精品解析：辽宁省沈阳市于洪区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

于洪区2023-2024学年度下学期期末学业水平测试 八年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则的值为（　　） A. 1 B. C. 0 D. 4. 正六边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式中，不能因式分解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为等边三角形，点在边上，，将绕点逆时针旋转得到，则旋转角为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形的对角线，相交于点，，，下列说法错误的是（ ） A. 若，则四边形是菱形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 10. 如图，在中，，以点C为圆心，以长为半径作弧，交边于点，再分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线交边于点D，点E是的中点，且，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：a3－a=______． 12. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为______． 13. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是______． 14. 如图，在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长为______． 15. 如图，将正方形纸片对折，使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在正方形内部，并使折痕经过点B，得到折痕，延长交边于点N，若，，则的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）因式分解：； （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 17 先化简，再求值：，其中． 18. 为提升学生的身体素质，培养体育运动能力，某中学计划利用每日的“阳光大课间”开展跳绳活动，并准备采购一批跳绳供学生使用．已知A款可计数跳绳每根28元，B款普通跳绳每根15元，学校准备采购这两款跳绳共100根，且购买的总费用不超过2000元，最多可以购买A款可计数跳绳多少根？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出将向左平移4个单位后得到图形； （2）画出将绕点C按逆时针方向旋转后得到的图形，并直接写出四边形的形状； （3）在平面内有一点D，当以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标． 20. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两线相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 21. 近些年，中国汽车制造业蓬勃发展，国产新能源汽车已经成为全民关注的焦点．小明家打算购置一辆新车用于全家日常出行，但是面对众多品牌和车型，如何选择呢？选择传统燃油汽车还是新能源汽车呢？小明选择了两款万万元区间的燃油车和新能源汽车各一辆做对比研究，假设车辆使用年的总费用购车费用购置税保养费用耗能费用（油费或电费）预计年后的车价，具体数据如下表所示： 车辆类型 购车费用 购置税 年均保养费用 预计年后的车价 款燃油车 万元 元 元/年 万元 款新能源汽车 万元 元 元/年 万元 此外，款燃油车每公里的油费比款新能源汽车每公里的电费多元．当油费和电费均为元时，款新能源汽车的行驶路程是款燃油车行驶路程的倍． （1）款燃油车每公里的油费与款新能源汽车每公里的电费分别是多少元？ （2）设平均每年的行驶路程为公里，使用款燃油车年的总费用为元，使用款新能源汽车年的总费用为元，请分别写出，与之间的关系式，并说明怎样选择更划算． 22. 在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，过点A的直线与边相交于点，连接，点P为线段上的一个动点，点Q与点B关于点P成中心对称，设点P的横坐标为m． （1）求线段所在直线的函数表达式； （2）①点Q的坐标为______（用含m的代数式表示）； ②当点Q在的内部运动时（不包括边界），求m的取值范围； （3）取的中点M，的中点N，连接，，在点P运动的过程中，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若改变，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 于洪区2023-2024学年度下学期期末学业水平测试 八年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．据此逐一判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据，利用不等式的性质，逐项判断即可．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．∵， 设，， 则， ∴原不等式不一定成立，故此选项符合题意； B．∵， ∴，故此选项不符合题意； C．∵， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 若分式的值为0，则的值为（　　） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件为：分子等于零，分母不等于零，根据分式值为零的条件列式计算即可得出答案． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得：， 故选：B． 4. 正六边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和是．根据任何多边形的外角和是即可求出答案． 【详解】解：∵任意一个多边形的外角和都是， ∴正六边形的外角和为． 故选：C． 5. 下列多项式中，不能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式等，熟记公式，掌握因式分解的结构特征是解答的关键．根据平方差公式、提公因式法、完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：A．，能因式分解，不符合题意； B．，能因式分解，不符合题意； C．，不能因式分解，符合题意； D．，能因式分解，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移与坐标，根据对应点的坐标确定平移方式即可求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，，将线段平移至的位置，点的坐标为， ∴平移方式为：向左平移4个单位长度，向下平移个单位长度， ∴的坐标为． 