2.3.3点到直线的距离公式课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.3点到直线的距离公式 （1）会用向量工具推导点到直线的距离公式； （2）掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题； （3）通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 1、点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用（重点）; 2、点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析（难点）． 学习目标 重点难点 问题1：立定跳远测量的什么距离？ A.两平行线的距离 B.点到直线的距离 C.点到点的距离 新知引入 2. 定义：夹在两平行线间的__________的长. 公垂线段 1. 图示： 3. 求法： 问题2：已知两条平行直线的方程，如何求间的距离？ 两条平行直线间的距离 点到直线的距离 转化 探究交流 引入：在铁路MN附近P地要修建一条公路使之连接起来,问:如何设计才能使公路最短? M地 N地 P地 实际问题转化： 得到简化图形: 过P点作MN的垂线,设垂足为Q,则垂线段PQ的长度就是点P到直线MN的距离. Q 探究交流 如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. 思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎样求点P到直线l的距离呢? 当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式. Q y o y=y1 (x0,y0) x P (x0,y1) Q x y o x=x1 P(x0,y0) (x1,y0) 探究交流 问题1　 如图，已知点 ，直线 如何求点 到直线 的距离？ 分析：过点P 作直线l的垂线,垂足为 Q点，线段 PQ的长度叫做点P 到直线l的距离． 追问1：如何求PQ ？ 追问2：如何求出点Q的坐标？ 找Q的坐标，然后由两点距离公式 Q为直线l与直线PQ的交点 追问3：如何求PQ的方程？ 探究交流 问题1　 如图，已知点 ，直线 如何求点 到直线 的距离？ 探究交流 上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗? 问题2 上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗? 能否不求点Q的坐标？ 已知 和 ， 则 探究交流 问题2 上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程，能否不求点Q的坐标，找到距离. 解方程组 不妨设 ， 则 追问：能否从方程组中直接求出 ？ 则 “整体代换” “设而不求” 方向二：把(3)(4)平方相加，得 探究交流 问题3 向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢? P1 P2 l O y 已知 ，设 满足 l 的直线方程 ， 探究交流 问题3:向量是解决空间距离、角度问题的有力工具,能否用向量方法求点到直线的距离呢? 探究交流 手推 问题4:还有其他方法可以求点到直线的距离呢? [思路四] 等面积法构造直角三角形求其高. 探究交流 问题：已知点P的坐标为（x0, y0），直线l 的方程是 Ax+B y +C=0，怎样求点P到直线l 的距离？ 点到直线的距离 易证，当A=0或B=0时，以上公式仍适用。 从三角形面积公式可知 d·∣RS∣=∣PR∣•∣PS∣ 所以 探究交流 问题5：比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它们各有什么特点？ 点的坐标刻画图形间关系 代数方法 寻找所求量的坐标表示 坐标法 （求垂足坐标） 点到直线距离公式 坐标法 （设而不求、整体代换） 几何特征 向量的坐标表示 向量法 探究交流 (1)两点距离： (2)点到直线的距离： 注意：运用此公式时要求 ①直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式. ②当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用. 方法总结 分子是P点坐标代入直线方程；分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根，类似于勾股定理求斜边的长 探究交流 练习（第77页） 小试身手 小试身手 探究交流 x y C (-1,0) O -1 1 2 2 3 3 1 B (3,1) A (1,3) 探究交流 割补法 探究交流 拓展1：求经过两直线与的交点，且和点的距离为的直线的方程. 解：由解得即直线过点. ①当与轴垂直时，方程为，点到的距离，满足题意. ②当与轴不垂直时，设斜率为， 则的方程为，即， 探究交流 拓展1.求经过两直线与的交点，且和点的距离为的直线的方程. 由点到的距离为， 得，解得， 所以的方程为，即. 综上，所求直线方程为或. 探究交流 1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是 当A=0或B=0时,公式仍然成立. 2.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式. 3.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰. 课堂小结 课堂检测 教科书 P79 习题2.3第11题. d＝. $$