字与百位数字交换位置，十位和个位交换位置后得到的新数再与相加的和与11的商记为．例如：8612是“差倍数”，则，已知差倍数（，且 为整数），则________；四位数是一个差倍数，且千位数字满足，是7的整数倍，则满足条件的的最大值为________ 【答案】 ①. 608 ②. 3974 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减与阅读理解，设差倍数千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d，根据差倍数的概念得，由可得，求出，得，可求出；根据A差倍数，且A为最大数时，，从而可得A的最大数 【详解】解：设差倍数千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d，且 根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四位数是一个差倍数，且千位数字满足， 当时， ∴， 当时，，所以，，，不是整数，故不符合题意； 当时，，所以，，，不是整数，故不符合题意； 当时，，所以，，，是整数； ∴的最大值为3974 故答案为：608；3974 三、解答题：（本大题共8个小题，19小题8分，20-26每小题10分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的四则运算和分式的混合运算： （1）原式根据完全平方公式和多项式乘以多项式运算法则将括号展开后再合并即可得到答案； （2）原式先把括号内的通分，再根据同分母分式加减法法则计算，再将除式分子、分母分解因式后把除法转换为乘法后约分化简后可得答案 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 如图， ，平分． （1）用尺规作图完成以下基本作图：作平分，交 于点，连接 交 于O．（保留作图痕迹，不写作法和结论．） （2）根据（1）中作图，若O为 中点，证明四边形是平行四边形，请你补全证明过程． 证明： ， ． 又平分， ① ， 同理： ， ② ， 为 中点 ③ ， 又 ． 四边形是平行四边形．（ ④ ）． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）证明： ， ． 又平分， ， 同理： ， ， 为 中点 ， 又 ． 四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图： （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据已给推理过程，结合平行四边形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 近年来，我国航天事业成果丰硕，某校为了加强学生爱国主义教育，特组织进行了七、八年级全体学生“强国有我，心向蓝天”航天知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用 表示，共分成四组：， ，，D：85分以下，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级组同学的分数分别为：，，，； 八年级组同学的分数分别为：，，，，，，，，． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 95 八年级 88 89 （1）填空：___________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“强国有我，心向蓝天”航天知识竞赛“中，哪个年级学生对航天知识的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级有750名学生，八年级有660名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1）87，89， （2） 解：七年级学生对航天知识的了解情况更好，理由： 由表格可知，七年级学生对航天知识的了解的优秀率高于八年级学生对航天知识的了解的优秀率； （3）估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有531人 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值； （2）根据表格中的数据，可以解答本题； （3）根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【小问1详解】 解：由条形统计图可得：， 由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为， ∴， ， 故答案为：87，89，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得， （人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有531人． 22. 博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华优秀传统文化的认同．潼南博物馆位于潼南区大佛街道石碾社区，毗邻潼南大佛景区．馆内设有恐龙、历史文化、石刻文化、建筑文化、人文文化大展厅．是了解潼南历史的新窗口．一学习小组计划利用周末到潼南博物馆参观学习． （1）为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花元请私家讲解人员，后又临时增加名同学，实际的团费虽然增加了元，但实际的人均费用比原来的人均费用少了元，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数； （2）该博物馆的步行参观路线全长米，分为“亚洲最大恐龙展区”“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”两个部分，参观“亚洲最大恐龙展区”部分的平均速度是米每分钟，若“亚洲最大恐龙展区”的步行路线长米，加上周末参观人数多，在“亚洲最大恐龙展区”部分需排队分钟，若小组整个参观学习过程计划最多花费小时，求“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度最少为多少米每分钟？ 【答案】（1）该学习小组实际参观博物馆的同学人数为人； （2）“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度最少为米分钟． 【解析】 【分析】（）设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为 人，则原计划参观博物馆的同学人数为人，根据题意得出关于 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （）设“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度为米分钟， 根据题意得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． 【小问1详解】 设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为 人，则原计划参观博物馆的同学人数为人， 根据题意得：，整理得：， 解得：，， 经检验，，，均是所列方程的解， ∴符合题意，不符合题意，舍去， 答：该学习小组实际参观博物馆的同学人数为人； 【小问2详解】 设“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度为米分钟， 根据题意得：， 解得：， 答：“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度最少为米分钟． 23. 如图，在菱形 中，，，动点 ， 均以每秒个单位长度的速度同时出发，点 沿折线方向运动，点 沿折线方向运动，当两者到达点时停止运动．