精品解析：重庆市部分区2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

重庆市部分区20232024学年度第二学期期末联考 高二数学试题卷 注意事项： 1.考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页. 2.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷、草稿纸上答题无效. 3.需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑，需要书写的地方一律用0.5mm签字笔. 4.答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 3 2. 已知集合，均为子集，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 若偶函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 30 D. 55 7. 国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ） A. 120种 B. 360种 C. 420种 D. 540种 8. 设函数有2个零点，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确是（ ） A. 若是离散型随机变量，则 B. 将4个人分到三个不同的岗位工作，每个岗位至少1人，有36种不同的方法 C. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度越强 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则 11. 对于函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. C. 只有一个零点 D. 若方程恰好只有一个实数根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 请你写出一个对称轴为直线的函数解析式__________. 13. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则_______. 14. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则___________；若无极值点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共有5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数，当时有极大值1. （1）求，的值； （2）求函数的单调区间和极小值. 17. 乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱.第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年盛夏在巴黎举行，届时乒乓球比赛必将吸引无数球迷的目光.为了了解我市市民对于收看奥运会乒乓球比赛的意愿，从参与调查的市民中随机抽取了男、女各40人进行分析，得到如下列联表（单位：人）： 收看意愿 性别 合计 女性 男性 有收看意愿 20 30 50 无收看意愿 20 10 30 合计 40 40 80 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为我市市民对于收看奥运会乒乓球比赛的意愿与性别有关联? （2）以样本的频率估计总体的概率，现从我市男性市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“有收看意愿”的人数为，求的分布列和数学期望.附： 0.05 0.01 0005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 18. 第22届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这届运动会大量使用了高科技.为选拔合适的志愿者，参选者需参加测试，测试分为初试和复试；初试从6道题随机选择4道题回答，每一题答对得1分，答错得0分，初试得分大于等于3分才能参加复试，复试每人都回答A，B，C三道题，每一题答对得2分，答错得0分.已知在初试6题中甲有4题能答对，乙有3题能答对；复试中的三题甲每题能答对的概率都是，乙每题能答对的概率都是. （1）求甲、乙至少一人通过初试的概率； （2）若测试总得分大于等于6分为合格，问参加完测试甲、乙合格的概率谁更大. 19. 已知函数，其中且. （1），恒成立，求实数的取值范围； （2）求当时，函数在区间上的最小值； （3）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，满足：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市部分区20232024学年度第二学期期末联考 高二数学试题卷 注意事项： 1.考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页. 2.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷、草稿纸上答题无效. 3.需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑，需要书写的地方一律用0.5mm签字笔. 4.答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 分析】先用待定系数法求出幂函数解析式，然后直接求出即可. 【详解】设幂函数，代入点， 得，解得， 所以， 则， 故选：C． 2. 已知集合，均为的子集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出图，结合图形判断即可. 【详解】如所示， 因为,且不包含集合, 故. 故选：D. 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可得：或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等. 故的最小值为. 故选：B. 5. 若为偶函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由求出，代入，检验是否满足题意. 【详解】的自变量需满足， 解得：或， 若为偶函数，则， 所以，解得：， 所以， . 所以偶函数，满足题意. 故选：B. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 30 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】根据的通项公式得到，，从而确定的展开式中的系数. 【详解】展开式的通项公式， 令得，令得， 故的展开式中的系数为. 故选：B 7. 国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ） A. 120种 B. 360种 C. 420种 D. 540种 【答案】C 【解析】 【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果. 【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色， 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色， 此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色， 余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种； 综上，不同的涂色方案有：种. 故选：C. 8. 设函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，令，在上单调递增，进而可得，分离变量可得有2个实数根，再次构造函数可求实数的取值范围. 【详解】由函数有2个零点， 所以有2个实数根， 所以， 令，则，所以在上单调递增， 所以，所以， 由函数有2个零点，所以有2个实数根， 令，则，令，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又时，，当时，，又， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用求导四则运算和复合函数求导法则进行计算即可. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：BC 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若是离散型随机变量，则 B. 将4个人分到三个不同的岗位工作，每个岗位至少1人，有36种不同的方法 C. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度越强 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由方差性质可判断A；先选后排可判断B；根据样本相关系数的定义可判断C；对两边取对数，设，与线性回归方程作比较可判断D. 