山东省临沂市临沭县2023-2024学年八年级下学期5月期中数学试题

2023-2024学年山东省临沂市临沭县八年级（下）学情检测数学试卷（5月份） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥﹣2 B．x＞1 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1 2．（3分）下列各式一定是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（　　） A． B．6，7，8 C．8，25，27 D．7，25，24 4．（3分）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 5．（3分）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（　　） A．∠BAC＝90° B．∠DAE＝90° C．AB＝AC D．AB＝AE 6．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝6，BC＝13，CD＝5，则△BCD的面积为（　　） A．60 B．48 C．30 D．15 7．（3分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝2，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（　　） A． B． C．4 D． 8．（3分）如图，P是面积为S的平行四边形ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（　　） A． B． C． D．S1+S2的大小与P点位置有关 9．（3分）如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形，如果一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A．10dm B．12dm C．13dm D．15dm 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是斜边AB上的动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值为（　　） A．2.4 B． C．3 D．4.8 二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”，即举一个满足条件，但不满足结论的例子．为说明命题“对于任何实数a，都有＝a”是假命题，请举一个反例a＝　 　． 12．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）． 13．（3分）如图，由图中的信息可知点P表示的数是 　 　． 14．（3分）如图，在笔直的公路AB旁有一个城市书房C，C到公路AB的距离CD为80米，AC为100米，BC为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 　 　秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 　 　． 16．（3分）如图，▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，有下列条件： ①AE∥CF；②BE＝FD；③∠1＝∠2；④AE＝CF，若要添加其中一个条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是 　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）问题：现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？请说明理由． 19．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，将矩形折叠，折痕为EF，使点C与点A重合，点D与点G重合，连接CF． （1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）求线段EC的长． 20．（8分）某中学有一块四边形空地需要绿化，李老师将空地绿化费用预算的任务交给蓝天小组，小组的同学们把“空地绿化的合理预算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算绿化这块空地所需的费用． 课题 空地绿化的合理预算 调查方式 走访调研、实地察看测量 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： ①在四边形ABCD中，AB⊥BC，相关长度如图所示． ②每平方米的绿化费用为100元． 计算结果 …… 21．（9分）在数学活动课上，老师出了一道题，让同学们解答． 在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF．求证：四边形BFDE是矩形． 小星和小红分别给出了自己的思路： 小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明； 小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明． （1）小星的思路 　 　，小红的思路 　 　（选填“正确”或“错误”）； （2）请选择小红或小星的思路完善证明过程． 22．（9分）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN＝． 例如，如图1，M（3，1），N（1，﹣2），则MN＝＝． 【直接应用】 （1）已知P（2，﹣3），Q（﹣1，3），求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣3），OB＝，OB与x轴正半轴的夹角是45°． ①求点B的坐标； ②试判断△ABO的形状． 23．（10分）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高为 　 　． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 24．（12分）【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； 【思考尝试】 （1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． 【实践探究】 （2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题． 【拓展迁移】 （3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝6时，请你求出△ADP周长的最小值． 2023-2024学年山东省临沂市临沭县八年级（下）学情检测数学试卷（5月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥﹣2 B．x＞1 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：x≥﹣2，且x≠1． 故选：D． 2．（3分）下列各式一定是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意； B．＝2，被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．