2024年全国一卷数学新高考题型细分2-8——立体几何 多选 7 旋转体

2024年全国一卷新高考题型细分2-8 ——立体几何 多选7 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《立体几何——多选》按照题目中的几何体进行分类，具体有： 线面关系，其他线面关系，正方体，棱锥，棱柱，其他多面体，圆柱，圆锥，圆台，其他旋转体等，大概106道题。 圆柱： 1. （多选，2024年冀J02某市二模）10. 如图，在圆柱中，轴截面ABCD为正方形，点F是的上一点，M为BD与轴的交点．E为MB的中点，N为A在DF上的射影，且平面AMN，则下列选项正确的有（ [endnoteRef:2] ） A. 平面AMN B. 平面DBF C. 平面AMN D. F是的中点 （平行，垂直，垂直，平行，中下） [2: 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用线面关系即可判断A；利用线面垂直的判断定理和性质定理，即可判断BC；利用图形，结合垂直关系和平行关系的转化，即可判断D. 【详解】A.由题意可知，点是中点，所以点三点共线， 所以点平面，所以平面， 则直线与平面不平行，故A错误； B.因为平面，平面，所以， 且，，且平面， 所以平面，且平面， 且平面平面， 因为，所以平面，故B正确； C.由平面，平面，所以， 因为轴截面ABCD为正方形，点是的中点，所以， ，且平面，所以平面，故C正确； D. 平面，平面，所以，且点是的中点， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以，且是的中点， 所以，且,所以， 则，点F是的中点，故D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查线线，线面，面面的位置关系，本题的关键是能从几何体中抽象出线线，线面的位置关系，以及根据几何图形的性质，转化几何关系. ] 2. （多选，2024年苏J38航附五月测）11．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ [endnoteRef:3]   ） A．球与圆柱的体积之比为 B．四面体CDEF的体积的取值范围为 C．平面DEF截得球的截面面积最小值为 D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 （体积，体积，截面，最短路径，中档） [3: 11．AD 【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断A；利用建立函数关系判断B；求出球心O到平面DEF距离的最大值判断C；令点P在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为Q，设，利用勾股定理建立函数关系，求出值域作答. 【详解】对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确； 对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点， 四面体CDEF的体积，B错误； 对于C，过作于，如图，而，则， 又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则， 又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误； 对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接， 当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立， 因此，， 则， 令，则，而，即， 因此，解得，所以的取值范围为，D正确. 故选：AD 【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图. ] 3. （多选，2024年湘J42岳阳三检）11．如图，四边形是圆柱的轴截面且面积为2，四边形绕逆时针旋转到四边形，则（ [endnoteRef:4]   ） A．圆柱的侧面积为 B．当时， C．当时，四面体的外接球表面积最小值为 D．当时， （侧面积，垂直，外接球，长度，中档） [4: 11．ABD 【分析】设圆柱的底面半径为，母线长为，由已知可得，结合圆柱的侧面积公式判断A，由条件，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明，判断B，由条件求四面体的外接球的半径，结合球的表面积公式和基本不等式求其最小值，判断C，由条件利用表示，由此可得，解不等式求范围，判断D. 【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为， 因为四边形是圆柱的轴截面 所以， 因为四边形的面积为2， 所以，即 所以圆柱的侧面积，A正确， 因为为圆的直径，所以， 又平面，平面， 所以，又平面，， 所以平面，平面， 所以，B正确； 因为， 设四面体的外接球的半径为， 则， 因为，， 所以， 所以，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以四面体的外接球表面积最小值为，C错误， 因为，，， 所以， 所以，又， 所以，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 又，所以，D正确， 故选：ABD. 