【详解】对于A，若是离散型随机变量，则，故A正确； 对于B，将4个人分到三个不同的岗位工作，每个岗位至少1人， 有种不同的方法，故B正确； 对于C，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度越强，故C错误； 对于D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程， 设，因为其变换后得到线性回归方程， 则，故D正确. 故选：ABD. 11. 对于函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. C. 只有一个零点 D. 若方程恰好只有一个实数根，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：用导数判断的单调性并求极值；对B：根据单调性比较大小；对C：直接求零点即可.；对D：，由条件转化两函数有一个焦点，求函数的单调性和最大值即可判断； 【详解】对于A，函数，， 则，令，即，解得， 当时，，故函数在上为单调递增函数， 当时，，故函数在上为单调递减函数， 故在处取得极大值，故选项A正确； 对于B，当时，，故函数在上为单调递减函数， 所以，故选项B错误； 对于C，令函数，则，解得，所以函数只有一个零点，故选项C正确； 对于D，易知不是方程的解； 当时，，方程恰好只有一个实数根， 等价于和只有一个交点，则且， 令，即，解得， 当时，，故函数在上为单调递增函数， 当时，，故函数在上均单调递减， 是一条渐近线，当时，，当时，， 故在处取得极小值， 结合条件可知或，故选项D错误； 故选：AC. 【点睛】方法点睛：求解函数单调性方法：定义法；利用函数导数判断函数单调性； 求解函数极值方法：利用函数导数求解函数极值； 求解函数最值方法：利用函数单调性解出最值；利用函数导数求解函数最值；基本不等式求解函数最值； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 请你写出一个对称轴为直线的函数解析式__________. 【答案】(答案不唯一). 【解析】 【分析】由函数的对称性求解即可. 【详解】设，则的对称轴为. 故答案为：(答案不唯一). 13. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】运用条件概率公式求解即可． 【详解】． 故答案为：. 14. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则___________；若无极值点，则的取值范围是___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求切线再由切线求参数，把极值点求出导函数无零点即可求范围. 【详解】 , 所以切线为,即, 又因为与相切， 所以只有一个解， 则符合题意， 所以； 无极值点， 则无变号零点， 在上无变号根， 或, 或, 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共有5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）8 （2）255 【解析】 【分析】（1）先得到且，利用排列和组合公式列出方程，求出； （2）赋值法求出，，从而得到答案. 【小问1详解】 由题意得且，故且， ， 故，解得； 【小问2详解】 中， 令，得， 令，得， 故. 16. 已知函数，当时有极大值1. （1）求，的值； （2）求函数的单调区间和极小值. 【答案】（1） （2） 函数的单调减区间为，递增区间为和，极小值为. 【解析】 【分析】（1）由题意得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值； （2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值. 【小问1详解】 （1）由，可得，又函数在处有极大值1， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可得函数的解析式为，则， 令，即，解得或， 令，即，解得， 所以函数的单调减区间为，递增区间为和， 当时，函数取得极小值，极小值为. 17. 乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱.第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年盛夏在巴黎举行，届时乒乓球比赛必将吸引无数球迷的目光.为了了解我市市民对于收看奥运会乒乓球比赛的意愿，从参与调查的市民中随机抽取了男、女各40人进行分析，得到如下列联表（单位：人）： 收看意愿 性别 合计 女性 男性 有收看意愿 20 30 50 无收看意愿 20 10 30 合计 40 40 80 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为我市市民对于收看奥运会乒乓球比赛的意愿与性别有关联? （2）以样本的频率估计总体的概率，现从我市男性市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“有收看意愿”的人数为，求的分布列和数学期望.附： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 【答案】（1）我市市民对于收看奥运会乒乓球比赛的意愿与性别无关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据公式求解，然后利用临界值表分析判断即可； （2）由题意可得男性市民中抽到1人“有收看意愿”的概率为，则，然后利用二项分布的概率公式求出相应的概率，从而可求得的分布列和数学期望. 【小问1详解】 零假设为：我市市民对于收看奥运会乒乓球比赛的意愿与性别无关，则 ， 所以根据小概率值的独立性检验，推断成立， 即认为我市市民对于收看奥运会乒乓球比赛的意愿与性别无关； 【小问2详解】 由题意可知男性市民中抽到1人“有收看意愿”的概率为， 所以，的可能取值为0，1，2，3，则 ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. 18. 第22届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这届运动会大量使用了高科技.为选拔合适的志愿者，参选者需参加测试，测试分为初试和复试；初试从6道题随机选择4道题回答，每一题答对得1分，答错得0分，初试得分大于等于3分才能参加复试，复试每人都回答A，B，C三道题，每一题答对得2分，答错得0分.已知在初试6题中甲有4题能答对，乙有3题能答对；复试中的三题甲每题能答对的概率都是，乙每题能答对的概率都是. （1）求甲、乙至少一人通过初试的概率； （2）若测试总得分大于等于6分为合格，问参加完测试甲、乙合格概率谁更大. 【答案】（1） （2）甲 【解析】 【分析】（1）求出甲、乙通过初试的概率，则甲、乙至少一人通过初试的概率即可用1减去两人都没通过初试的概率即可； （2）考虑两人初试通过得分情况，再考虑复试得几分才可合格，由此可求得两人合格概率，比较大小，即得结论. 【小问1详解】 由题意得甲通过初试的概率为， 乙通过初试的概率为， 则甲、乙至少一人通过初试的概率为； 【小问2详解】 考虑甲初试若得4分，要合格则复试答对一道即可，初试若得3分，则复试答对2道或3道才可合格， 故甲合格的概率为； 乙要合格，则需初试通过，复试答对答对2道或3道才可合格， 故乙合格的概率为， 因为，故甲合格的概率更大. 19. 已知函数，其中且. （1），恒成立，求实数的取值范围； （2）求当时，函数在区间上的最小值； （3）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，满足：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）等价变形不等式，再利用单调性探讨最值情况即可得解. （2）利用导数探讨函数有的单调性，进而求出最小值即得. （3）假设函数存在“中值相依切线”，利用导数的几何意义，结合已知可得，令，构造函数并利用导数探讨零点即可得解. 【小问1详解】 ，， 而函数在上单调递增，恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，函数， 求导得， 当，即时，，函数在上单调递减，； 当，即时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增，； 当，即时，函数在上单调递增，， 所以. 【小问3详解】 假设函数存在“中值相依切线”，设是曲线上不同两点，， 则， 直线的斜率， 由（2）知，，由， 得， 于是，即， 令，令，求导得， 因此函数在上单调递增，则， 从而方程在上无解，即不成立，则假设不成立， 所以函数不存在“中值相依切线”. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数中的新定义“中值相依切线”，解题时要紧扣题中定义，结合题意变形得出，通过换元法结合函数方程思想转化为在上的零点问题为解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $