精品解析：湖北省孝感市高新区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

孝感高新区2024年春季学期期末学业水平考试 七年级数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 如图，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适宜全面调查的是（ ） A. 检测一批灯的使用寿命 B. 了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量 C. 调查某批次汽车的抗撞击能力 D. 检查神舟十八号载人飞船的零部件情况 4. 在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如果，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 镇政府想了解李家庄的经济情况，在130户家庭中抽取20户调查过去一年家庭人均收入，并进行统计分析．在这个过程中（ ） A. 所抽取的20户家庭的人均收入是总体 B. 每户家庭的人均收入是个体 C. 130户家庭的人均收入是总体的一个样本 D. 样本容量是130 7. 若是二元一次方程的解，则的值为（ ） A 1 B. C. D. 8. 《孙子算经》是我国古代数学经典著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长为x尺，绳子长为y尺，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 9. 关于的不等式组仅有3个整数解，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤若，则． 其中，一定正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 经调查，某班学生上学所用的交通工具中，自行车占60%，公交车占30%，其它占10%，用扇形图描述以上统计数据时，“公交车”对应扇形的圆心角是__________． 12. 已知点，若点P在x轴上，则m的值为________；若点P在第二象限，则m的取值范围为________． 13. 把一根长的钢管截成长和长两种规格均有的短钢管，若损耗忽略不计且没有余料，则不同的截法有________种． 14. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为________． 15. 如图，点在坐标轴上，为线段上一动点，为线段上的一动点，则的最小值为______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 解不等式组：． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 18. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩x A 50≤x＜60 B 60≤x＜70 C 70≤x＜80 D 80≤x＜90 E 90≤x≤100 （1）本次调查一共随机抽取了_________名学生的成绩，频数分布直方图中m=_________； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？ 19. 完成下面的证明过程． 已知：如图，，， 求证：． 证明：（已知），（邻补角互补） （________） （内错角相等，两直线平行） （________） 又（已知） ________（________） （________） （________） 20. 已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值． 21. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如：，，． （1）填空：①________；②若，则的取值范围是________． （2）已知x为整数，且，求值． 22. 有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨． （1）求每辆大货车和每辆小货车一次分别可运货多少吨？ （2）若每辆大货车的租金为3000元，每辆小货车的租金为2000元，某公司计划租用这两种货车共10辆把30吨货物一次性运走，且租车总费用不超过26000元，则有哪几种租车方案，租车费用最少是多少元？ 23. 【材料阅读】亲爱同学，请耐心阅读、仔细体会，你将豁然开朗！ 二元一次方程有无数个解，如，，，，…在平面直角坐标系中，将这些解分别看成点，，，…，可以发现这些点在同一条直线l上（如图1所示），且该直线l上任意点的坐标都是方程的解．事实上，以任意二元一次方程的解为坐标的点都在同一条直线上，我们把这条直线叫做该方程的图象． 【理解运用】 （1）下列各点中，在方程的图象上的有________（填序号） ①，②，③，④． （2）在图2所示的平面直角坐标系中，分别画出方程的图象直线和方程的图象直线，直线与相交于点M，求点M的坐标． 【问题延伸】 （3）若点和点分别在（2）中直线和直线上，且线段，求m的取值范围． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，，，且，与y轴相交于点F，过C作轴于点B． （1）填空：________，________，三角形的面积为________； （2）如图2，过B作∥交y轴于D，若，分别平分，，求度数； （3）在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高新区2024年春季学期期末学业水平考试 七年级数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义．根据无理数的定义即可判断选项． 【详解】解：A、，不是无理数，故本选项不符合题意； B、3.14不是无理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：C 2. 如图，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据邻补角、对顶角将原图形角度进行转换，然后根据平行线的性质与判定进行解答即可． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及邻补角和对顶角的运用，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 3. 下列调查中，适宜全面调查的是（ ） A. 检测一批灯的使用寿命 B. 了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量 C. 调查某批次汽车的抗撞击能力 D. 检查神舟十八号载人飞船的零部件情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查．熟练掌握全面调查适用范围是解题的关键． 根据全面调查的适用范围判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中检测一批灯的使用寿命，适宜抽样调查，故不符合要求； B中了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量，适宜抽样调查，故不符合要求； C中调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜抽样调查，故不符合要求； D中检查神舟十八号载人飞船的零部件情况，适宜全面调查，故符合要求； 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移．根据向左平移横坐标减，向右平横坐标加，纵坐标不变进行求解即可． 【详解】解：将点向右平移4个单位长度后得到的点的坐标是，即． 故选：B 5. 如果，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对不等式性质的熟练掌握与灵活运用． 【详解】解：A、如果，那么，故此选项不正确，不符合题意； B、如果，那么，故此选项正确，符合题意； C、如果，那么，故此选项错误，不符合题意； D、如果，那么不能确定，故此选项错误，不符合题意， 故选：B． 6. 镇政府想了解李家庄的经济情况，在130户家庭中抽取20户调查过去一年家庭人均收入，并进行统计分析．在这个过程中（ ） A. 所抽取的20户家庭的人均收入是总体 B. 每户家庭的人均收入是个体 C. 130户家庭的人均收入是总体的一个样本 D. 样本容量是130 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了总体，样本和个体的概念，正确理解总体，样本和个体的概念是解题的关键．根据总体，样本和个体的概念，即可判断答案． 【详解】A、所抽取的20户家庭的人均收入是样本，不是总体，故A选项错误，不符合题意； B、每户家庭的人均收入是个体，故B选项正确，符合题意； C、130户家庭的人均收入是总体，不是样本，故C选项错误，不符合题意； D、样本容量是20，故D选项错误，不符合题意． 故选B． 7. 若是二元一次方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故选A． 8. 《孙子算经》是我国古代数学经典著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长为x尺，绳子长为y尺，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 直接利用“绳长长木条长；木条长绳子长”分别得出等式求出答案． 【详解】解：现设木条长尺，绳子长尺， 则可列方程组为：． 故选：A． 9. 关于的不等式组仅有3个整数解，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有三个整数解的应用．可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解可得到关于m的不等式组，可求得m的取值范围． 【详解】解： 解不等式①可得， 解不等式②可得， 由题意可知原不等式组有解， 原不等式组的解集为， 该不等式组恰好有三个整数解 整数解为1，2，3， ． 故选∶C． 10. 如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤若，则． 其中，一定正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质可得；由折叠的性质可得，，则，，，由，可得，，则，由，可得，则，进而可判断②的正误；由题意知，无法判断与的关系，进而可判断③的正误；由，则，，可得，即，进而可判断④的正误；根据，可得，整理得，即，则，进而可判断⑤的正误； 【详解】解：由折叠的性质可得；①正确，故符合要求； 由折叠的性质可得，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，②正确，故符合要求； ∵，无法判断与的关系，③错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，④正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，⑤正确，故符合要求； 综上：①②④⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 经调查，某班学生上学所用的交通工具中，自行车占60%，公交车占30%，其它占10%，用扇形图描述以上统计数据时，“公交车”对应扇形的圆心角是__________． 【答案】108° 【解析】 【分析】根据已知条件知公交车占30%，所以“公交车”所在扇形的圆心角度数即是360°×30%，求解即可． 【详解】解：公交车”对应扇形的圆心角度数是360°×30%=108°． 故答案为：108°． 【点睛】本题考查的是扇形统计图的知识，在扇形统计图中，注意掌握每部分占的圆心角度数等于360°和该部分所占总体的百分比的乘积． 12. 已知点，若点P在x轴上，则m的值为________；若点P在第二象限，则m的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组．根据各象限内点的坐标的符号特征，即可求解． 【详解】解：若点P在x轴上， ，解得：； 若点P在第二象限， ，解得：． 故答案：； 13. 把一根长的钢管截成长和长两种规格均有的短钢管，若损耗忽略不计且没有余料，则不同的截法有________种． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．根据题意设将一根长的钢管截个长的短钢管，个长的短钢管，建立二元一次方程，找到等量关系，取值即可求解； 【详解】解：设将一根长的钢管截个长的短钢管，个长的短钢管 列方程：； 即 ，均为整数 故有或或 三种不同的截法； 故答案为： 14. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了不等式的解集，解答本题的关键是得出和的数量关系及和的正负情况，有一定难度，注意不等式求解的步骤． 根据不等式的解集是，可判断出，从而可求出不等式的解集． 【详解】解：∵关于的不等式的解集是， ， ， 故可得不等式的解集为：． 故答案为：． 15. 如图，点在坐标轴上，为线段上一动点，为线段上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，根据点到直线距离垂线段最段可知，的最小值为时，垂线段的长度，连接，如图所示，根据图形与坐标，数形结合得到相关线段长，再由等面积法列方程求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，根据点到直线距离垂线段最段可知，的最小值为时，垂线段的长度，连接，如图所示： ， ， 在中，，则， ， ， ，即，解得，则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题-点到直线距离垂线段最短，涉及图形与坐标、勾股定理、等面积法求线段长等知识，数形结合求出线段长是解决问题的关键． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解二元一次方程组： （1）先去绝对值，进行开方运算，再进行加减运算即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1） ； （2） 由①②得，解得：； 将代入①中，得，解得：； 此方程组的解为． 17. 解不等式组：． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 【答案】（1） （2） （3）见详解 （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． （1）根据一元一次不等式的解法解答①即可； （2）根据一元一次不等式的解法解答②即可； （3）分别解两个不等式得到和，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集，利用数轴表示其解集． （4）根据（3）写出解集即可； 【小问1详解】 解：解不等式①，得． 【小问2详解】 解：解不等式②，得． 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图： 【小问4详解】 解：结合（3）可得原不等式组的解集为． 18. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩x A 50≤x＜60 B 60≤x＜70 C 70≤x＜80 D 80≤x＜90 E 90≤x≤100 （1）本次调查一共随机抽取了_________名学生的成绩，频数分布直方图中m=_________； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？ 【答案】（1），16 （2）作图见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图和扇形统计图的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，计算得等级C的学生人数，根据频率分布直方图的性质补全即可； （3）根据用样本评估总体的性质计算，即可得到答案． 【小问1详解】 根据题意，得等级B的学生人数为：40人，等级B的学生人数占比为： ∴本次调查随机抽取的学生总数为：人 ∵等级A的学生人数占比为： ∴等级B的学生人数为：人，即 故答案为：，16； 【小问2详解】 ∵ ∴等级C的学生人数为：人 频数分布直方图如下： ； 【小问3详解】 成绩在80分及以上的学生人数占比为： ∴全校学生成绩优秀的学生人． 【点睛】本题考查了调查统计的知识；解题的关键是熟练掌握频率分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体的性质，从而完成求解． 19. 完成下面的证明过程． 已知：如图，，， 求证：． 证明：（已知），（邻补角互补） （________） （内错角相等，两直线平行） （________） 又（已知） ________（________） （________） （________） 【答案】同角的补角相等；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质．根据题意可得，从而得到，进而得到，继而得到，即可． 【详解】解：（已知），（邻补角互补） （同角的补角相等） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 又（已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 故答案为：同角的补角相等；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 20. 已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次方程是解题的关键． 