精品解析：广东省阳江市阳西县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末质量检测试卷 八年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 1，1， D. 5，12，13 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，50，49，49，49．则这8人体育成绩的中位数、众数分别是（ ） A. 47 ，49 B. 48 ，50 C. 48.5 ，49 D. 49，48 5. 若一次函数y＝x+4的图象上有两点A(﹣，y1)、B(1，y2)，则下列说法正确的是( ) A. y1＞y2 B. y1≥y2 C. y1＜y2 D. y1≤y2 6. 在平行四边形ABCD中，下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. 当时，平行四边形ABCD是菱形 D. 当，平行四边形ABCD是矩形 7. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点（-1，1） B. 它的图象不经过第三象限 C. 当时， D. 的值随值的增大而增大 8. 八年级甲、乙两班学生在一次数学测试中，成绩的方差如下：，，则成绩较为稳定的是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 9. 如图，菱形的边长为，对角线相交于点O，且，则菱形的面积为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 4 10. 如图，在矩形中，点B的坐标是，则AC的长是（ ） A. 5 B. 7 C. 12 D. 13 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么__________． 12. 把一次函数的图像沿 轴向上平移个单位长度后，得到的新图像对应的函数解析式为_______． 13. 如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是CD的中点，连接OM，若OM=2，则BC的长是______________． 14. 在中，斜边，则______． 15. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x - 6上时，线段BC扫过的面积为_______ 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）计算：． （2）已知，求的值． 17. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，求钟摆的长度． 18. 年月日，神舟十七号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，神舟十七号发射取得圆满成功，极大地激发了学生们学习航空航天知识的热情.某学校在此背景下组织了一次“航空航天知识”系列活动.下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）． 知识竞赛 演讲比赛 手抄报 甲 乙 （1）如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明甲，乙两班谁将获胜； （2）如果将知识竞赛、演讲比赛、手抄报按的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，对角线 ，相交于点O，过点D作且，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 20. 抖音直播带货是目前非常盛行的销售方式，小徐为了推销家乡的水果“荔枝”和“龙眼”，在网上直播带货．小徐和她的团队，每天在家乡收购两种水果共600箱，且当天全部售出，进货成本、平台提成等成本，销售单价如表所示： 题号 进货成本（元/箱） 平台提成等成本（元/箱） 销售单价（元/箱） 荔枝 36 6 50 龙眼 28 7 41 设该团队每天进货“荔枝”x箱，每天获得的利润为y元． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若该团队每天投入总成本不超过元，应怎样安排“荔枝”和“龙眼”的进货量，可使该团队一天所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种水果的进货量． 21. 如图，直线l的解析式为，点，点B在y轴的正半轴上，直线与直线l交于点C，直线l与x轴交于点D，． （1）求点D的坐标； （2）求直线的解析式； （3）求的面积． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 你会用折纸的方式做出不同的角度吗？ 问题背景 素材一 长方形是我们熟悉的四边形，两组对边相等，四个角都是90度，因为这个特性我们可以折出很多漂亮的图形； 素材二 正方形也是我们熟悉的四边形，四条边相等，四个角都是90度，因为正方形比长方形还特殊，所以就能折出更漂亮的图形； 操作一 如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，把纸片展平，连接，，延长与交于点； 操作二 小明将长方形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照操作一中的方式操作，并延长与交于点，连接． 解决问题 任务一 在操作一中，的度数为______，的形状是______； 任务二 在操作二中，判断与的数量关系，并说明理由； 任务三 在操作二的探究中，若正方形的边长为，当点是边的三等分点时，求的长． 23. 综合运用 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A和B，点C从点A出发，沿方向以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动，同时点D从点O出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，设点C，D的运动时间是t秒（）．过点C作于点E，连接． （1）求和的长及的度数； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）当四边形为矩形时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期期末质量检测试卷 八年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数非负，解不等式即可完成． 【详解】由题意，，解得： 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式被开方数的非负性，不等式的解法．二次根式两个非负：被开方数非负，二次根式本身非负，解题时要注意这两个非负性． 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 1，1， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可． 【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，故不符合题意； B、，不符合勾股定理的逆定理，故不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，故不符合题意； D、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，逐个进行计算即可． 【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意； B、，故B计算正确，符合题意； C、，故C计算不正确，不符合题意； D、，故D计算不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 4. 在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，50，49，49，49．则这8人体育成绩的中位数、众数分别是（ ） A. 47 ，49 B. 48 ，50 C. 48.5 ，49 D. 49，48 【答案】C 【解析】 【分析】把一组数据从小到大排列，若数据个数为奇数，则最中间的数据为中位数，若数据个数为偶数，则最中间的两个数的平均数为中位数；一组数据中，出现次数最多的数是众数； 【详解】解：从小到大排列，得46，47，48，48， 49，49，49，50． 