故选：D． 7. 如图，为等边三角形，点在边上，，将绕点逆时针旋转得到，则旋转角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．由经旋转后到达的位置，而，根据旋转的性质得到等于旋转角．掌握旋转的性质是解题的关键，也考查了等边三角形的性质． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵经旋转后到达的位置， ∴等于旋转角，即旋转角等于． 故选：D． 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答． 详解】解：由题意得：， 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键． 9. 如图，四边形的对角线，相交于点，，，下列说法错误的是（ ） A. 若，则四边形是菱形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， A、若则四边形是菱形， 故此选项不符合题意； B、若，则四边形是矩形，故此选项不符合题意； C、若且，则四边形是正方形，故此选项不符合题意； D、若且，则四边形是菱形，故此选项符合题意； 故选∶ D． 10. 如图，在中，，以点C为圆心，以长为半径作弧，交边于点，再分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线交边于点D，点E是的中点，且，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，由作图知，根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上中线求出即可． 【详解】解∶连接， 由作图知：， ∵， ∴， ∵，点E是AB的中点， ∴ 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 12. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式关系，由直线过点即可求得，观察函数图像得到当时，函数的图像都在的图象下方，据此可得结论．解题的关键是理解：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）的自变量的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：∵直线过点， ∴， ∴， ∴， 由函数图像得：当时，， 即关于的不等式的解集为． 故答案为：． 13. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．先去分母，根据分式方程有增根，求出x，再代入整式方程求出m． 【详解】解∶去分母得∶， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 把代入，得， 解得 故答案为∶． 14. 如图，在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长至点，使，连接，过点作于，根据题意得到，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，过点作于， ∵是边的中点， ∴， ∵平分的周长， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，等边对等角，等腰三角形三线合一性质，角的直角三角形，勾股定理，三角形外角的性质等知识点．掌握的关键是熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 15. 如图，将正方形纸片对折，使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在正方形内部，并使折痕经过点B，得到折痕，延长交边于点N，若，，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】如图，当在的上方时，由正方形与折叠可得：，，，，证明，，设，当在的下方时，如图，再进一步结合勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，当在的上方时， 由正方形与折叠可得：，，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：，即， 当在的下方时，如图， 同理可得：， 解得：，即， 综上：为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）因式分解：； （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是： （1）先提取公因式y，然后利用完全平方公式因式分解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算分式的除法，再计算分式的加法，最后将代入化简后的式子计算即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 为提升学生的身体素质，培养体育运动能力，某中学计划利用每日的“阳光大课间”开展跳绳活动，并准备采购一批跳绳供学生使用．已知A款可计数跳绳每根28元，B款普通跳绳每根15元，学校准备采购这两款跳绳共100根，且购买的总费用不超过2000元，最多可以购买A款可计数跳绳多少根？ 【答案】最多可以购买A款可计数跳绳38根 【解析】 【分析】本题考查了不等式的应用，设购买A款可计数跳绳x根，根据“购买的总费用不超过2000元”列不等式求解即可． 【详解】解：设购买A款可计数跳绳x根， 根据题意，得， 解得， ∴最大整数x为38， 答：最多可以购买A款可计数跳绳38根． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出将向左平移4个单位后得到的图形； （2）画出将绕点C按逆时针方向旋转后得到的图形，并直接写出四边形的形状； （3）在平面内有一点D，当以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，四边形是平行四边形 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的判定与性质，中心对称等知识，解题的关键是∶ （1）根据平移规则，确定的位置，再进行连线即可得到；（2）根据成中心对称的性质，画出，然后根据中心对称的性质、平行四边形的判定即可得出结论；（3）分①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线，三种情况讨论，然后利用平行四边形的性质，中点坐标公式求解即可． 【小问1详解】 解∶如图， 即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， ∵将绕点C按逆时针方向旋转后得到的图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：设， ①以，为对角线， 则， 解得， ∴； ②以，为对角线， 则， 解得， ∴； ③以，为对角线， 则， 解得， ∴ 综上，D的坐标为或或． 20. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两线相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）先证明是矩形，然后利用矩形的性质可得出，最后利用菱形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理求出，利用等积法求出，然后利用面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明∶∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过A作于E， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 21. 近些年，中国汽车制造业蓬勃发展，国产新能源汽车已经成为全民关注的焦点．小明家打算购置一辆新车用于全家日常出行，但是面对众多品牌和车型，如何选择呢？选择传统燃油汽车还是新能源汽车呢？小明选择了两款万万元区间的燃油车和新能源汽车各一辆做对比研究，假设车辆使用年的总费用购车费用购置税保养费用耗能费用（油费或电费）预计年后的车价，具体数据如下表所示： 车辆类型 购车费用 购置税 年均保养费用 预计年后的车价 款燃油车 万元 元 元/年 万元 款新能源汽车 万元 元 元/年 万元 此外，款燃油车每公里的油费比款新能源汽车每公里的电费多元．当油费和电费均为元时，款新能源汽车的行驶路程是款燃油车行驶路程的倍． （1）款燃油车每公里的油费与款新能源汽车每公里的电费分别是多少元？ （2）设平均每年的行驶路程为公里，使用款燃油车年的总费用为元，使用款新能源汽车年的总费用为元，请分别写出，与之间的关系式，并说明怎样选择更划算． 【答案】（1）款燃油车每公里油费为元，款新能源车每公里电费为元 （2）当平均每年行驶路程少于公里时，选择款燃油车更划算；当平均每年的行驶路程等于公里时，选择款燃油车和款新能源车一样划算；当平均每年的行驶路程大于公里时，选择款新能源车更划算 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用， （1）依据题意，设款燃油车每公里油费为元，则款新能源车每公里电费元，根据“当油费和电费均为元时，款新能源汽车的行驶路程是款燃油车行驶路程的倍”列分式方程并求解即可； （2）依据题意，根据总费用的公式分别写出和关于的表达式，分别求出当、、时对应的的取值范围即可； 掌握分式方程和一元一次不等式的解法是本题的关键． 【小问1详解】 解：设款燃油车每公里油费为元，则款新能源车每公里电费元， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是所列分式方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款燃油车每公里油费为元，款新能源车每公里电费为元； 【小问2详解】 根据题意，得： ，， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：， ∴当平均每年的行驶路程少于公里时，选择款燃油车更划算；当平均每年的行驶路程等于公里时，选择燃油车和款新能源车一样划算；当平均每年的行驶路程大于公里时，选择款新能源车更划算． 22. 在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，，，结合正方形的性质可得，然后利用证明，得出，即可得出结论； （2）过作，交于M，，交于N，证明平行四边形是菱形，得出，证明，得出，则可求出，即可求解； （3）过作于H，设，利用含的直角三角形的性质求出，在和中，利用勾股定理可得出，即可得出关于x的方程，然后求出x的值，最后利用（2）中的求解即可． 【详解】解：（1）连接， ∵， ∴菱形、都是正方形， ∴，，，， ∵， ∴是中点， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （2）过作，交于M，，交于N， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （3）过作于H， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ 解得或3， ∴或3， 又，， ∴或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、直角三角形是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，过点A的直线与边相交于点，连接，点P为线段上的一个动点，点Q与点B关于点P成中心对称，设点P的横坐标为m． （1）求线段所在直线的函数表达式； （2）①点Q的坐标为______（用含m的代数式表示）； ②当点Q在的内部运动时（不包括边界），求m的取值范围； （3）取的中点M，的中点N，连接，，在点P运动的过程中，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若改变，请说明理由． 【答案】（1） （2）①② （3）的面积不变， 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质推出，再用待定系数法求函数表达式即可； （2）①先求直线表达式，根据中心对称可求Q坐标；②利用边界值计算即可，当Q在边上时求m的值，当Q在边上时求m的值，即可得出m的范围； （3）的面积是否发生变化可以看底和高是否变化，其中底是是定值，因为Q所在直线与平行，根据平行线之间是等距的，所以高是定值，所以面积不发生变化，再根据题干条件求出高即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设直线函数表达式为：，将D，E代入可得出： ， 解得∶ ∴直线的函数表达式为． 【小问2详解】 ①设解析式为，将、坐标代入得 ， 解得： ∴解析式为， ∵P在线段上，P的横坐标为m， ∴， ∵B、Q关于点P中心对称， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： ②当Q边上时，此时，即， ∴， 当Q在边上时，此时点Q在直线上， ∴， 解得， ∵不包含边界， ∴ 【小问3详解】 的面积不变，的面积为6． 理由如下： ∵，， ∴， ∵M是中点，N是中点， ∴， ∴， ．∵， ∴点Q所在直线l的解析式为：， 设l与x轴交于点K，则， ∴， 由(2)知解析式为：， ∴， 过A作于点G，作于点H，则四边形是矩形， 由题易知，为等腰直角三角形， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、求一次函数的交点坐标、平行四边形的性质以及两点之间的距离，中心对称等等基础知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$