2.3.3 点到直线的距离公式 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线的交点坐标与距离公式 2.3.3 点到直线的距离公式 创设情境 导入新知 保定有着“体育之城，冠军摇篮”的美誉，也是全国全民健身模范市，近年来在筹建重大体育基础设施方面持续发力。2024年，为打造“人人可健身”的高品质运动空间，某体育公园工程建设即将开工，为了施工方便，需要在仓库和公路之间修一条路来运送物资，如何修建这条路最省时省力？这条路至少需要多少千米？ 如何求点 P 到直线 l 的距离？ 问题1 仓库P 公路l 如图，已知平面内点P(x0，y0)，直线 l：Ax+By+C= 0 如何求点 P 到直线 l 的距离？ 创设情境 导入新知 Q P（x0,，y0） x y O l P l 点 𝑃到直线 l 的距离，是指从点 𝑃到直线 𝑙的垂线段PQ的长度，其中𝑄垂足(如图所示). 3 动手操作 合作探究 1. 定垂线方程 2. 找交点坐标 3. 代距离公式 坐标法 P（x0,y0） Q x y O l P（x0,y0） Q x y O l P Q x y O l 追问： 到直线的距离 到直线的距离 当A=0或B=0时，点到直线的距离还满足 吗？ 动手操作 合作探究 5 一般地， 点到直线的距离： 动手操作 合作探究 P Q x y O l P Q x y O l P（x0,，y0） Q x y O l 6 数形结合 探究新知 问题3 追问3：观察两点间距离公式的结构 ，你能想到什么几何图形？ 是否可以简化运算，推导点到直线的距离公式？ 追问1：运算较繁，反思求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗? P（x0,y0） Q（x,y） x y O l 追问2：针对上述原因，能否通过找到回避计算点Q的坐标，进而简化运算呢？ 追问4：结合方程组，可以“凑”出吗？ 7 数形结合 探究新知 设点Q (x1 , y1)，则 ①和②分别平方后相加得: （） = ② ① 设而不求 整体代换 d = = 数形结合 探究新知 问题4 向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，结合前面空间向量求距离的方法，能否用向量方法求点到直线的距离? 如图，点到直线的距离|PQ|是点与直线上所有点的距离中最短的. P Q x y O l M(x,y) 9 向量法 数形结合 探究新知 追问1 点与直线上任一点所成向量与向量有何关系呢？ 设是直线上任意一点， 是在上的投影向量的模长. ， 其中是与直线的方向向量垂直的单位向量. P Q x y O l M(x,y) 10 数形结合 探究新知 追问2 还有其他的方法吗？ 等面积法 x y O S R P P（x0,y0） Q（x,y） x y O l P Q x y O l M(x,y) 11 例1：求点 P (-1 , 2) 到直线 l : 的距离. 典型精解 小试牛刀 d = 解： 将点 P 代入点到直线距离公式，得： 由题可得：A = 3 B = 0 C = -2. = = 归纳小结 总结提升 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 核心素养 …… 向量法 交点法 点到直线的距离公式 化归 设而不求 数形结合 整体代换 思想方法 等面积法 勇于探索 传承精神 交点法 运算量比较大，但这是数学史上出现的较早方法。 美国数学学者戴维斯早在 1836年在《解 析几何》 一书中就采用了交点法推导出点到 直线距离公式． 向量法 在20世纪 40 年 代，向量知识逐渐出现在教科书中。 1948 年， 美国数学家默纳汉利用向量法求得点到直线 的距离. 20世纪 George Gibon 在杨格的基础上—“设而不求”法 19世纪,英国数学家托德亨特将—“三角法” 20世纪,美国数学家泰勒—“函数法” 19世纪末,英 国数学家约翰斯顿—“面积法” 英国数学家杨格简化了“交点法”的运算 “教材中定理和公理的叙述，是数学家经历艰苦的探索，字斟句酌的结果． ” ——克莱因 “优化运算路径” 求原点到下列直线的距离： (1)l : (2) l : 课堂小练 知识应用 $$