＝|a|，被开方数中含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（3分）下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（　　） A． B．6，7，8 C．8，25，27 D．7，25，24 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 【解答】解：A、∵（）2+（）2＝3+4＝7，（）2＝5， ∴（）2+（）2≠（）2， ∴长度为，，的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； B、∵62+72＝36+49＝85，82＝64， ∴62+72≠82， ∴长度为6，7，8的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； C、∵82+252＝64+625＝689，272＝729， ∴82+252≠272， ∴长度为8，25，27的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； D、∵72+242＝49+576＝625，252＝625， ∴72+242＝252， ∴长度为7，25，24的三条线段能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 4．（3分）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【解答】解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误； B、绝对值相等的两个数相等，错误； C、同位角相等，两条直线平行，正确； D、相等的两个角都是45°，错误． 故选：C． 5．（3分）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（　　） A．∠BAC＝90° B．∠DAE＝90° C．AB＝AC D．AB＝AE 【分析】根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：添加∠BAC＝90°时， ∵AD是△ABC的中线， ∴AD＝BC＝CD， ∴四边形ADCE是菱形，选项A正确； 添加∠DAE＝90°， ∵四边形ADCE是平行四边形 ∴四边形ADCE是矩形，选项B错误； 添加AB＝AC，可得到AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形，选项C错误； 添加AB＝AE， ∵AE＝AB，AB＞AD， ∴AE＞AD， 故选项D不能判定四边形ADCE是菱形； 故选：A． 6．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝6，BC＝13，CD＝5，则△BCD的面积为（　　） A．60 B．48 C．30 D．15 【分析】连接BD，根据三角形中位线定理求出BD，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，然后求得面积即可． 【解答】解：连接BD， ∵E、F分别是AB、AD中点， ∴BD＝2EF＝12， ∵CD2+BD2＝25+144＝169，BC2＝169， ∴CD2+BD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴S△DBC＝BD•CD＝×12×5＝30， 故选：C． 7．（3分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝2，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（　　） A． B． C．4 D． 【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质得出OB的长，再根据勾股定理求出OC的长即可． 【解答】解：在Rt△ABO中，∠AOB＝30°， ∴OB＝2AB＝4， 在Rt△BOC中，由勾股定理得， OC＝＝＝2， 故选：D． 8．（3分）如图，P是面积为S的平行四边形ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（　　） A． B． C． D．S1+S2的大小与P点位置有关 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决． 【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交CB的延长线于点F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∴S＝BC•EF，，， ∵EF＝PE+PF，AD＝BC， ∴S1+S2＝， 故选：C． 9．（3分）如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形，如果一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A．10dm B．12dm C．13dm D．15dm 【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可． 【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，AD＝6dm，BD＝6+9＝15（dm）， AB＝＝3（dm）； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC＝6+6＝12（dm），BC＝9dm，AB＝＝15（dm）， ③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得AB＝＝15（dm）， 由于， 所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm． 故选：D． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是斜边AB上的动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值为（　　） A．2.4 B． C．3 D．4.8 【分析】连接CD，证明四边形EDFC是矩形，得EF＝CD，∠EDF＝90°，进而由直角三角形斜边上的中线性质得DQ＝EF＝CD，当CD最小时，DQ也最小，再根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD最小，然后由三角形面积公式求出此时CD的长，即可得出结论． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝＝10， 如图，连接CD， ∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°， ∴四边形EDFC是矩形， ∴EF＝CD，∠EDF＝90°， ∵点Q是EF的中点， ∴DQ＝EF＝CD， ∴当CD最小时，DQ也最小， 根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD最小， 此时，△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC， ∴10CD＝6×8， ∴CD＝4.8， ∴DQ的最小值＝×4.8＝2.4， 故选：A． 二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”，即举一个满足条件，但不满足结论的例子．为说明命题“对于任何实数a，都有＝a”是假命题，请举一个反例a＝　﹣2（答案不唯一）．　． 【分析】利用a＜0时，＝a不成立，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：当a＝﹣2时，＝a不成立． 故答案为：﹣2（答案不唯一）． 12．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 　AF＝AE（答案不唯一）　（写出一个即可）． 【分析】先证明四边形AECF平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∵AF＝EC， ∴四边形AECF平行四边形， ∵AF＝AE， ∴四边形AECF是菱形． 故答案为：AF＝AE（答案不唯一）． 13．（3分）如图，由图中的信息可知点P表示的数是 　﹣2﹣　． 【分析】运用勾股定理计算出点P到﹣2点的距离是，再进行实数减法运算即可． 【解答】解：∵＝＝， ∴点P表示的数是﹣2﹣， 故答案为：﹣2﹣． 14．（3分）如图，在笔直的公路AB旁有一个城市书房C，C到公路AB的距离CD为80米，AC为100米，BC为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 　70　秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【分析】如图，设CE＝170米，由勾股定理求出AD和DE的长，则可求出答案． 【解答】解：如图，设CE＝170米， ∵∠CDE＝90°，CD＝80米， ∴DE＝＝＝150（米）， ∵CD＝80米，AC＝100米， ∴AD＝＝＝60（米）， ∴EA＝AD+DE＝60+150＝210（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为＝70（秒）， 故答案为：70． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 　（5，4）　． 【分析】首先根据菱形的性质求出AB的长度，再利用勾股定理求出DO的长度，进而得到点C的坐标． 【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴AB＝AO+OB＝5， ∴AD＝AB＝CD＝5， ∴DO＝＝4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 16．（3分）如图，▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，有下列条件： ①AE∥CF；②BE＝FD；③∠1＝∠2；④AE＝CF，若要添加其中一个条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是 　①②　． 【分析】根据平行四边形的判定逐一进行判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形，故①符合题意； ∵BE＝FD， ∴AF＝CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形，故②符合题意； 若∠1＝∠2，不能得到四边形AECF是平行四边形，故③不符合题意； 若AE＝CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故④不符合题意； 则添加的条件可以是①②． 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把每一个二次根式的化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答． 【解答】解：（1） ＝3﹣+4+4 ＝3+7； （2） ＝4﹣+9﹣2 ＝4﹣3+9﹣2 ＝+7． 18．（8分）问题：现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？请说明理由． 【分析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是2和3，显然只需比较两个正方形的边长的和与7.5的大小即可． 【解答】解：+＝2+3＝5， 由于＜1.5，可知5＜5×1.5＝7.5，3＜3×1.5＝4.5＜5， 答：能够在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板． 19．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，将矩形折叠，折痕为EF，使点C与点A重合，点D与点G重合，连接CF． （1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）求线段EC的长． 【分析】（1）由翻折可知，EA＝EC，FA＝FC，∠CEF＝∠AEF，再结合矩形的性质可得∠AFE＝∠CEF，∠AEF＝∠AFE，由此可证AE＝EC＝AF＝FC，即可证明四边形AECF为菱形； （2）设BE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，由勾股定理得，42+x2＝（8﹣x）2，求出x的值即可作答． 【解答】解：（1）四边形AECF为菱形，理由如下： 由翻折可知，EA＝EC，FA＝FC，∠CEF＝∠AEF， ∵矩形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CEF，∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∴AE＝EC＝AF＝FC， ∴四边形AECF为菱形； （2）设BE＝x，则CE＝AE＝8﹣x， 由勾股定理得，42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴CE＝8﹣3＝5． 20．（8分）某中学有一块四边形空地需要绿化，李老师将空地绿化费用预算的任务交给蓝天小组，小组的同学们把“空地绿化的合理预算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算绿化这块空地所需的费用． 课题 空地绿化的合理预算 调查方式 走访调研、实地察看测量 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： ①在四边形ABCD中，AB⊥BC，相关长度如图所示． ②每平方米的绿化费用为100元． 计算结果 …… 【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，利用两个直角三角形面积的和求出四边形ABCD的面积，再用面积乘以每平方米的绿化费用即可得到答案． 【解答】解：如图，连接AC， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴， ∵AC2+CD2＝102+242＝676＝262＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝， ∴144×100＝14400（元）． ∴绿化这块空地所需的费用为14400元． 21．（9分）在数学活动课上，老师出了一道题，让同学们解答． 在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF．求证：四边形BFDE是矩形． 小星和小红分别给出了自己的思路： 小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明； 小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明． （1）小星的思路 　正确　，小红的思路 　正确　（选填“正确”或“错误”）； （2）请选择小红或小星的思路完善证明过程． 