设运动时间为 秒，线段的长度为，． （1）请直接写出，关于 的函数表达式并注明自变量 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这两个函数图象，并各自写出两函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时 的取值范围．（结果保留一位小数） 【答案】（1），； （2） 函数图象如图所示； 函数关于直线成轴对称， 关于直线成轴对称； （3） 的取值范围为或． 【解析】 【分析】（）根据菱形的性质得到，推出 是等边三角形，过作于 ，当点 在 上时，根据勾股定理得到，当时，得到 ，当时，根据三角形的面积公式即可得到结论； （）根据题意画出函数图象即可； （）根据函数的图象即可得到时 的取值范围； 此题是考查了动点问题，一次函数的图象及性质，菱形的性质及等边三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 在菱形 中，，， ∴， ∴ 是等边三角形， 过作于 ，当点 在 上时， ∴， ∴由勾股定理得， 当时， 由题意得，， ∴， ； 当时， 同理，， 综上所述，，； 【小问2详解】 函数关于直线成轴对称， 关于直线成轴对称； 【小问3详解】 由图象知，当时， 的取值范围为或． 24. 某校进行应急演练，事发地点处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于点处的演练应急处理队员立即报告120（专为演练准备的），并组织位于点处的救护人员立即出发，处的120救护车接到通知后也立刻同时出发前往事发地点处．计划由B处的救护人员赶到事发地点处一边应急处理一边护送该伤员沿方向行进，与救护车相遇后将该伤员转移到救护车上接受救治．已知在的北偏东方向500米上，在的东北方向上，且在的正南方向上． （1）求 两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）； （2）黄金救援时间是6分钟（本次演练设定为3分钟），救护人员的平均速度为90米/分，救护车的平均速度为230米/分，请判断该伤员是否能在黄金救援时间内接受救治？请说明理由．（事发与接到通知之间的时间，接送伤员上下车的时间均忽略不计） 【答案】（1）米 （2） 解：该伤员能在黄金救援时间内接受救治，理由如下： 设从接到通知后到救护车接到伤员共用时x分钟， 由题意可得 解得 ∴该伤员能在黄金救援时间内接受救治． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形及其应用，构造直角三角形并利用三角函数求解使解答本题得关键． （1）过点A作的垂线，交的延长线于点D，先解得到米，米，再解得到米即可得到答案； （3）设从接到通知后到救护车接到上元共用时x分钟，由题意可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点A作的垂线，交的延长线于点D， 由题意可知，，，米， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴米，米， 在中，米， ∴米； 【小问2详解】 略 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图，点为直线 上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交 于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度， 为平移后抛物线对称轴上的一点，若，请写出所有符合条件的点 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 【答案】（1）抛物线的函数解析式； （2）的最大值为，此时点的坐标为； （3）解：点 的坐标为或， ∵，， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将抛物线 向下平移个单位长度，向右平移个单位长度， ∴平移后抛物线的对称轴为直线，连接， ∵，， ∴， 要使，只需即可， 当点 在 上方时，设交轴于，过点作于，交于 ， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴点 的坐标为， 同理得直线的解析式为， 当时，， ∴点 的坐标为； 当点 在 下方时，与平移后抛物线的对称轴交于 ， ∵，， 同理得直线的解析式为， 当时，， ∴点 的坐标为， 综上所述：点 的坐标为或． 【解析】 【分析】（）将两点坐标代入抛物线的解析式求得的值，进而得出解析式； （）由两点求出 的解析式, 过点作轴于点 ，证明 ，进而设出点坐标，表示出的长，进一步得出结果； （）连接，可得，要使，只需 ，所以分为点 在 上方和点 在 下方，结合图象，进一步得出结果； 本题考查了二次函数的图象及性质，用待定系数法求一次函数的解析式，锐角三角函数，平移的性质等知识，正确分类，画出符合条件的图形及熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 由题意得 ，解得：， ∴抛物线的函数解析式； 【小问2详解】 当时，， ∴，， ∴， 设直线 的解析式为， ∴，解得：， ∴直线 的解析式为， 设点，则， ∴， 过点作轴于点 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴当时，的最大值为，此时点的坐标为； 【小问3详解】 略 26. 如图， 是等边三角形，点D是平面内一点，连接 ，在平面内将线段 绕点D逆时针方向旋转得到线段． （1）如图1，若点D在 上，将 绕点D逆时针方向旋转得到线段，此时点E正好落在上，G是 延长线上一点，连接交于点F，若，，求 的长； （2）如图2，将 绕点D逆时针方向旋转°，连接、 ，点H是中点，连接交于点Q，连接，． ①求证：； ②如图3，点M是 中点，连接 ，将沿 翻折至，当点N到直线 的距离最大时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） ①证明：如图2，延长至点，使得，连接、、， ，延长 交于点，交于点， 由旋转的性质可知，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ，，， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）过点作交 于点，证明是等边三角形，再结合旋转的性质，得出，进而得出，，证明，得出，即可求出 的长； （2）①延长至点，使得，连接、、， ，延长 交于点，交于点，易证四边形是平行四边形，进而推出，可证是等边三角形，由等腰三角形的性质和勾股定理，得出，，即可证明结论； ②取 中点，连接、，与 交于点，先得出点在以 为直径的圆上运动，再得出点 在以为直径的圆上运动，取的中点，作以为直径的圆，交 于点，作弦的垂直平分线交 于点，垂足为，当点 运动到与点重合时，点N到直线 的距离最大，此时与 的交点与点重合，连接、，设，则，，，，，证明，得出，再分别用表示出和即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，过点作交 于点， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①略 ②如图3，取 中点，连接、，与 交于点， 由①可知，，， ， 点在以 为直径的圆上运动， ，， 是的中位线， ， ， 点 在以为直径的圆上运动， 取的中点，作以为直径的圆，交 于点，作弦的垂直平分线交 于点，垂足为， 沿 翻折得到， 点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离， 当点 运动到与点重合时，点 到直线 的距离最大，即点N到直线 的距离最大，此时与 的交点与点重合，连接、，如图4， 设， ，， 是等边三角形， ， ， ，，，， ， ， ，， ， ， ， ， 在等边 中，点是 中点，， ，， ， ， 由①可知，，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，含30度的直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，正确作辅助线是解题关键，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $