精品解析：江西省抚州市2023-2024学年高二下学期学生学业质量监测数学试卷

抚州市2023—2024学年度下学期学生学业质量监测 高二数学试题卷 命题：抚州市教育发展研究中心 说明： 1.本卷共有4大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分. 一､单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，仅有一项符合题目要求. 1. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 在数列中，若，则（ ） A. -2 B. 4 C. 1 D. 3. 2024年是安徽省实施“”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，随机变量X的分布列是（ ） a 则方差（ ） A. 既与有关，也与有关 B. 与有关，但与无关 C. 与有关，但与无关 D. 既与无关，也与无关 5. 已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二､多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 函数，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是（ ） A. 的减区间是 B. 的增区间是 C. 有一个极大值点，两个极小值点 D. 有三个零点 10. 下列说法正确的是（ ） A. 互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B. 若，则 C. 已知，若，则事件M，N相互独立 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存极大值又存在极小值 C. 若时，，则的最小值为 D. 若方程有两个实根，则 三､填空题：共3小题，每题5分，共15分. 12. 若直线与曲线相切，则__________. 13. 小王喜爱逛街和吃火锅．在周末，她下午去逛街概率为．若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为．已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为______． 14. 已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为______． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内. 15. 已知公差不为0的等差数列首项，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数 （1）求的单调增区间； （2）方程在有解，求实数的范围. 17. 已知数列的首项，且. （1）求数列通项公式： （2）若数列的前项和为，证明：. 18. 某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且． （1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）； （2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值． 附：若，则． 19. 已知函数（为常数，为自然对数的底数），曲线在与轴的交点处的切线斜率为-1. （1）求的值及函数的单调区间； （2）证明：当时，； （3）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抚州市2023—2024学年度下学期学生学业质量监测 高二数学试题卷 命题：抚州市教育发展研究中心 说明： 1.本卷共有4大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分. 一､单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，仅有一项符合题目要求. 1. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用极限的计算方法即可得解. 【详解】因为函数, 所以, 所以. 故选：A. 【点睛】 2. 在数列中，若，则（ ） A. -2 B. 4 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知递推式可求出，可得此数列是以3为周期的周期数列，从而可求出答案. 【详解】因为数列中，， 所以，， ，， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 故选：B 3. 2024年是安徽省实施“”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算出任选两门的种类数，再得出化学和地理都没有被选中的情况，即可得出结果. 【详解】依题意从从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门共有种情况， 其中化学和地理都没有被选中共有种， 因此化学和地理至少有一门被选中的概率是. 故选：D 4. 设，，随机变量X的分布列是（ ） a 则方差（ ） A. 既与有关，也与有关 B. 与有关，但与无关 C. 与有关，但与无关 D. 既与无关，也与无关 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差公式求出方差，再判断即可. 【详解】由分布列可得， 故. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握期望和方差的公式. 5. 已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质与求和公式，结合已知条件求解即可. 【详解】因为等差数列与的前项和分别为，且， 所以设， 所以 . 故选：D 6. 已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，存在，使得，由参变量分离法可得，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 因为函数在区间上存在单调递增区间，则存在，使得， 即，可得，设， 因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 当时，，故. 故选：B. 7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得当时，，变形的可证得，，再结合已知条件可求得结果. 【详解】由题意得当时，，则， 所以，，……，，， 所以 ， 所以，所以， 因为当时，，则， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查递推数列的性质，解题的关键是对“斐波那契数列”的正确理解，得到当时，，考查计算能力，属于中档题. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把转化为，设函数，分析函数的单调性，问题转化为，再设，转化为求恒成立，利用导数求函数的最小值，利用最小值大于或等于0，可求的取值范围. 【详解】由， 两边同时加，得：. 设，则，所以在上单调递增. 所以. 设，，则， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于通过指对同构思想将问题为函数单调性问题，结合参变量分离法转化为函数最值问题来求解. 二､多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 函数，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是（ ） A. 的减区间是 B. 的增区间是 C. 有一个极大值点，两个极小值点 D. 有三个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知结合导数与单调性及极值关系，函数性质检验各选项即可判断. 【详解】结合导函数图象可知，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，错误，正确， 所以函数在，时取得极小值，在时，函数取得极大值，C正确； 因为无法确定，，的正负，从而无法确定函数的零点个数，D错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B. 若，则 C. 已知，若，则事件M，N相互独立 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据正态分布的对称性求解概率判断B，根据条件概率及独立事件的概念判断C，根据独立性检验的试验结果判断D. 【详解】对于A，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A错误； 对于B，因为，所以正态曲线的对称轴为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，即， 则，则事件M，N相互独立，故C正确； 对于D，因为，所以不能根据作出D中的判断，故D错误； 故选：BC 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则的最小值为 D. 若方程有两个实根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误. 【详解】定义域为，， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增； 对于A，，，， 在区间和内各存在一个零点； 当时，，，恒成立； 有且仅有两个不同的零点，A错误； 对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确； 对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解， 若当时，，则，C错误； 对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点， 作出图象如下图所示， 结合图象可知：，D正确. 故选：BD. 三､填空题：共3小题，每题5分，共15分. 12 若直线与曲线相切，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由函数的导数为3，求切点，根据切点在直线上，可求的值. 【详解】因为，所以. 由， 因为，所以切点坐标为， 因为点在直线上，所以. 故答案为：2 13. 小王喜爱逛街和吃火锅．在周末，她下午去逛街的概率为．若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为．已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】借助条件概率公式计算即可得. 【详解】设其周末晚间去吃火锅的概率为，下午去逛街的概率为， 则，， 则. 故答案：. 14. 已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出到直线的距离，则，再利用导数求出函数的最小值，即可得解. 【详解】点到直线的距离， 则， 又， 由知，和在上单调递增， 所以在上单调递增，其值域为， 又，令， 令， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 因为对任意的，都有恒成立，所以， 所以实数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内. 15. 已知公差不为0等差数列首项，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，即可求解； （2）由（1）可知，，利用错位相减法求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意，得 解得或（舍） ∴ ； 【小问2详解】 ，， 此时； ， ， ， ， 所以. 16. 已知函数 （1）求的单调增区间； （2）方程在有解，求实数的范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出，令解不等式可得答案； （2）利用导数求出在的值域可得答案. 【小问1详解】 ， 由解得，或， 所以的单调增区间为，； 【小问2详解】 ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， ，， 所以， 若方程在有解， 则. 17. 已知数列的首项，且. （1）求数列的通项公式： （2）若数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）将等式变形为，并通过累乘法求解数列通项公式； （2）由（1）可知，将放缩，再根据裂项相消法即可证明. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 将上述个式子相乘得， 所以，当时，成立， 故. 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 所以， 即. 18. 某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且． （1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）； （2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值． 附：若，则． 【答案】（1）159 （2）取得最大值时n的值为8 【解析】 【分析】（1）利用正态分布的对称性可求，故可估算年龄不低于60岁的人数. （2）利用不等式组可求取得最大值时的值. 【小问1详解】 因为，所以， 则， 所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)． 小问2详解】 依题意可得，， 设， 所以， 所以 所以，因为整数，所以， 所以当取得最大值时的值为8． 19. 已知函数（为常数，为自然对数的底数），曲线在与轴的交点处的切线斜率为-1. （1）求的值及函数的单调区间； （2）证明：当时，； （3）证明：当时，. 【答案】（1），的单减区间为，单增区间为； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的．通过，即可求解函数在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增． （2）求出的最小值，化简．构造，通过．判断在（0，+∞）上单调递增，得到，推出结果． （3）首先证明：当时，恒有．令，则．推出在（0，+∞）上单调递增，得到．利用累加法推出． 【小问1详解】 由，得． 又，所以．所以，． 由，得． 所以函数的单减区间为，单增区间为． 【小问2详解】 由（1）知． 所以，即，． 令，则． 所以在上单调递增，所以，即． 【小问3详解】 首先证明：当时，恒有． 证明如下：令，则． 由（2）知，当时，，所以，所以在上单调递增， 所以，所以．所以，即．依次取，代入上式，则，，． 以上各式相加，有． 所以， 所以， 即． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； （4）利用导数证明不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$