最中间两个数据平均数为，出现次数最多的数为49， ∴中位数是，众数是， 故选：C 【点睛】本题考查数据统计分析中位数、众数；理解定义是解题的关键． 5. 若一次函数y＝x+4的图象上有两点A(﹣，y1)、B(1，y2)，则下列说法正确的是( ) A. y1＞y2 B. y1≥y2 C. y1＜y2 D. y1≤y2 【答案】C 【解析】 【详解】∵k=1>0， ∴y随x的增大而增大， ∵<1， ∴y1＜y2． 故选C． 6. 在平行四边形ABCD中，下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. 当时，平行四边形ABCD是菱形 D. 当，平行四边形ABCD是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定逐项判断即可． 【详解】A. ，原选项正确，不符合题意； B. 平行四边形对角线不一定相等，原选项错误，符合题意； C. 当时，平行四边形ABCD是菱形，原选项正确，不符合题意； D. 当，平行四边形ABCD是矩形，原选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定，解题关键是熟记相关性质和判定，准确进行推理判断． 7. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点（-1，1） B. 它的图象不经过第三象限 C. 当时， D. 的值随 值的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】将x=-1代入一次函数解析式求出y值即可得出A错误；由一次函数解析式结合一次函数系数与图象的关系即可得出B正确；求出一次函数与x轴的交点即可得出C错误；由一次函数一次项系数k=-3＜0即可得出D不正确．此题得解． 【详解】A、令y=-3x+4中x=-1，则y=8， ∴该函数的图象不经过点（-1，1），即A错误； B、∵在y=-3x+4中k=-3＜0，b=4＞0， ∴该函数图象经过第一、二、四象限，即B正确； C、令y=-3x+4中y=0，则-3x+4=0，解得：x=， ∴该函数的图象与x轴的交点坐标为（，0）， ∴当x＜时，y＞0，故C错误； D、∵在y=-3x+4中k=-3＜0， ∴y的值随x的值的增大而减小，即D不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，熟悉一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 8. 八年级甲、乙两班学生在一次数学测试中，成绩的方差如下：，，则成绩较为稳定的是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用方差的意义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴＜， ∴成绩较为稳定的是乙班， 故选：B． 【点睛】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 9. 如图，菱形的边长为，对角线相交于点O，且，则菱形的面积为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，再由勾股定理得到，最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为，对角线相交于点O， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在矩形中，点B的坐标是，则AC的长是（ ） A. 5 B. 7 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求出 ，根据矩形的性质得出 ，即可得出答案； 【详解】解：连接，过作x轴于 ， ∵点的坐标是 ∴，由勾股定理得 ∵四边形是矩形 ∴ ∴ 故选D 【点晴】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出是解此题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键．把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，根据定义建立方程求解即可． 【详解】解： 最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：2． 12. 把一次函数的图像沿轴向上平移 个单位长度后，得到的新图像对应的函数解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可． 【详解】解：将一次函数的图像沿轴向上平移 个单位长度，所得图像对应的函数解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图像与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意：平移时的值不变，只有发生变化；平移的规律是：左加右减，上加下减．掌握平移的规律是解题的关键． 13. 如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是CD的中点，连接OM，若OM=2，则BC的长是______________． 【答案】4 【解析】 【分析】证明是的中位线即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 是中点， ， ∴是的中位线， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是根据平行四边形性质判断出是的中位线． 14. 在中，斜边，则______． 【答案】200 【解析】 【分析】根据勾股定理，可知两直角边的平方和与斜边平方相同，进而得出答案． 【详解】∵在中，斜边 ∴ ∴200 故答案为：200． 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是根据勾股定理，发现题干中． 15. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x - 6上时，线段BC扫过的面积为_______ 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意，线段 扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是 的长，底是点平移的路程．求当点落在直线上时的横坐标即可． 【详解】解：如图所示． 点、的坐标分别为、， ． ，， ∴由勾股定理可得：． ． 点在直线上， ，解得． 即． ． ． 即线段 扫过的面积为16． 故选：C． 【点睛】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段 扫过的面积应为一平行四边形的面积． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算与化简求值： （1）原式先把括号内的二次根式进行化简，然后再进行乘法运算即可； （2）原式先计算，再把变形为，然后再整体代入计算即可 【详解】解：（1） ． （2）由题意得， ． 17. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，求钟摆的长度． 【答案】 【解析】 【分析】设，表示出 的长，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】设，由题意得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 18. 年月日，神舟十七号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，神舟十七号发射取得圆满成功，极大地激发了学生们学习航空航天知识的热情.某学校在此背景下组织了一次“航空航天知识”系列活动.下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）． 知识竞赛 演讲比赛 手抄报 甲 乙 （1）如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明甲，乙两班谁将获胜； （2）如果将知识竞赛、演讲比赛、手抄报按的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜． 【答案】（1）甲班将获胜； （2）乙班将获胜． 