精品解析：江苏省扬州市梅岭中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

扬州市梅岭中学教育集团2023−2024学年第二学期期末考试试卷 初一年级数学学科 （时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把你认为正确的答案填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用同底数幂的除法、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方差公式，解题的关键是掌握相应的运算法则．利用同底数幂的乘除法法则、积的乘方和幂的乘方、完全平方差公式求解即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 2. 如图，点E在的延长线上，下列条件不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 直接根据平行线的判定即可得出答案． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不可以得到，故此选项符合题意； C、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 已知，，，那么a、b、c的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂求出a、b、c的值，然后比较大小即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂，准确计算． 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 同旁内角互补 C. 对顶角相等 D. 如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题的真假，根据绝对值的性质判断A，再根据平行线的性质判断B，再根据对顶角的性质判断C，最后根据角之间的关系判断D，可得答案． 【详解】解：因为，可知或，所以A是假命题； 因为两直线平行，同旁内角互补，所以B是假命题； 因为对顶角相等，所以A是真命题； 因为两个角的两边分别垂直，这两个角互补或相等，所以A是假命题． 故选：C． 5. 唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，可选择的方案有（ ） A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的非负整数的应用，解题关键是正确列出二元一次方程，并根据题意求出该方程的所有解．设需要大圈舍x间，小圈舍y间，根据题意列出二元一次方程，并结合x、y都是非负整数解方程即可． 【详解】解：设需要大圈舍x间，小圈舍y间，根据题意列方程， 得， ∴； ∵x、y都是非负整数， ∴或或或， 答：鹿进圈舍的方案共有4种． 故选：C． 6. 如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为（　　） A. 70 B. 74 C. 76 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】先由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值． 【详解】解：过点C作， ，， ， ， ， ， 由题意可得为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 7. 若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质解一元一次不等式组，再根据不等式组的取值方法，所有整数解的和是，可判定的取值范围，由此即可求解． 【详解】解： 解①式，去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化为，； 解②式，移项，， 系数化为，； ∵由①时，能取到的负数有，且不等组所有整数解的和是， ∴不等式组的整数解为：或和0， ∴，解得，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查不等式的性质，不等式组的取值方法，根据解集求解参数等知识，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 8. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：；则8、16、24这三个数都是奇特数．如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为203，则阴影部分的面积（ ） A. 19208 B. 20000 C. 20706 D. 20808 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索、平方差公式的应用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键．表示出阴影部分面积，再运用平方差进行运算，求得答案即可． 【详解】解：阴影部分的面积 ， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题卡相应位置上．） 9. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从扩展至原来的4倍左右．将用科学记数法表示应为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】， 故答案：． 10. 若，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用，幂的乘方的逆用，掌握相关运算法则是解题关键．将变形为，再代入计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 11. 已知是关于x、y的二元一次方程，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，有理数的乘方，掌握二元一次方程的含有两个未知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程是解题关键．由二元一次方程的定义，得出，，再代入求值即可． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， ，，， ，， ， 故答案为：． 12. 如果一个多边形的内角和与外角和的比是，那么这个多边形的边数是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角．设这个多边形的边数为，依据多边形的内角和与外角和之比是，列出方程，即可得到的值． 【详解】解：设这个多边形的边数为，依题意得： ， 解得， 这个多边形的边数为9． 故答案为：9． 13. 若，，则代数式的值是 ____． 【答案】96 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，将原式进行正确的变形是解题的关键．利用完全平方公式将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：96． 14. 若关于x，y的方程组的解互为相反数，则k的值为 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是根据二元一次方程组的解的情况求参数，本题可以利用未知数的系数的特点采用简便解法，一般解法是用x表示y，代入方程组得到以y、k为未知数的方程组，然后解方程组即可．两方程相加得，再由得出关于k的方程，解之可得k的值． 【详解】， ①+②得，， 所以 ， 因为关于x，y的方程组的解互为相反数， 即， 所以， 解得， 故答案为：1． 15. 如图，在中，，，D为边上一点，将沿直线翻折后，点C落到点E处．若，则的度数为________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，求出，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 16. 在中，是边上的高，，，则______ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形性质，根据题意，分情况讨论求解即可得到答案，熟练掌握直角三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，分两种情况：①当是钝角时；②当是钝角时； 当是钝角时，如图所示： 是边上的高， 在中，，则， ， ； 当是钝角时，如图所示： 是边上的高， 在中，，则， ， ； 综上所述，或， 故答案为：或． 17. 如图，已知D、E分别为的边、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为10，且，则中边上高的长为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线，熟练掌握等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．