由①②得：，可求，则，计算求解即可． 【详解】解：， 由①②得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴k的值为2． 21. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如：，，． （1）填空：①________；②若，则的取值范围是________． （2）已知x为整数，且，求的值． 【答案】（1）①2；② （2）或6 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式组的解. （1）①根据最大整数的定义即可求解； ②根据最大整数的定义即可得到一个关于的不等式组，即可求得的范围． （2）根据新定义列出关于的不等式组，解之求得的范围即可得． 【小问1详解】 解：①， 故答案为：2； ②∵，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 解得：； ∵x为整数， ∴或6． 22. 有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨． （1）求每辆大货车和每辆小货车一次分别可运货多少吨？ （2）若每辆大货车的租金为3000元，每辆小货车的租金为2000元，某公司计划租用这两种货车共10辆把30吨货物一次性运走，且租车总费用不超过26000元，则有哪几种租车方案，租车费用最少是多少元？ 【答案】（1）每辆大货车一次可运货4吨，每辆小货车一次可运货2.5吨 （2）见解析，租车费用最少为24000元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设每辆大货车一次可运货x吨，每辆小货车一次可运货y吨，根据2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，列出方程组进行求解即可； （2）设租用m辆大货车，则租用辆小货车，根据题意，列出不等式组，求出整数解，得到方案，进而求出每一种方案的费用，比较即可． 【小问1详解】 解：设每辆大货车一次可运货x吨，每辆小货车一次可运货y吨． 依题意，得：． 解得：， 答：每辆大货车一次可运货4吨，每辆小货车一次可运货吨． 【小问2详解】 设租用m辆大货车，则租用辆小货车， 依题意，得：． 解得：， 又为整数， 或5或6． 共有3种租车方案，分别为： 方案1：租用4辆大货车，6辆小货车，所需费用为：（元）； 方案2：租用5辆大货车，5辆小货车，所需费用为：（元）； 方案3：租用6辆大货车，4辆小货车，所需费用为：（元）； 租车费用最少为24000元． 23. 【材料阅读】亲爱的同学，请耐心阅读、仔细体会，你将豁然开朗！ 二元一次方程有无数个解，如，，，，…在平面直角坐标系中，将这些解分别看成点，，，…，可以发现这些点在同一条直线l上（如图1所示），且该直线l上任意点的坐标都是方程的解．事实上，以任意二元一次方程的解为坐标的点都在同一条直线上，我们把这条直线叫做该方程的图象． 【理解运用】 （1）下列各点中，在方程的图象上的有________（填序号） ①，②，③，④． （2）在图2所示的平面直角坐标系中，分别画出方程的图象直线和方程的图象直线，直线与相交于点M，求点M的坐标． 问题延伸】 （3）若点和点分别在（2）中直线和直线上，且线段，求m的取值范围． 【答案】（1）①②④ （2）点M的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，绝对值不等式，熟练掌握求一次函数图象上点的坐标及二元一次方程组的解法是解决本题的关键． （1）将所给的点的坐标代入方程，使方程成立的即为所求； （2）利用描点法画出函数图象即可；联立，解方程组即可求出点M的坐标． （3）分别求出，再由，求出a的范围即可． 【小问1详解】 解：当时，有，则，故①在的图象上． 当时，有，则，故②在的图象上． 当时，有，则，故③不在的图象上． 当时，有，则，故④在图象上． 故答案为：①②④． 【小问2详解】 解：根据题意画图如图所示： 联立， 解得， 点M的坐标为． 【小问3详解】 解：点和点分别在直线和上， ，， ，， ； 又， ， ， 解得． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，，，且，与y轴相交于点F，过C作轴于点B． （1）填空：________，________，三角形的面积为________； （2）如图2，过B作∥交y轴于D，若，分别平分，，求的度数； （3）在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，4 （2） （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先依据非负数的性质可求得、的值，从而可得到点和点的坐标，再依据三角形的面积公式求解即可； （2）过作，根据平行线的判定和性质求解即可； （3）分两种情况，当点在轴正半轴时和点在轴负半轴时，根据三角形面积相等进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，解得：，， ∴，， ∴，， ∴三角形的面积为； 故答案：，，4； 【小问2详解】 解：如图，过点O作，则， ∵，， ∴， ， ， 同理． 轴轴， ， ， ，分别平分，， ，， ，即， ； 【小问3详解】 解：连接，过点C作轴于N， ，，轴， ，，， ， ， 即， 解得：， ， ，， ，即， ，即， 解得：， 又， 当点在轴正半轴时，点P的坐标为； 当点在轴负半轴时，点P的坐标为； 点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查的是三角形的综合应用，涉及到坐标与图形性质，平行线的性质，非负数的性质：偶次方与算术平方根，角平分线的性质，直角坐标系中求三角形的面积等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，掌握割补法求面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$