精品解析：安徽省六安市霍山中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

晉山中学2023—2024学年第二学期高一年级期末考试 数学试题 一、单选题 1. 若复数z在复平面内对应的点是，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. 4a B. 8a C. 6a D. 3. 已知非零向量与同向，则－（ ） A. 必定与同向 B. 必定与同向 C. 必定与是平行向量 D. 与不可能是平行向量 4. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 5. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. C. 与相等 D. 与互斥 6. 一个圆台上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得，两地相距500m，则电视塔的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为 A. B. C. D. 二、多选题 9. 有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ） A. 这组数据众数为4 B. 这组数据的极差为3 C. 这组数据的平均数为2 D. 这组数据的分位数为1 10. 设的内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则钝角三角形 D. 若，则为等腰三角形或者直角三角形 11. 已知梯形，，，，，是线段的中点．将沿着所在的直线翻折成四面体，翻折的过程中下列选项正确的是（ ） A. 与始终垂直 B. 当直线与平面所成角为时， C. 四面体体积的最大值为 D. 四面体外接球的表面积的最小值为 三、填空题 12. 设是不共线两个向量，.若三点共线，则k的值为__________. 13. 如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为________． 14. 粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为6 cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为______． 四、解答题 15. 复数 （1）若是虚数，求实数的取值范围： （2）若所对应的点在第四象限，求实数的取值范围： 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 17. 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： （1）两个人都译出密码的概率； （2）恰有1个人译出密码的概率. 18. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点．求证：平面平面． 19. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 晉山中学2023—2024学年第二学期高一年级期末考试 数学试题 一、单选题 1. 若复数z在复平面内对应的点是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的几何意义可得，进而利用复数的除法可求得结果. 【详解】由复数的几何意义可得，因此，. 故选：A. 2. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. 4a B. 8a C. 6a D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直观图还原可得原图形，结合斜二测画法求边长，再求其周长即可. 【详解】由直观图可得原图形， 所以，，， 所以，原图形的周长为. 故选：B. 3. 已知非零向量与同向，则－（ ） A. 必定与同向 B. 必定与同向 C. 必定与是平行向量 D. 与不可能是平行向量 【答案】C 【解析】 【分析】设，，则，可判断结果. 【详解】因为非零向量与同向，设， 所以 则必定与是平行向量. 故选：C 4. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 5. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. C. 与相等 D. 与互斥 【答案】B 【解析】 【分析】AD选项，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断；B选项，求出两事件的概率；C选项，两事件不是同一事件，C错误. 【详解】AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误； B选项，，故B正确； C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误． 故选：B． 6. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用圆台的体积公式求得高，再利用圆台的表面积公式即可得解. 【详解】依题意，设圆台的高为，则，解得， 所以圆台的母线长为， 则圆台的表面积为. 故选：B． 7. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得，两地相距500m，则电视塔的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设，将用表示，在中，由余弦定理得出关于的方程，求解，即可得到结论. 【详解】设，在中，， 所以. 在中，，所以. 在中，，， 由余弦定理得， 解得（舍去）. 故选:D. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，以及计算求解能力，属于中档题. 8. 在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取BC的中点H，连接，证明平面AHGD1∥平面A1EF，得截面图形，求面积即可 【详解】取BC的中点H，连接， 因为面AHGD1，面AHGD1，面AHGD1， 同理，面AHGD1，又，则平面AHGD1∥平面A1EF， 等腰梯形AHGD1的上下底分别为，， 腰长为，故梯形的高为，则梯形面积为， 故选B． 【点睛】此题考查了几何体截面问题，灵活运用面面平行的判定是关键，考查空间想象与推理能力，是中档题． 二、多选题 9. 有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ） A. 这组数据的众数为4 B. 这组数据的极差为3 C. 这组数据的平均数为2 D. 这组数据的分位数为1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据众数、极差的定义可得众数为1，极差为3；经计算可得平均数为2，根据百分位数的定义可知第分位数为,即可得出结果. 