【分析】（1）由矩形的判定方法即可得出答案； （2）小红的思路：由平行四边形的性质得出CD∥AB，AD＝CB，∠A＝∠C，易证∠BED＝∠EBF＝∠BEC＝90°，再证△ADF≌△CBE（SAS），得出∠DFA＝∠BEC＝90°，即可得出结论；小星的思路：由平行四边形的性质得出CD∥AB，CD＝AB，求出BF＝DE，则四边形BFDE是平行四边形，再由∠BED＝90°，即可得出结论． 【解答】（1）解：小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明，正确， 小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明，正确， 故答案为：正确，正确； （2）证明：小红的思路： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AD＝CB，∠A＝∠C， ∵BE⊥CD， ∴BE⊥AB， ∴∠BED＝∠EBF＝∠BEC＝90°， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠DFA＝∠BEC＝90°， ∴∠BED＝∠EBF＝∠DFB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； 小星的思路： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB， ∵AF＝CE， ∴AB﹣AF＝CD﹣CE， 即BF＝DE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵BE⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∴平行四边形BFDE是矩形． 22．（9分）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN＝． 例如，如图1，M（3，1），N（1，﹣2），则MN＝＝． 【直接应用】 （1）已知P（2，﹣3），Q（﹣1，3），求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣3），OB＝，OB与x轴正半轴的夹角是45°． ①求点B的坐标； ②试判断△ABO的形状． 【分析】（1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）①过点B作BF⊥y轴于点F，求出OF＝BF＝1，则可求出答案； ②求出OA和AB的长，由勾股定理的逆定理可得出结论． 【解答】解：（1）∵P（2，﹣3），Q（﹣1，3）， ∴PQ＝＝3； （2）①过点B作BF⊥y轴于点F， ∵OB与x轴正半轴的夹角是45°， ∴∠FOB＝∠OBF＝45°， ∵OB＝， ∴OF＝BF＝1， ∴B（1，﹣1）； ②∵A（﹣1，﹣3），B（1，﹣1）， ∴OA＝＝，AB＝＝2， ∵AB2+OB2＝8+2＝10，OA2＝10， ∴AB2+OB2＝OA2， ∴△ABO是直角三角形． 23．（10分）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高为 　　． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证a2+b2＝c2； （2）计算出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AB边上的高； （3）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可． 【解答】（1）证明：∵S四边形ABCD＝c2，S梯形AEDC＝（b+a）b，，S四边形ABCD＝S梯形AEDC+S△BED， ∴， ∴， ∴a2+b2＝c2； （2）解：设AB边上的高为h，则： ，， ∴， ∴， 即AB边上的高是， 故答案为：； （3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2， ∵BD+CD＝BC＝6， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣x， 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2＝AC2﹣CD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2， ∴16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2， ∴． 24．（12分）【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； 【思考尝试】 （1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． 【实践探究】 （2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题． 【拓展迁移】 （3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝6时，请你求出△ADP周长的最小值． 【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，可证得△AFE≌△ECP，从而AE＝EP； （2）在AB截取AF＝CE，连接EF，可证得△AEF≌△EPC，从而∠PEF＝∠AFE＝135°，进一步得出结果； （3）由（2）知：∠DCP＝45°，从而得出点P在与CD成45°的直线l上运动，连接AC并延长至Q，使CQ＝AC，连接DQ，当点P是DQ与l的交点时，则AP+DP最小值是DQ的长，进一步得出结果． 【解答】解：（1）如图1， AE＝EP，理由如下： 取AB的中点F，连接EF， ∴BF＝AF＝AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠DCG＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝BC， ∴BF＝BE，AF＝CE， ∴∠BFE＝∠BEF＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∵EP平分∠DCG， ∴∠DCP＝， ∴∠ECP＝∠BCD+∠DCP＝135°， ∴∠AFE＝∠ECP， ∵AE⊥EP， ∴∠AEP＝90°， ∴∠PEC+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠PEC， ∴△AFE≌△ECP（ASA）， ∴AE＝EP； （2）如图2， 在AB截取AF＝CE，连接EF， 由（1）知：∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∠BAE＝∠PEC， ∴BF＝BE， ∴∠BFE＝∠BEF＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∵AE＝EP， ∴△AEF≌△EPC（SAS）， ∴∠PEF＝∠AFE＝135°， ∴∠DCP＝∠PCE﹣∠BCD＝45°； （3）如图3， 由（2）知：∠DCP＝45°， ∴点P在与CD成45°的直线l上运动， 连接AC并延长至Q，使CQ＝AC，连接DQ，当点P是DQ与l的交点时，则AP+DP最小值是DQ的长， 连接BD，交AQ于O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AQ⊥BD，AC＝BD＝AB＝6， ∴OC＝DO＝BD＝3，OQ＝OC+CQ＝3， ∴DQ＝＝6， ∴△ADP的周长最小值为：6+6． 学科网（北京）股份有限公司 $$