【点睛】知识点点睛：本题考查圆柱的侧面积的求法，线面垂直的判定定理，多面体的外接球问题，空间中两点距离问题，属于综合题，综合考查学生直观想象能力，逻辑推理能力，要运算求解能力. ] 4. （多选，2024年鲁J07淄博一模，末，冀J29邢台二模）11. 把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(中椭圆长轴，短轴，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，， P为线段上的动点，E 为线段上的动点，MN 为过点的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确的是（[endnoteRef:5] ） A. 当平面时，为的中点 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 若点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，则的最大值为（涉后椭圆） D. 三棱锥体积的最大值为8 （平行，外接球，线面角，体积最值，中上） [5: 【答案】ACD 【解析】 【分析】当平面时，可得，确定点位置判断选项A；几何法求三棱锥外接球的半径，计算表面积判断选项B；令，得，由求最大值判断选项C；由，要使三棱锥体积最大，只需的面积和到平面距离之和都最大，求结果判断选项D. 【详解】由题设，长轴长，短轴长， 则， 得分别是中点，而柱体中为矩形，连接， 由，，∴四边形为平行四边形，， 当平面时，平面，平面平面， 则，有， 中，是中点，则为的中点，A选项正确； ，，，则中，，， 外接圆半径为， ，则平面， 三棱锥外接球的半径为， 所以外接球的表面积为，B选项错误； 点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为， 令，则，又， 则，，， ，由椭圆性质知， 则当或时，的最大值为，C选项正确； 由，要使三棱锥体积最大， 只需的面积和到平面距离之和都最大， ，令，且，则， ， 当时，有最大值， 在下底面内以为原点，构建如上图的直角坐标系，且，则椭圆方程为， 设，联立椭圆得，， ，， 令，， 由对勾函数性质可知在上递增，， 综上，三棱锥体积的最大值为，D选项正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛： 本题是解析几何与立体几何的综合问题，解析几何部分要用好椭圆的定义、方程和性质，确定图形中各点的位置，利用韦达定理解决弦长；椭圆中立体几何部分要用好几何体的结构特征，利用线面平行的性质得线线平行，几何法解决外接球问题，几何法求线面角. ] 圆锥： 5. （多选，2024年粤J127汕头二模）11．用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为时，若截面与轴所成的角为，则截口曲线的离心率.例如，当时，，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥中，、分别为、的中点，、为底面的两条直径，且、，.现用平面（不过圆锥顶点）截该圆锥，则（[endnoteRef:6]    ）    A．若，则截口曲线为圆 B．若与所成的角为，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分（涉后圆锥曲线） C．若，则截口曲线为抛物线的一部分 D．若截口曲线是离心率为的双曲线的一部分，则 （截面，截面，截面，截面，中下） [6: 11．BCD 【分析】根据情境，由题可知，再对每个选项，求出过点的平面与旋转轴所成角的余弦，即的值，代入求值，从而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可． 【详解】对于A，由题意知过MN的平面与底面不平行，则截口曲线不为圆，故A错误； 对于B，与所成的角为，所以， 因为，所以，即， 所以，所以平面截该圆锥得的截口曲线为椭圆或椭圆的一部分， 故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以， 因为，，SOD， 所以平面SOD，又因为平面SOD，所以 又为、的中点，所以， 平面MAB， 所以平面MAB，所以与SO所成的角为， 所以，，故C正确； 对于D，  截口曲线是离心率为的双曲线的一部分， 则， 所以平面，故平面不经过原点O，故D正确． 故选：BCD.    【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解截口曲线（圆锥曲线）的离心率的定义，根据情境，由题可知，再对每个选项，求出过点的平面与旋转轴所成角的余弦，即的值，代入求值，从而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可． ] 6. （多选，2024年闽J02厦门二检）10. 如图1，扇形的弧长为，半径为，线段上有一动点，弧上一点是弧的三等分点，现将该扇形卷成以为顶点的圆锥，使得和重合，则在图2的圆锥中（ [endnoteRef:7] ） A. 圆锥的体积为 B. 当为中点时，线段在底面的投影长为 C. 存在，使得 D. （体积，投影，垂直，最短路径，中下） [7: 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得圆锥的底面半径和高，根据圆锥体积公式即可判断A；设M在底面上的投影为H，利用余弦定理求得投影的长，判断B；根据线面垂直的性质定理可判断C；结合，可求得的长，即可判断D. 【详解】对于A，设圆锥的底面半径为R，高为h，由题意知， 圆锥的母线长为，故， 故圆锥体积为，A错误； 对于B，当为中点时，设M在底面上的投影为H，则H为的中点， 则为线段在底面的投影， ，而，在中， ， 即，即线段在底面的投影长为，B正确； 对于C，作于T，作于，连接， 设圆锥底面直径为，由于， 即，则， ，则为正三角形，故T为的中点， 则，故，即为的四等分点， 由于平面底面，平面底面，底面， ，故平面，平面，故， 又，平面，故平面， 平面，故， 故当M与重合时，，C正确； 对于D，由C的分析知，，而， 故，D正确， 故选：BCD ] 7. （多选，2024年湘J45长沙一中一模）9．已知一圆锥的底面半径为，该圆锥的母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是（    [endnoteRef:8]） A．其侧面展开图是圆心角为的扇形 B．该圆锥的体积为π C．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为 D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2 （侧面积，体积，最短路径，截面，中下） [8: 9．ABD 【分析】求出底面圆周期判断A；求出圆锥的高并求出体积判断B；展开半圆锥的侧求出弦长判断C；求出轴截面顶角，再求出截面最大值判断D. 【详解】对于A，圆锥底面圆周长为，而圆锥侧面展开图扇形半径为2，所以侧面展开图的圆心角为，A正确； 对于B，圆锥的高，因此圆锥的体积，B正确； 对于C，依题意，将半圆锥的侧面展开，如图， 则从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为，C错误； 对于D，圆锥轴截面顶角为，则，，则圆锥轴截面顶角为， 因此过该圆锥的顶点的圆锥截面等腰三角形顶角， 此截面三角形积，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD ] 8. （多选，2024年鲁J30泰安二模）10．已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则下列说法正确的是（[endnoteRef:9]    ） A．圆锥的高为1 B．圆锥的体积为 C．圆锥侧面展开图的圆心角为 D．二面角的大小为 （圆锥，体积，侧面积，二面角，中下） [9: 10．ACD 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的母线长，结合线面角的定义可判断A选项；利用圆锥的体积公式可判断B选项；利用扇形的弧长公式可判断C选项；利用二面角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为与底面垂直，为底面圆的一条半径，则， 所以与圆锥底面所成的角为， 又，所以的面积为，解得， 所以该圆锥的高为，故A正确； 对于B选项，该圆锥的底面半径为， 故该圆锥的体积为，故B错误； 对于C选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为， 底面圆周长为，则，故C正确； 对于D选项，取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 则，所以， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为，故D正确. 故选：ACD. ] 9. （多选，2024年粤J35中山一中二调）11. 斜圆锥顾名思义是轴线与底面不垂直的类似圆锥的锥体．如图，斜圆锥的底面是半径为2的圆，为直径，是圆周上一点，且满足．斜圆锥的顶点满足与底面垂直，是中点，是线段上任意一点．下列结论正确的是（ [endnoteRef:10] ） A. 存在点，使得 B. 在劣弧上存在一点，使得 C. 当时，平面 D. 三棱锥体积的最大值为 （垂直，平行，垂直，体积最值，中档） [10: 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，当为中点时，可证明；B选项，若可得出与已知位置关系矛盾；C选项，已知条件可得，再证，可得平面；D选项，由，，求出棱锥的高即可得最大体积. 【详解】当为中点时，为中点，连接，则有， 平面，平面，平面，， ，为中点，， 平面，，平面， 平面，，A选项正确； 点在劣弧上，平面，平面，平面，与可能相交可能异面， 因为，若，则，这与与或者相交或者异面矛盾，B选项错误； ，，为等边三角形，． ，，` 当时，由，，得， 则有，， 为直径，是圆周上一点，，平面，平面，， 平面，，则平面， 平面，， ，平面，所以平面，C选项正确， ，由C选项知，D点到平面的距离(即D点到平面的距离)为，，因此，D选项正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：空间几何体中的线面位置关系，要充分结合几何体和图形结构，而三棱锥的体积，要利用好等体积法. ] 10. （多选，2024年粤J136茂名高州一模）12．如图，已知圆锥顶点为，其轴截面是边长为2的为等边三角形，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），是球与圆锥母线的交点，是底面圆弧上的动点，则（ [endnoteRef:11]   ） A．球的体积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．的最大值为3 D．若为中点，则平面截球的截面面积为 （涉后导数） （内切球，体积，最短路径，球截面，中档） [11: 12．ACD 【分析】对A，根据相切求出球的半径，再利用球的体积公式即可；对B，写出体积表达式并结合基本不等式即可判断；对C，设，写出的函数表达式，利用导数即可求出其最大值；对D，利用等体积法求出到平面，再求出截面积即可. 【详解】选项A，如图，设底面圆心为，则，，， 因为是边长为2的为等边三角形，则，为中点， 则球的半径球的体积为，故A正确. 选项，作，因为面，， 所以底面，， ，故B错误. 选项C，设，， .. .， 设，则令，解得， 当时，，当时，则， 易知在上单调递减，则在单调递减，且， 则当时，， 单调递增； ，故C正确. 选项，当为中点时，， 由，，，得.. 设点到平面的距离为，，，，代入数据解得. 截面面积为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是设设，，结合余弦定理和勾股定理求出线段和表示式，利用导数求出其最大值即可. ] 圆台： 11. （多选，2024年苏J09徐州适应）10. 已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为，则（ [endnoteRef:12] ） A. 该圆台的体积为 B. 该圆台外接球的表面积为 C. 用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16 D. 挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为 （体积，外接球，截面，表面积，中下） [12: 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：直接利用公式求解；对于B：先求出外接球半径，再利用体积公式求解；对于C ：通过轴截面的周长最大来求解；对于D：用面积公式求表面积. 【详解】由已知得圆台的上下底面半径分别为， 对于A：圆台的体积为，A错误； 对于B：如图是圆台的轴截面，外接球球心为，设外接球半径为， 当球心在梯形内时，，解得， 当球心在梯形外时，，方程无解， 所以外接球的表面积，B正确； 对于C：用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长，其中轴截面的周长最大， 又母线长为，则最大周长为，C正确； 对于D：如图：挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为 ，D错误. 故选：BC. ] 12. （多选，2024年冀J11衡水一模，末）11. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足.下列说法正确的是（ [endnoteRef:13] ） A. 该圆台轴截面ABCD的面积为 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为 D. 该圆台有内切球，且半径为 （截面，表面积，体积，内切球，中下） [13: 【答案】AB 【解析】 【分析】求出圆台的高可判断A；由圆台的表面积和体积公式可判断B，C；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆可判断D. 【详解】对于A，由，可得高， 则圆台轴截面ABCD的面积为，故A正确； 对于B，圆台的侧面积为， 又，， 所以，故B正确； 对于C，圆台的体积为，故C错误； 对于D，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD存在内切圆， 由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆，故D错误， 故选：AB. ] 其他旋转体： 13. （多选，2024年湘J49长沙长郡三模）11．已知平面平面，且均与球相交，得截面圆与截面圆为线段的中点，且，线段与分别为圆与圆的直径，则（ [endnoteRef:14]   ） A．若为等边三角形，则球的体积为 B．若为圆上的中点，，且，则与所成角的余弦值为 C．若，且，则 D．若，且与所成的角为，则球的表面积为或 （体积，线线角，垂直，球截面，中档） [14: 11．BCD 【分析】由为等边三角形求出外接圆半径，再得到球的半径即可求出体积判断A，利用中位线可得出与所成角为，解直角三角形即可判断B，建立空间直角坐标系利用向量法证明垂直即可判断C，利用向量法由异面直线所成角求出圆半径，再得出球半径即可判断D. 【详解】由球心为线段的中点，可知圆、圆的半径相同．设球的半径为， 圆与圆的半径为. 对于A，由题意，.因为，所以，解得（负值已舍去）. 所以，解得（负值已舍去），所以，故A错误. 对于B，因为，所以三点在同一平面内. 因为点分别为线段的中点，所以为的中位线，所以， 所以为与所成的角.因为，所以. 又，所以，所以，故B正确. 对于C，因为，所以以为原点，分别以，所在直线为轴、轴， 以圆中垂直于的直径所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 所以，所以，故C正确. 对于D，以为原点，以，所在直线分别为轴、轴， 以圆中垂直于的直径所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如上图， 则， 所以， 所以， 所以， 解得（负值已舍去）或（负值已舍去）. 当时，球的半径为，所以球的表面积； 当时，球的半径为，所以球的表面积，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：由于球的半径未知，直径与间的位置关系未知，本题解题关键在于借助空间向量可以化繁为简，充分体现了空间向量的工具作用. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$