连接，设，求出四边形的面积，求出x，中边上高的长为h，根据等底同高的三角形的面积相等以及三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，设，中边上高的长为h， ∵D、E分别为的边、的中点，为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴， ∴的面积， 即的面积， 解得：． 故答案：4． 18. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则．如：，…，则满足的x值为____________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式组，设，为整数，则，根据新定义可得，解不等式组得到，据此确定k的值进而确定x的值即可． 【详解】解：由题意得，且是整数， ∴设，为整数，则， ∵ ∴， ∴，． ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题卡相应位置上．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，同底数幂乘除法计算，积的乘方计算： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算同底数幂乘除法，再计算积的乘方，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. （1）解方程组：； （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握相关解法是解题关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： 21. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查是因式分解，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键； （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 22. 如图所示的方格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，已知，依次解答下列问题． （1）将平移后得到，且点A对应点为，画出； （2）画线段，使且； （3）连接，直接写出四边形的面积； （4）P在直线上，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）9 （4） 【解析】 【分析】（1）根据点A的对应点，得出将三角形向右平移3个单位，再向下平移2个单位，即可得到三角形，画出即可； （2）根据网格和平行线的特点，作出线段即可； （3）利用平行四边形面积公式求解，即可解题； （4）根据垂线段最短，当垂直于直线时，线段最小，连接，设点到直线的距离为，利用平移的性质得到，再利用三角形面积公式用不同方式表示出，并求解，即可解题． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求． 【小问2详解】 解：如图，线段即所求． 【小问3详解】 解：连接，， 四边形的面积为． 【小问4详解】 解：∵垂线段最短， ∴当垂直于直线时，线段最小． 连接，如图所示 由平移的性质得，， 设点到直线的距离为， ， 解得， 点到直线的距离为， 线段的最小值为． 【点睛】本题主要考查了平移作图，作平行线段，平移的性质，网格中求平行四边形和三角形面积，等面积法求高，以及垂线段最短，熟知网格的特点是解题的关键． 23. 如图，已知直线分别交射线、于点、，连接、和、，且，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）根据同角的补角相等得，则，再根据平行线的判定与性质即可求证； （）根据角度和差求出，然后根据平行线的性质即可求解； 本题考查平行线的判定与性质和同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，， ， 又， ， 由（1）可知，， ． 24. 已知方程组和有相同的解，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键． 首先把和组成方程组，解方程组可得、的值，再把、的值代入，然后可求出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得． 将，代入方程得， 则． 25. 先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， 的最小值是1 请利用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式的最小值____________； （2）若代数式有最小值是6，求k的值____________； （3）判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值； （4）已知a、b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）2； （2）； （3）有最大值，最大值为12； （4），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，不等式的性质．掌握完全平方式恒大于等于0是解题的关键． （1）仿照例题，将代数式化为完全平方式求解即可； （2）仿照例题，将代数式化为完全平方式，再根据最小值，得到，求出的值即可 （3））仿照例题，将代数式化为完全平方式，再结合不等式的性质求解即可； （4）将两个代数式作差，再结合完全平方式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 的最小值是2； 【小问2详解】 解：， ， ， 有最小值是6， ， ， 【小问3详解】 解：， ， ， ， 有最大值，最大值为12； 【小问4详解】 解：，理由如下： ， ，， ， ， ． 26. 某商店需要购进甲、乙两种商品（两种商品均购进），其进价和销售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/件） 120 150 售价（元/件） 135 180 （1）若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元，甲、乙两种商品分别购进多少件？ （2）若商店计划购进甲、乙两种商品，正好用去1800元，求甲、乙两种商品购进件数的所有方案； （3）若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，且销售完所有商品后获利不低于800元，求甲商品最多能购进多少件？ 【答案】（1）甲种商品购进20件，乙种商品购进10件 （2）见解析 （3）甲商品最多能购进6件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的应用，以及一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系和不等关系，列出方程（组）和不等式． （1）设甲、乙两种商品分别购进x件和y件，根据购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元列出方程组，解之即可； （2）设甲种商品购进m件，乙种商品购进n件，根据购进甲、乙两种商品，正好用去1800元，列出方程，求出正整数解即可； （3）设购进甲商品p件，根据销售完30件商品后获利不低于800元，列出不等式，解之取正整数解即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种商品分别购进x件和y件， 由题意可得：， 由于m、n都是正整数， 所以， ∴甲种商品购进20件，乙种商品购进10件； 【小问2详解】 设甲种商品购进m件，乙种商品购进n件， 由题意可得：， ∴， 解得：，， ∴方案一：甲种商品购进10件，乙种商品购进4件； 方案二：甲种商品购进5件，乙种商品购进8件； 【小问3详解】 设购进甲商品p件， 由题意可得：， 解得：， ∵p为正整数， ∴p最大为6， ∴甲商品最多能购进6件． 27. （1）如图1，对正方形进行分割，发现有两种不同的方法求图中大正方形的面积，得到等量关系为____________： （2）利用等量关系解决下面的问题· ①，求； ②，求的值； （3）如图2，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、．连接、、．若阴影部分的面积和为10．的面积为8．则的长度为____________． 【答案】（1）；①；②；（3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式及其在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据正方形面积公式和四个小图形的面积和分别表示出大正方形的面积，即可得到等量关系； （2）①利用（1）所得等量关系计算即可； ②令，，再利用（1）所得等量关系计算即可； （3）设正方形、的边长分别为、，由的面积得到，由阴影部分的面积和，得到，再利用完全平方公式求出，即可得到的长． 