精品解析：重庆市主城四区（九龙坡区、大渡口区、渝中区、北碚区）2023-2024学年高二下学期期末高中学生学业质量调研测试数学试题

2023—2024学年度（下期）高中学生学业质量调研测试 高二数学试题 （全卷共6页，考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，再根据补集和交集的含义即可得到答案. 【详解】，， 则. 故选：C. 2. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为（ ） A. 80 B. C. 40 D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助二项式系数和公式可得，借助二项式的展开式的通项公式计算即可得含项的系数. 【详解】由题意可得，即， 则对有， 故，即展开式中含项的系数为. 故选： B. 3. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定为真命题，利用判别式即可求解. 【详解】由于“，”为假命题， 故其否定为“，”为真命题，则，得， 故选：D 4. 某次高二质量抽测中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有10000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是（　　） 附：若，则， A. 第228名 B. 第455名 C. 第1587名 D. 第3173名 【答案】A 【解析】 【分析】借助正态分布定义及正态曲线的性质计算可得，即可得解. 【详解】由，，， 则，故， ， 故小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是第228名. 故选：A. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】借助充分条件与必要条件定义，分别假设成立或成立去推导另一个是否成立即可得. 【详解】当时，， 当时，即，即， 则有或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 6. 阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（ ） A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意设出天平的两臂长，利用杠杆原理，即可解出． 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， ，， ，， 故选：A． 7. 春节期间，《第二十条》、《热辣滚烫》和《飞驰人生2》三部电影引爆了电影市场．某班有四名同学都要观看电影并且每人只能选择这三部中的一部电影观看，如果他们中有同学选择观看《第二十条》，则这四名同学不同的观影情况种数为（ ） A. 32 B. 57 C. 64 D. 65 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出所有情况数，再利用正难则反的思想，求出四人只看其中两部电影《热辣滚烫》和《飞驰人生2》的情况数，作差即可. 【详解】四人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有种. 四人只看其中两部电影《热辣滚烫》和《飞驰人生2》，每人只看一部电影， 则不同的选择共有种. 则这四名同学不同的观影情况种数为， 故选：D. 8. 若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为有三个交点，构造，利用导数求解函数的单调性，即可结合函数图象求解. 【详解】由可得， 记，则， 当或时，，当时，，故 在上单调递减，在上单调递增， 故在取得极小值，，在处取得极大值，， 而时，恒有成立， 方程恰有三个不相等的实根，即曲线与直线恰有三个不相等的交点， 与直线图象如下， 由图知，当时，曲线与直线恰有三个不相等的实根； 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，令可计算出的值；对于B，令结合的结果可计算出的值；对于C，根据二项展开式的通项公式即可计算出的值；对于D，令计算出的值，令计算出的值即可. 详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则， 所以，故B错误； 对于C，二项式展开式的通项公式为， 所以，故C错误； 对于D，令，则， 所以 ， 故D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性更强 B. 若关于的经验回归方程为，则样本点的残差为 C. 已知随机变量服从二项分布，若，则 D. 已知随机变量，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助样本相关系数性质比较其绝对值即可得；对B：计算实际值与预测值之差即可得；对C：借助二项分布的期望公式与期望的性质计算即可得；对D：借助正太分布的方差与方差的性质计算即可得. 【详解】对A：由，故组数据比组数据的相关性更强，故A正确； 对B：当时，，有， 故样本点的残差为，故B错误； 对C：由，则，故，故C正确； 对D：由，，则有，故，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解A，利用指对数之间的运算，可得和，即可结合不等式求解BCD. 【详解】由于，，若，则，不可能满足， 故，则 对于A, ，当且仅当，即取等号，由于不满足，故等号取不到，即，A错误， 对于B，由于（由于不满足，故等号取不到），因此，B正确， 对于C，由，可得，故，因此，由于，故等号取不到，即,C正确， 对于D， 由，可得，故（由于不可能成立，故等号取不到），因此，故， 由选项B可知，则，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：由，可得，，结合基本不等式求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用求导法则求导，即可代入求解. 【详解】由得，所以， 故答案为：1 13. 某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在4道四选一的单选题中，有3道有思路，有1道完全没有思路，有思路的题每道做对的概率均为，没有思路的题只好任意猜一个答案．若从这4道题中任选2题作答，则该同学2道题都做对的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式，再分两个题目都有思路和一个有思路一个没有思路讨论即可求解. 【详解】设事件A表示“两道题全做对”， 若两个题目都有思路，则； 若两个题目中一个有思路一个没有思路，则； 故. 故答案为：. 14. 哈希算法是一种特殊的函数，也是一种加密技术．已知p-hashing是最简单的哈希算法之一，它把一个较大数字的每一位改成它除以素数所得到的余数．例如：对于数字752196进行2-hashing得到的哈希值为110110，那么对于数字752196进行3-hashing得到的哈希值为________；现对一个正整数进行3-hashing后得到哈希值为120021，则这样的正整数共有________个．（用数字作答） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】借助定义计算每一位除以的余数即可得空一；计算除以的余数为、、的一位正整数的个数，结合组合数公式进行计算即可得空二. 【详解】由除以的余数为，除以的余数为，除以的余数为， 除以的余数为，除以的余数为，除以的余数为， 可知数字752196进行3-hashing得到的哈希值为； 除以的余数为的正整数可能为、、、， 除以的余数为的正整数可能为、、， 除以的余数为的正整数可能为、、， 则对一个正整数进行3-hashing后得到哈希值为120021， 则这样的正整数共有个. 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，．若在处与直线相切． （1）求的值； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得，得到，且，根据题意，列出方程组，即可求解. （2）由（1）得到，求得函数的单调性和极大值，进而求得函数的最大值，得到答案. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 可得，且， 因为曲线在处与直线相切， 可得，解得. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得其定义域为 且， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，也是最大值. 16. 喝酒不开车，开车不喝酒．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在（含80）以上认定为醉酒驾车．某地统计近年来查处的醉酒驾车共200人，这200人血液酒精浓度检测结果按，，⋯⋯，分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求这200人血液酒精浓度的平均值（同一组数据用该区间中点值作为代表）； （2）求这200人中血液酒精浓度在人数； （3）按比例分配分层随机抽样的方法，在酒精浓度为和人员中随机抽取16人集中学习．现从这16人中抽取4人检查学习效果，求抽到的人员恰有3人酒精浓度为的概率． 【答案】（1）116mg/100mL （2）50人 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图求出数据的平均值即可; （2）根据频率=,计算所求的频数即可; （3）借助组合数公式和古典概型的计算公式求解. 【小问1详解】 设第一组纵坐标为a，则，则， 这200人血液酒精浓度的平均值约为. 【小问2详解】 这200人中血液酒精浓度在的人数为人. 【小问3详解】 在酒精浓度为和人员中分别有人， 人. 设从这16人中抽取4人检查学习效果，抽到人员恰有3人酒精浓度为为事件A， . 17. 从石墨中通过化学气相沉积法分离出石墨烯，升华后附着在材料上再结晶制成石墨烯发热膜．石墨烯发热膜轻薄、保暖，广泛应用于冬装衣服．现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨烯各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图． （1）根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关； 材料 材料 合计 试验成功（单位：次） 试验失败（单位：次） 合计 （2）研究人员得到石墨烯后．再制作石墨烯发热膜有三个环节：环节一透明基底及UV胶层；环节二石墨烯层；环节三表面封装层．第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为0.4万元，其余环节修复费用均为0.2万元． ①记生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元，求的分布列及数学期望；（最后结果保留一位小数） ②试问如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关 （2）①分布列见解析，；②万元/吨 【解析】 【分析】（1）由题中数据列出列联表，计算卡方后即可判断； （2）①分析的取值后，由概率的乘法公式计算，得出分布列后即可得数学期望；②计算固定成本、预期利润与修复费用期望之和即可确定售价. 【小问1详解】 列联表如下： 材料 材料 合计 试验成功（单位：次） 80 60 140 试验失败（单位：次） 20 40 60 合计 100 100 200 零假设为：试验结果与材料无关， 则， 依据的独立性检验，推断不成立，即认为试验结果与材料有关； 【小问2详解】 ①的可能取值为，，，，， ， ， ， ， ， 则的分布列为： ； ②，故定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标. 18. 为促进农村经济发展，鼓励土地承包规划管理．已知土地的使用面积与相应规划管理时间具有线性相关关系，随机调查某村20户村民，经计算得到如下一些统计量的值： ，，，． （1）求关于的经验回归方程； （2）调查发现，家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立．只要有一方不同意参与规划管理，则该家庭就决定不参与规划管理．若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，求其中至少2家有女士不同意参与规划管理的概率． 参考公式：对于一组数据，，⋯，，其经验回归方程斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先求出样本中心点，再结合公式计算得出回归方程即可; (2)先应用条件概率求出概率，再应用n次独立重复实验求出概率即得 【小问1详解】 , 所以. 【小问2详解】 家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立, 设不同意参与规划管理为事件A，设有女士不同意参与规划管理为事件B, , 若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，设其中至少2家有女士不同意参与规划管理为事件C． 19. 已知函数． （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，构造函数，借助导数求出其在上的最小值即可得； （2）由题意结合导数可得，，即可得， ，通过作差消去变量，得到，从而可得，再通过换元法令，得到函数，利用导数计算其单调性即可得解. 【小问1详解】 由题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，故，即； 【小问2详解】 ，令， 由函数有两个极值点， 则有两个变号零点， ， 当时，，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 又当时，，则， 故此时此时至多存在一个零点，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 有，则，故， 则有，， 则，即，同理， 则，故， 即， 由的最大值为，令，则有， 即，令，， 则 ， 令，， 则恒成立， 故在上单调递增，则， 则，故在上单调递增， 则. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于利用，，通过作差消去变量，得到，从而可得，再通过换元法令，从而将多变量问题转化为单变量问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度（下期）高中学生学业质量调研测试 高二数学试题 （全卷共6页，考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为（ ） A. 80 B. C. 40 D. 3. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 某次高二质量抽测中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有10000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是（　　） 附：若，则， A. 第228名 B. 第455名 C. 第1587名 D. 第3173名 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（ ） A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 无法确定 7. 春节期间，《第二十条》、《热辣滚烫》和《飞驰人生2》三部电影引爆了电影市场．某班有四名同学都要观看电影并且每人只能选择这三部中的一部电影观看，如果他们中有同学选择观看《第二十条》，则这四名同学不同的观影情况种数为（ ） A. 32 B. 57 C. 64 D. 65 8. 若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性更强 B. 若关于的经验回归方程为，则样本点的残差为 C. 已知随机变量服从二项分布，若，则 D. 已知随机变量，若，则 11. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 13. 某同学参加学校组织数学知识竞赛，在4道四选一的单选题中，有3道有思路，有1道完全没有思路，有思路的题每道做对的概率均为，没有思路的题只好任意猜一个答案．若从这4道题中任选2题作答，则该同学2道题都做对的概率为________． 14. 哈希算法是一种特殊的函数，也是一种加密技术．已知p-hashing是最简单的哈希算法之一，它把一个较大数字的每一位改成它除以素数所得到的余数．例如：对于数字752196进行2-hashing得到的哈希值为110110，那么对于数字752196进行3-hashing得到的哈希值为________；现对一个正整数进行3-hashing后得到哈希值为120021，则这样的正整数共有________个．（用数字作答） 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，．若在处与直线相切． （1）求的值； （2）求的最大值． 16. 喝酒不开车，开车不喝酒．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在（含80）以上认定为醉酒驾车．某地统计近年来查处的醉酒驾车共200人，这200人血液酒精浓度检测结果按，，⋯⋯，分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求这200人血液酒精浓度的平均值（同一组数据用该区间中点值作为代表）； （2）求这200人中血液酒精浓度在的人数； （3）按比例分配分层随机抽样的方法，在酒精浓度为和人员中随机抽取16人集中学习．现从这16人中抽取4人检查学习效果，求抽到的人员恰有3人酒精浓度为的概率． 17. 从石墨中通过化学气相沉积法分离出石墨烯，升华后附着在材料上再结晶制成石墨烯发热膜．石墨烯发热膜轻薄、保暖，广泛应用于冬装衣服．现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨烯各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图． （1）根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关； 材料 材料 合计 试验成功（单位：次） 试验失败（单位：次） 合计 （2）研究人员得到石墨烯后．再制作石墨烯发热膜有三个环节：环节一透明基底及UV胶层；环节二石墨烯层；环节三表面封装层．第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为0.4万元，其余环节修复费用均为0.2万元． ①记生产1吨石墨烯发热膜所需修复费用为万元，求的分布列及数学期望；（最后结果保留一位小数） ②试问如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元目标？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0001 2706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 为促进农村经济发展，鼓励土地承包规划管理．已知土地的使用面积与相应规划管理时间具有线性相关关系，随机调查某村20户村民，经计算得到如下一些统计量的值： ，，，． （1）求关于的经验回归方程； （2）调查发现，家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立．只要有一方不同意参与规划管理，则该家庭就决定不参与规划管理．若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，求其中至少2家有女士不同意参与规划管理的概率． 参考公式：对于一组数据，，⋯，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，． 19. 已知函数． （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$