精品解析：重庆市奉节县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

奉节县2024年春季八年级期末水平测试数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面都给出了四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1. 以下标志中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，，，相交于点O，若，则线段的长度等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形是　　　（ ） A. a=1.5 b=2 c=2.5 B. a：b：c=5：12：13 C. ∠A＋∠B=∠C D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 6. 如图，数轴上表示是某个不等式组的解集，则该不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，与相交于点F，若且是以线段为底边的等腰三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米的行驶费用少0.4元，当两种汽车的行驶费用均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求电动汽车平均每千米的行驶费用，设电动汽车平均每千米的行驶费用x元，则根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平分交于点D，，垂足为点C，若，则的长度为（ ） A. 4 B. C. D. 6 10. 已知一个分式（m为整数），对该分式的分母与分子分别加1，称为第一次操作，记为，对的分母与分子分别加1，称为第二次操作，记为，……通过实际操作，下列说法正确的有（ ） ①； ②若，则m的值为2； ③已知第四次操作后得到分式可以化为整数，则m的值共有6个， A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11. 当_________时，分式的值为0． 12. 如果一个正多边形的内角和等于，那么该正多边形的边数是__________． 13. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，交于点E，若，则的长度为_________． 14. 如图，将周长为9的沿方向平移1个单位长度得到，则四边形的周长为_________。 15. 如图，在等腰中，，边的垂直平分线交于点F，交于点E，则的度数是_________度． 16. 两块大小一样的直角三角形如图放置，点B，C，D在同一直线上，且于点C，将绕点C按逆时针方向旋转，当点E恰好落在上时，的度数为_________度． 17. 若关于x不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为____________。 18. 若一个四位数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且满足：，十位数字与个位数字的平方差恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则称这个四位数M为“最美巧合数”． 例如：，，∴是“最美巧合数”，又如：，，∴不是“最美巧合数”．判断____________“最美巧合数”（填“是”或“不是”）．记，，若为整数，能被3整除，则满足条件的所有M中最小的值为____________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19. 计算 （1）分解因式： （2）解不等式组 20. 先化简，再从，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值。 21. 如图，在中，对角线相交于点O，过点O任作一条直线分别交于点F，E． （1）求证：； （2）若，四边形的周长为20，，，求的长． 22. 小语同学在学习平行四边形后发现，在平行四边形中很容易构造一个新的平行四边形．如图，四边形是平行四边形，平分交于点E．小语的探究如下： （1）尺规作图：作的角平分线交于点F（只保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ① ， ∴， ∴ ② ， 同理可证得， ∴ ③ ， ∴， 即 ④ ， ∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 23. 某村决定对村里的部分道路进行整改，以促进全村经济发展，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修40米，且甲工程队修640米所用的天数是乙工程队修480米所用的天数． （1）甲、乙两个工程队每天各修路多少米？ （2）现计划再修建长度为2400米的道路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲工程队每天所需费用为2.4万元，乙工程队每天所需费用为1.5万元，在总费用不超过33.6万元的情况下，最多安排甲工程队施工多少天？ 24. 如图，在中，，点P从点B出发，沿折线运动，当点P到达点A时停止运动，设点P在运动过程中，其运动路程为x，的面积为y（）， （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时，x值． 25. 如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，， （1）求直线的解析式； （2）点P为y轴上一动点，若有，请求出点P的坐标； （3）如图2，将直线向下平移（）个单位长度得到直线，直线与x轴交于点E，连接，平面内存在点M，使得，请直接写出直线与x轴的交点坐标． 26. 已知是等边三角形。 （1）如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，交线段BC于点E，若，求线段的长； （2）如图2，将线段绕点A顺时针旋转α（）得到线段，连接，若的角平分线交线段的延长线于点M，连接，求证：； （3）如图3，以线段为斜边向线段右侧作等腰直角，若点P为内部一点，连接，并将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，若，当最大时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 奉节县2024年春季八年级期末水平测试数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面都给出了四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1. 以下标志中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此作答即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项符合题意； B．是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，即不等式的两边同时加或减同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变；熟练掌握知识点是解题的关键．根据不等式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A选项错误； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项错误； ∴，故D选项错误； 故选：B． 3. 下列因式分解中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查因式分解，掌握因式分解的定义及因式分解的方法是解题的关键．将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，也叫因式分解，根据定义解答． 【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、不是因式分解，故本选项不符合题意； C、是因式分解，故本选项符合题意； D、因式分解错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在四边形中，，，相交于点O，若，则线段的长度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出四边形是平行四边形是解题关键．根据在四边形中，，，得出四边形是平行四边形，然后即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴． 故选：B． 5. 下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是　　　（ ） A. a=1.5 b=2 c=2.5 B. a：b：c=5：12：13 C. ∠A＋∠B=∠C D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 【答案】D 【解析】 【详解】A. a2+b2=1.52+22=2.52=c2，所以能判断△ABC是直角三角形，故不符合题意； B. a：b：c=5：12：13，52+122=132，所以能判断△ABC是直角三角形，故不符合题意； C. ∠A＋∠B=∠C ，∠A＋∠B+∠C =180°，所以∠C=90°，△ABC是直角三角形，故不符合题意； D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5，3+4≠5，所以△ABC表示直角三角形，故符合题意， 故选D. 6. 如图，数轴上表示的是某个不等式组的解集，则该不等式组的解集是（ ） A B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴上表示解集的公共部分和端点是实心还是空心可得该不等式组的解集． 【详解】解：由图可知，该不等式组的解集为， 故答案：C． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，与相交于点F，若且是以线段为底边的等腰三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，求得旋转角是解答的关键．由旋转性质得，，根据等腰三角形的性质，再利用三角形的内角和定理求得即可求解． 【详解】解：由旋转性质得，， ∵是以线段为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 已知电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米的行驶费用少0.4元，当两种汽车的行驶费用均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求电动汽车平均每千米的行驶费用，设电动汽车平均每千米的行驶费用x元，则根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用． 设电动汽车平均每千米的行驶费用x元，则燃油车平均每千米的行驶费用为元，当行驶费用为300元时，电动汽车可行驶的总里程为千米，燃油车可行驶的总里程为，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍”即可列出方程． 【详解】设电动汽车平均每千米的行驶费用x元，则燃油车平均每千米的行驶费用为元，根据题意，得 ． 故选：D 9. 如图，平分交于点D，，垂足为点C，若，则的长度为（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．过点E作于点H，根据角平分线的性质可得，再根据平行线的性质可得的度数，再根据含角的直角三角形的性质可得的长度，再证明，即可求出的长． 【详解】解：过点E作于点H，如图所示： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 已知一个分式（m为整数），对该分式的分母与分子分别加1，称为第一次操作，记为，对的分母与分子分别加1，称为第二次操作，记为，……通过实际操作，下列说法正确的有（ ） ①； ②若，则m的值为2； ③已知第四次操作后得到的分式可以化为整数，则m的值共有6个， A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，解分式方程． ①按照定义即可得解；②按照定义得到分式方程，即可求解；③根据定义得出第四次操作后的分式，再化简成一个整式与一个分式的和，得出是整数，即可得出答案． 【详解】解：①根据定义可得：，故①正确； ②由题意得，解得，经检验：是方程的解，故②正确； ③根据定义可得：， ∵第四次操作后得到的分式可以化为整数， ∴是整数， ∵m为整数， ∴可以取，，，， ∴m可以取17，，，，3，，，八个整数，故③不正确． 综上，①②正确， 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11. 当_________时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如果一个正多边形的内角和等于，那么该正多边形的边数是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：． 根据正多边形的内角和定义列方程即可求出多边形的边数． 【详解】解：多边形内角和， ， 故答案为：6． 13. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，交于点E，若，则的长度为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，如图所示，取中点F，连接，可证明是的中位线，得到，再证明，则可得点E与点F重合，则． 【详解】解：如图所示，取中点F，连接， ∵在平行四边形中，对角线相交于点O， ∴为的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴由平行线的唯一性可得与重合， ∴点E与点F重合， ∴， 故答案为：8． 14. 如图，将周长为9的沿方向平移1个单位长度得到，则四边形的周长为_________。 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，抓住平移后对应线段相等是解题的关键．利用平移的性质求解即可． 【详解】解：∵沿方向平移1个单位得到， ∴， ∴四边形的周长的周长． 故答案为：11． 15. 如图，在等腰中，，边的垂直平分线交于点F，交于点E，则的度数是_________度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．结合条件可得到，求出，即可求得结论． 【详解】解：∵为的垂直平分线， ∴， 又，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60． 16. 两块大小一样的直角三角形如图放置，点B，C，D在同一直线上，且于点C，将绕点C按逆时针方向旋转，当点E恰好落在上时，的度数为_________度． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质，本题关键是得到等边三角形．根据旋转性质及直角三角形两锐角互余，可得是等边三角形，从而得出的度数，进而得出的度数． 【详解】解：根据题意和旋转性质可得：， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：30． 17. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为____________。 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组）、解分式方程，先解每个不等式和分式方程，再根据已知不等式组的解集和分式的解得到关于a的取值范围，然后得到a的整数解，进而可求解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的解无解， ∴，则； 解分式方程得， 解得， ∵该分式方程有正整数解， ∴，即，a为偶数， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数a的值为，，0，2，4， 它们的和为． 故答案为：． 18. 若一个四位数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且满足：，十位数字与个位数字的平方差恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则称这个四位数M为“最美巧合数”． 例如：，，∴是“最美巧合数”，又如：，，∴不是“最美巧合数”．判断____________“最美巧合数”（填“是”或“不是”）．记，，若为整数，能被3整除，则满足条件的所有M中最小的值为____________． 【答案】 ①. 是 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义即可判断8091是否是“最美巧合数”；根据且为整数，可得或；当时，则，进而得到一定能被12整除，要满足M最小，则a要最小，据此从小到大讨论a的值，从而确定b的值，进而确定c、d的值即可． 【详解】解：∵， ∴8091是“最美巧合数”； ∵且为整数， ∴或； 当时，则， ∵能被3整除， ∴一定能被12整除， ∵要满足M最小， ∴a要最小， 当时，， ∴此时，则， ∴要满足M最小，则c要最小， ∴， ∴满足题意所有M中最小的值为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19. 计算 （1）分解因式： （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元一次不等式组： （1）先提取公因数3，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 20. 先化简，再从，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值。 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算顺序，先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，时，． 21. 如图，中，对角线相交于点O，过点O任作一条直线分别交于点F，E． （1）求证：； （2）若，四边形的周长为20，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握平行四边形的性质是解答的关键． （1）证明即可证得结论； （2）先根据全等三角形的性质得到，结合已知求得，进而得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：在中，，，，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形的周长为20，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 22. 小语同学在学习平行四边形后发现，在平行四边形中很容易构造一个新的平行四边形．如图，四边形是平行四边形，平分交于点E．小语的探究如下： （1）尺规作图：作的角平分线交于点F（只保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ① ， ∴， ∴ ② ， 同理可证得， ∴ ③ ， ∴， 即 ④ ， ∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，角平分线的尺规作图，等角对等边： （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质与判定条件，结合已给推理过程证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证得， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 23. 