【详解】（1）解：方法一：利用正方形面积公式表示，则大正方形的面积， 方法二：利用四个小图形的面积和表示，则大正方形的面积， 得到等量关系为； （2）解：①由可得， ， ； ②由可得， 令，，则， ， ， ， 即； （3）解：设正方形、的边长分别为、， 的面积为8， ， ， 阴影部分的面积和， ， ， ， （负值舍去）， ． 28. 经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． （1）如图1，，则__________； （2）如图2，，点P在直线上方，探究之间的数量关系，并证明： （3）如图3，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明： （4）如图4，，点P在直线上方，分别是的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．请直接写出与之间的数量关系．（请自行画图分析） 【答案】（1） （2），见解析 （3），见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，过作，则，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，过作，则，同理（1）可得，，则； ∴； （3）由平分，平分，可得，设，则，，，如图3，过作，过作，由（2）可知，，由，可得，同理（1）可得，则，由，可得，整理作答即可； （4）由题意作图，如图4，由，设，，，，则，，，，则，即；，即；由（2）可知，，如图4，过作，过作，则，同理（1）可得，，，同理，，由，可得． 【小问1详解】 解：如图1，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：；证明如下； 如图2，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，证明如下； ∵平分，平分， ∴， 设，则，，， 如图3，过作，过作， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：由题意作图，如图4， ∵， ∴设，，，，则，，，， ∴，即； ∴，即； 由（2）可知，， 如图4，过作，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扬州市梅岭中学教育集团2023−2024学年第二学期期末考试试卷 初一年级数学学科 （时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把你认为正确的答案填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点E在的延长线上，下列条件不能判断的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，那么a、b、c的大小关系为（　　） A. B. C. D. 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 同旁内角互补 C. 对顶角相等 D. 如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等 5. 唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，可选择的方案有（ ） A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种 6. 如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为（　　） A. 70 B. 74 C. 76 D. 80 7. 若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：；则8、16、24这三个数都是奇特数．如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为203，则阴影部分的面积（ ） A. 19208 B. 20000 C. 20706 D. 20808 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题卡相应位置上．） 9. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从扩展至原来的4倍左右．将用科学记数法表示应为____． 10. 若，则的值是____________． 11. 已知是关于x、y的二元一次方程，则____________． 12. 如果一个多边形的内角和与外角和的比是，那么这个多边形的边数是_______． 13. 若，，则代数式的值是 ____． 14. 若关于x，y的方程组的解互为相反数，则k的值为 _____． 15. 如图，在中，，，D为边上一点，将沿直线翻折后，点C落到点E处．若，则的度数为________． 16. 在中，是边上高，，，则______ 17. 如图，已知D、E分别为边、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为10，且，则中边上高的长为____________． 18. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则．如：，…，则满足的x值为____________ 三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题卡相应位置上．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程组：； （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 21. 因式分解： （1）； （2）． 22. 如图所示的方格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，已知，依次解答下列问题． （1）将平移后得到，且点A的对应点为，画出； （2）画线段，使且； （3）连接，直接写出四边形的面积； （4）P在直线上，直接写出线段的最小值． 23 如图，已知直线分别交射线、于点、，连接、和、，且，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 24. 已知方程组和有相同的解，求的值． 25. 先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， 的最小值是1 请利用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式的最小值____________； （2）若代数式有最小值是6，求k的值____________； （3）判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值； （4）已知a、b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． 26. 某商店需要购进甲、乙两种商品（两种商品均购进），其进价和销售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/件） 120 150 售价（元/件） 135 180 （1）若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元，甲、乙两种商品分别购进多少件？ （2）若商店计划购进甲、乙两种商品，正好用去1800元，求甲、乙两种商品购进件数所有方案； （3）若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，且销售完所有商品后获利不低于800元，求甲商品最多能购进多少件？ 27. （1）如图1，对正方形进行分割，发现有两种不同的方法求图中大正方形的面积，得到等量关系为____________： （2）利用等量关系解决下面问题· ①，求； ②，求的值； （3）如图2，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、．连接、、．若阴影部分的面积和为10．的面积为8．则的长度为____________． 28. 经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． （1）如图1，，则__________； （2）如图2，，点P在直线上方，探究之间的数量关系，并证明： （3）如图3，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明： （4）如图4，，点P在直线上方，分别是的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．请直接写出与之间的数量关系．（请自行画图分析） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$