【详解】对A，该组数据众数为1，故A错误； 对B，极差为，故B正确； 对C，平均数为，故C正确； 对D，数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4，因为，所以这组数据的分位数为，故D错误． 故选：BC． 10. 设的内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰三角形或者直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A，结合在上单调递减判断B，由余弦定理判断C，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断D正确. 【详解】对于A，若，则，所以，所以A正确； 对于B，由且， 根据函数在上单调递减，可得，所以B错误； 对于C，由余弦定理，可知为钝角，即为钝角三角形，所以C正确； 对于D，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，所以D正确． 故选：ACD 11. 已知梯形，，，，，是线段的中点．将沿着所在的直线翻折成四面体，翻折的过程中下列选项正确的是（ ） A. 与始终垂直 B. 当直线与平面所成角为时， C. 四面体体积的最大值为 D. 四面体的外接球的表面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可判断A选项；由直线与平面所成角为得，取的中点，由可判断B选项；当平面时，四面体体积最大，进而可判断C选项；由题意确定球心，进而求半径的最小值，可判断D选项. 【详解】对于A：连接，，如图所示： 易知四边形正方形，所以, 于是在四面体中， ， 又且平面， 平面， 又因为平面，所以，故A正确； 对于B：取的中点，连接， 因为，所以. 当直线与平面所成角为时，, 所以，故B正确； 对于C：由题意可知，当平面时，四面体体积最大， 于是，故C错误； 对于D：因为，所以外接圆的圆心为， 又因为，所以外接圆的圆心为. 分别过点作平面和的垂线，交于点， 则是四面体的外接球的球心. ，当与重合时取等号， 所以四面体的外接球的表面积的最小值为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题 12. 设是不共线的两个向量，.若三点共线，则k的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案. 【详解】因为三点共线，故, 则，使得， 又， 故，则，解得， 故答案为： 13. 如图，正方体，棱长为是中点，则二面角的正弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二面角平面角的定义得到是二面角的平面角，然后求正弦值即可. 【详解】 如图，取中点，连接， 因为为正方体，所以，， 因为为中点，所以，， 因为平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角， ，，， ，所以二面角的正弦值为. 故答案为：. 14. 粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为6 cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】蛋黄近似看成一个棱长为6 cm的正四面体的内切球，设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为，则由可求出，从而可求出蛋黄的体积. 【详解】蛋黄近似看成一个棱长为6 cm的正四面体的内切球， 设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为， 因为正四面体的棱长为6， 所以正四面体的高， 正四面体的表面积为， 因为， 所以，解得， 所以蛋黄的体积为， 故答案为： 四、解答题 15. 复数 （1）若是虚数，求实数的取值范围： （2）若所对应的点在第四象限，求实数的取值范围： 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数类型为虚数得到不等式，从而求解； （2）根据复数对应的点在第四象限得到不等式组，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知：是虚数，则，解得：且， 所以实数的取值范围且. 【小问2详解】 因为所对应的点在第四象限，则，解得：， 所以实数的取值范围是. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可； （2）利用余弦定理及基本不等式得，利用三角形面积公式求解最值即可. 【小问1详解】 由题意得，又，所以. 【小问2详解】 当时，由余弦定理得， 则，所以， 当时取等号，所以的面积， 即面积的最大值. 17. 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： （1）两个人都译出密码的概率； （2）恰有1个人译出密码的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根题意，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）由题意，甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【小问1详解】 解：记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件， 可得事件，为相互独立事件，且，， 两个人都译出密码的概率为. 【小问2详解】 解：恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出或甲未译出乙译出， 且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为： . 18. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】证明：因为平面, 平面， 所以. 又因为，,平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 19. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】（1） （2）84 （3）总平均数为；总方差为 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解； （2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 因为每组小矩形的面积之和为1， 所以，则. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m， 由，得，故第75百分位数为84. 【小问3详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$