某村决定对村里的部分道路进行整改，以促进全村经济发展，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修40米，且甲工程队修640米所用的天数是乙工程队修480米所用的天数． （1）甲、乙两个工程队每天各修路多少米？ （2）现计划再修建长度为2400米的道路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲工程队每天所需费用为2.4万元，乙工程队每天所需费用为1.5万元，在总费用不超过33.6万元的情况下，最多安排甲工程队施工多少天？ 【答案】（1）甲工程队每天修路160米，则乙工程队每天修路120米； （2）最多安排甲工程队施工9天． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设甲工程队每天修路x米，则乙工程队每天修路米，根据题意列方程求解即可； （2）设安排甲工程队施工y天，则乙工程队施工天，根据题意，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲工程队每天修路x米，则乙工程队每天修路米， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， ， 答：甲工程队每天修路160米，则乙工程队每天修路120米； 【小问2详解】 解：设安排甲工程队施工y天，则乙工程队施工天， 根据题意，得， 解得， 答，最多安排甲工程队施工9天． 24. 如图，在中，，点P从点B出发，沿折线运动，当点P到达点A时停止运动，设点P在运动过程中，其运动路程为x，的面积为y（）， （1）直接写出y关于x函数关系式，并注明x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时，x的值． 【答案】（1） （2）图见解析，性质见解析 （3）当时x的值为或8 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，画一次函数图象，动点问题的函数图象，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的性质． （1）分两种情况：当点在上时，当点在上时，分别画出图形求出函数解析式即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，进而写出对应的函数图象性质即可； （3）根据函数图象，结合函数解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：当点在上时，如图所示： ； 当点在上时，如图所示： ； 综上所述，； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，当时，y有最大值12；当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】 解：时， 当时，， 当时，； ∴当时x的值为或8． 25. 如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，， （1）求直线的解析式； （2）点P为y轴上一动点，若有，请求出点P的坐标； （3）如图2，将直线向下平移（）个单位长度得到直线，直线与x轴交于点E，连接，平面内存在点M，使得，请直接写出直线与x轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理、含角的直角三角形的特征、一次函数图象的平移，熟练掌握相关知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）当时，得，进而可得，进而可得，再将代入即可求解； （2）联立方程组，解得，得出，进而求出，根据可求解； （3）分两种情况：当时，；当点M在直线上方时，分别根据一次函数性质结合图象可求解； 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， ， ， ， ， 将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：． 【小问2详解】 联立方程组：， 解得：， ∴， ， ∴， 函数，当时，， ∴或． 【小问3详解】 直线向下平移（）个单位长度得到直线， 直线， 当时，，设与x轴交于点N，如图： ， ， ； 当点M在直线上方时，设与x轴交于点，如图， 直线，当时，， ， 取中点G，连接，在中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在上截取，作轴于点K，作交延长线于点J， 在中， 设直线表达式为，将点B、I坐标代入， 则， 解得：， 直线表达式为， 当时，， 综上所述，直线与轴的交点坐标为或． 26. 已知是等边三角形。 （1）如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，交线段BC于点E，若，求线段的长； （2）如图2，将线段绕点A顺时针旋转α（）得到线段，连接，若的角平分线交线段的延长线于点M，连接，求证：； （3）如图3，以线段为斜边向线段右侧作等腰直角，若点P为内部一点，连接，并将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，若，当最大时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作于点F，则，，，则，在中，由勾股定理得，则，故由即可求解； （2）在延长线上截取，连接， 可得，，再证明， 得到，，故由三角形内角和定理可得，则，再证明，则，故是等边三角形，那么，由于，故； （3）以为斜边作等腰，连接，以为邻边构造平行四边形，连接，先证明，则，，，根据角度推导可得为等腰直角三角形，而，由勾股定理求得，同上可求，，由，当点P、D、G三点共线时，取得最大值，则点M在上，由题意得，，，故，在中，由勾股定理得，． 【小问1详解】 解：过点E作于点F， ∵时等边三角形， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴ 【小问2详解】 证明：在延长线上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：以为斜边作等腰，连接，以为邻边构造平行四边形，连接， ∴，， ∵等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，而， ∴由勾股定理得，， 解得，， ∴， 在等腰中，， 同上可求，， ∵， 当点P、D、G三点共线时，取得最大值，则点M在上，如图， 由题意得，，而， ∴， ∴在中，由勾股定理得，． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的三边关系求最值，勾股定理解三角形，熟练掌握知识点，构造全等，平行四边形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$