精品解析：广东省江门市鹤山市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023－2024学年度第二学期双减自查评估 八年级数学 （考试时间：120分钟，满分120分，请把答案填涂在答题卡上） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别把能够化简的二次根式化简，从而可得答案. 【详解】解： 故A不符合题意； 故B不符合题意； 故C不符合题意； 是最简二次根式，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是最简二次根式的定义，二次根式的化简，掌握“最简二次根式的含义”是解本题的关键，最简二次根式满足两个条件：被开方数不含有分母，被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 2. 下列命题中，正确的命题的是（ ） A. 有两边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 四个角相等的菱形是正方形 D. 两条对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、有两邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误； C、四个角相等的菱形是正方形，故原命题正确； D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊的平行四边形的判定方法，难度不大． 3. 已知，，那么与的关系为（ ） A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 相等 D. 是的平方根 【答案】B 【解析】 【分析】求出ab的值，利用倒数定义判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴a与b的关系是互为倒数． 故选：B． 【点睛】此题考查了倒数的定义、二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4. 在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练运用三角形的性质，本题属于基础题型．根据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理即可求出答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故能确定，不符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故能确定，不符合题意； C、∵，，， ∴， ∴不是直角三角形，故不能判断，符合题意； D、∵， ∴是直角三角形，故能确定，不符合题意； 故选：C． 5. 下列关于一次函数的结论中，正确的是（ ） A. 图像经过点 B. 当时， C. y随x增大而增大 D. 图像经过第二、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和性质判断选项的正确性． 【详解】A选项错误，当时，，图象经过点； B选项正确，一次函数，y随着x的增大而减小，当时，，所以当时，； C选项错误，一次函数，y随着x的增大而减小； D选项错误，，，函数图象经过第一、二、四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 6. 张老师在一次数学复习课上出了道选择题，课代表将全班同学的答题情况绘制了条形统计图，请你根据统计图回答：全班每位同学答对的题数所组成的样本的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据条形统计图中的数据求得全班的总人数，然后根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】全班的总人数是5+20+15+10=50（人）， 则中位数是（8+9）=8.5，众数是8． 故选A． 【点睛】本题考查了条形统计图、中位数及众数，根据条形统计图获得全班的总人数，再根据众数和中位数的定义求解是解决本题的基本思路. 7. 如图，在直角坐标系中，的顶点B、C、D的坐标分别是，，，则顶点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，根据平行四边形的性质得出对边平行且相等，进而求出点坐标． 【详解】解：的顶点、、的坐标分别是，，， ，点纵坐标为：3， ． 故选：D． 8. 一艘轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，横坐标表示航行的时间，纵坐标表示轮船与甲地的距离，则下列说法错误的是（ ） A. 轮船从甲地到乙地的平均速度为 B. 轮船在乙地停留了 C. 轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度 D. 甲、乙两地相距 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象逐项分析即可，解题的关键是看懂图象，获取信息． 【详解】、轮船从甲地到乙地的平均速度为，此选项不符合题意； 、轮船在乙地停留了，此选项不符合题意； 、轮船从乙地到甲地的平均速度为，则轮船从乙地到甲地的平均速度小于去时的速度，此选项符合题意； 、根据图象可知：甲、乙两地相距，此选项不符合题意； 故选：． 9. 图1是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成，若较短的直角边，斜边，若将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. 70 B. 76 C. 72 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC=6，从而可得CD=12，AD=6，再在Rt△BCD中，利用勾股定理可得BD=13，由此即可得出答案． 【详解】解：∵Rt△ABC中，直角边BC=5，斜边， ∴． ∵将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍， ∴CD=2AC=12，AD=AC=6， ∴在Rt△BCD中，， 则这个风车的外围周长是4(AD+BD)=4×(6+13)=76， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 10. 如图，，，，P为边上一动点（点P不与点B，C重合），于点E，于点F，则的最小值为（　　） A. 4 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接，证明四边形是矩形，可得，当最小，即时，最小，然后利用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出此时的值即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵，，， ∴， ∵当时，最小，此时， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故选：B． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 甲，乙，丙，丁四名射击运动员进行射击测试.每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_______． 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键． 【详解】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数， 从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， 丁方差较小， 选择丁参加比赛， 故答案为：丁． 12. 一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】弹簧总长弹簧原来的长度挂上重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【详解】解：挂上的物体后，弹簧伸长， 挂上的物体后，弹簧伸长， 弹簧总长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键． 13. 如图，的对角线，交于点O，且，，则的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的对角线互相平分以及平行四边形的对边相等，即可求出的周长． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，对角线，，过点A作于点E，则为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和相勾股定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，即可求出长，然后利用菱形的面积，即可得出答案． 【详解】解：∵是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 15. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答． 根据a，b，c的值求得，然后将其代入三角形的面积求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先运用完全平方公式和二次根式的除法运算，然后合并解题． 【详解】解： ． 17. 无理数的发现是实数发展史上的一个重要里程碑，在七年级我们学习了数的再一次扩充，认识了实数，请你结合本学期所学的知识完成下列问题： （1）判断正误（正确打，错误打）：任何一个实数与数轴上的点一一对应．（ ） （2）如图1，点A表示的数是________． （3）如图2，直线垂直数轴于原点，请用尺规在数轴上作出表示的点B．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） （2） （3）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数．熟练掌握实数和数轴上的点一一对应以及勾股定理，是解题的关键． （1）直接利用实数与数轴的关系分析得出即可．即可解答； （2）勾股定理进行求解即可； （3）取数轴上C点表示，数轴且，取数轴上O点表示0，则，由勾股定理得：，以点A为圆心，长为半径作圆弧与数轴交于点B，则，又点B在原点O左侧，所以B点表示的数为， 【小问1详解】 解：实数与数轴上点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 本题说法正确， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由勾股定理可知直角三角形的斜边长为：， ∴点A表示的数在O的右侧，距离O的距离为，即A点表示的数是． 故答案为：； 【小问3详解】 如图所示：点B即为所求； ， 18. 某校招聘一名数学老师，对应聘者分别进行了教学能力、科研能力和组织能力三项测试，其中甲、乙两名应聘者的成绩如右表：（单位：分） 教学能力 科研能力 组织能力 甲 81 85 86 乙 92 80 74 （1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将被录用； （2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织能力三项测试得分按 5：3：2 的比确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？ 【答案】（1）甲被录用；（2）乙被录用． 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算公式分别进行计算，平均数大的将被录用； （2）根据加权平均数的计算公式分别进行解答，加权平均数大的将被录用； 【详解】解：（1）甲的平均成绩为（分）； 乙的平均成绩为（分）， 因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩， 所以甲被录用； （2）根据题意，甲的平均成绩为（分）， 乙的平均成绩为（分）， 因为甲的平均成绩低于乙的平均成绩， 所以乙被录用． 【点睛】本题重点考查了算术平均数和加权平均数的计算公式，希望同学们要牢记这些公式，并能够灵活运用，数据x1、x2、……、xn的算术平均数：=(x1+x2+……+xn)，加权平均数：（其中w1、w2、……wn为权数），算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数. 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 有一块四边形草地（如图），测得，，，． （1）求的度数； （2）求四边形草地的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理应用， （1）连接，由等边三角形的判定证得是等边三角形，得到，再由勾股定理的逆定理证得，即可求得； （2）过作于，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理求得，由三角形的面积公式可求得和，即可求得结论． 正确作出辅助线证得是等边三角形是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：连接， ，． 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， ； 小问2详解】 过作于， ， ， ， 四边形草地的面积， 答：四边形草地的面积为． 20. 甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过300元后的价格部分打7折． （1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式； （2）在同一直角坐标系中画出（1）中函数的图象； （3）春节期间若计划一次购物1000元，根据图象，判断选择哪家商场购物更省钱． 【答案】（1）甲商场: ，乙商场 （2）甲解析 （3）乙商场购物更省钱 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用， 一次函数图象， 读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键. （1）根据两家商场的让利方式分别列式整理即可； （2）利用两点法作出函数图象即可； （3）根据函数图象作出判断即可. 【小问1详解】 甲商场: 乙商场：当时， 当时，， ∴； 【小问2详解】 如图所示; 【小问3详解】 当时，根据图象可得，， ∴乙商场购物更省钱. 21. 如图，，平分，且交于点C，平分，且交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求，的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定、含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线定义得出，证出，同理：，得出，证出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出，，再由勾股定理即可得出和的长． 【小问1详解】 证明: ， ∴. 又∵平分 ， ， ， 同理 ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴ 四边形是菱形. 【小问2详解】 解:∵ 四边形是菱形, ， ，， ， ， ∴， ∴． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点，与一次函数的图象相交于点A． （1）求直线的解析式及点A的坐标； （2）请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）设点E在直线上，且，求点E的坐标． 【答案】（1），点A的坐标为 （2） （3）点的坐标为 或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式以及面积问题，解题关键是熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系，注意分类讨论. （1）利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到k、b的值； （2）结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的的范围即可； （3）先确定点坐标，求出的面积，设点的纵坐标为，然后求出，即可得到点坐标. 【小问1详解】 ∵直线 经过和, 解得： 即直线的解析式为； 解方程组得， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 ∵点的横坐标为4, ∴根据函数图象可知，不等式 的解集是； 【小问3详解】 把代入得: 解得： ∴点, ∵点, ， ， ， ， 设点的纵坐标为， 则 解得：或 ， ∵一次函数 的解析式为 点在直线 上, ∴把代入得: 解得： ∴此时点的坐标为 把 代入 得: 解得： ∴此时点的坐标为 综上分析可知，点的坐标为 或 23. 如图，正方形的顶点O在坐标原点处，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是边上的点（不与点A重合），，且与正方形外角平分线交于点P． （1）求证：． （2）若正方形边长为5，点E的坐标为，在y轴上是否存在点M，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（备用图在答题卡上） 【答案】（1）见解析 （2）存在，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）在上截取，连接，求出，根据推出，，根据全等三角形的性质得出即可； （2）过点作交轴于点，连接，根据推出，根据全等三角形的性质得出，求出.根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，即可求出答案． 【小问1详解】 证明: 如图①, 在上截取, 连接， ∵， ∴， ∵为正方形的外角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴； 【小问2详解】 轴上存在点，使得四边形是平行四边形。 如图②, 过点作交轴于点, 连接， 则, 得， 在和中, ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， 因此点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$