【解析】 【分析】（）根据表格中的数据和平均数的计算方法即可解答； （）根据加权平均数的计算方法可以解答本题； 本题考查了算术平均数和加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法． 【小问1详解】 解：甲班的平均分为（分）， 乙班的平均分为（分）， ∵， ∴甲班将获胜； 【小问2详解】 解：甲班的平均分为（分）， 乙班的平均分为（分）， ∵， ∴乙班将获胜． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，对角线 ，相交于点O，过点D作且，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵且， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出平行四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出 是等边三角形，然后利用勾股定理得出，再利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴ 是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴， 即的长为． 20. 抖音直播带货是目前非常盛行的销售方式，小徐为了推销家乡的水果“荔枝”和“龙眼”，在网上直播带货．小徐和她的团队，每天在家乡收购两种水果共600箱，且当天全部售出，进货成本、平台提成等成本，销售单价如表所示： 题号 进货成本（元/箱） 平台提成等成本（元/箱） 销售单价（元/箱） 荔枝 36 6 50 龙眼 28 7 41 设该团队每天进货“荔枝”x箱，每天获得的利润为y元． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若该团队每天投入总成本不超过元，应怎样安排“荔枝”和“龙眼”的进货量，可使该团队一天所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种水果的进货量． 【答案】（1）； （2）“荔枝”每天进货箱，“龙眼”每天进货箱，可使该团队一天所获得的利润最大，最大利润元． 【解析】 【分析】（1）由题意得，−−−−−，整理求解即可； （2）由题意得，−，解得，，然后根据一次函数的性质求利润的最大值，以及两种水果的进货量即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴与 之间的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵该团队每天投入总成本不超过元， ∴， 解得：， ∵，， ∴随 的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 则， ∴“荔枝”每天进货箱，“龙眼”每天进货箱，可使该团队一天所获得的利润最大，最大利润元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式的应用等知识．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式． 21. 如图，直线l的解析式为，点，点B在y轴的正半轴上，直线 与直线l交于点C，直线l与x轴交于点D，． （1）求点D的坐标； （2）求直线 的解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）点D的坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了两直线相交的问题，待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，仔细观察图形，数学结合是解题的关键． （1）利用直线l：与x轴交于点D，令即可得到点D坐标． （2）直线 经过，，利用待定系数法即可得到直线 的函数解析式． （3）作轴，垂足为点M，则点M坐标为，求得点C的坐标，即可得到的面积． 【小问1详解】 当时，， 解得． ∴点D的坐标为． 【小问2详解】 在中，由勾股定理得． ∴点B的坐标为． 设直线 的解析式为，把点A，B的坐标分别代入， 得，解得 ∴直线 的解析式为． 【小问3详解】 如图，过点C作轴，垂足为点M． 由，得 ∴点C的坐标为． ∴点M的坐标为． ． ∵，， ． ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 你会用折纸的方式做出不同的角度吗？ 问题背景 素材一 长方形是我们熟悉的四边形，两组对边相等，四个角都是90度，因为这个特性我们可以折出很多漂亮的图形； 素材二 正方形也是我们熟悉的四边形，四条边相等，四个角都是90度，因为正方形比长方形还特殊，所以就能折出更漂亮的图形； 操作一 如图，对折长方形纸片，使与 重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点落在上的点 处，把纸片展平，连接，，延长与 交于点； 操作二 小明将长方形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照操作一中的方式操作，并延长与交于点，连接． 解决问题 任务一 在操作一中，的度数为______，的形状是______； 任务二 在操作二中，判断与的数量关系，并说明理由； 任务三 在操作二的探究中，若正方形的边长为，当点是边的三等分点时，求的长． 【答案】（1），等边三角形；（2），理由见解析；（3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的特点得到，进而得到，根据折叠的性质和平行线的性质得到，，进而证明出是等边三角形； （2）利用正方形和折叠的特点，证明便可得出答案； （3）当点是边的三等分点时，一共有两种情况，运用三角形全等和勾股定理便可计算出结果． 【详解】（1）由题意知， ∵，，， ∴， ∴， ∴ 由折叠可得， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形； （2）解： 理由：由折叠性质得，． 四边形是正方形， ． ． 又， ∴． ； （3）解：的长为或． 情况一：，如下图所示， 由， ∴， 设，则， 在中，， ，解得； 情况二：，如下图所示， 由， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 故有：，解得； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． 23. 综合运用 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A和B，点C从点A出发，沿方向以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动，同时点D从点O出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，设点C，D的运动时间是t秒（）．过点C作于点E，连接． （1）求和的长及的度数； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）当四边形为矩形时，求t的值． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）当四边形为矩形时，t的值是 【解析】 【分析】（1）对于，分别令和，即可求出点坐标和点坐标，进而求出和的长，再根据勾股定理即可求出 的长，最后根据含角的直角三角形的性质即可求出； （2）根据题意可知，，即可求出，，再由（1）结论，即可求出，即证明．最后由垂直于同一条直线的两直线平行可知，即证明四边形是平行四边形； （3）当四边形为矩形时，，此时即可求出，再由，即可列出关于 的方程，解出即可． 【小问1详解】 解：对于，令，则，即点坐标为， 令，则， 解得：， 即点坐标为，， ，， 在中，； ∴在中，， ∴； 【小问2详解】 证明：根据题意可知，， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：当四边形为矩形时，， ， ， ，即， 解得， 故当秒时四边形为矩形． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数在几何问题中的实际应用，勾股定理，含角的直角三角形的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定以及矩形的性质，综合性强．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $