精品解析：河南省金科新未来2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

金科·新未来2023~2024学年度下学期期末质量检测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2、请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等差数列满足，且，则首项（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 2. 已知曲线在点处的切线方程是，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 3. 在各项为正的等比数列中，与的等比中项为2，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 4. 函数的最大值是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 5. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A B. C. D. 6. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面坐标系中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为，则该质点移动的方法总数为（ ） A 120 B. 135 C. 210 D. 225 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（ ） A. 不可能为等比数列 B. 可能为等差数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 到直线的距离为2 B. 以为圆心，为半径的圆与相切 C. 直线斜率的最大值为2 D. 若，则面积为2 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C. 若有两个零点，则 D. 若，且，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知变量和的统计数据如下表： 1 2 3 4 5 1.5 2 4 4.5 若由表中数据得到经验回归直线方程，则_________． 13. 已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是_________． 14. 不透明的袋子中装有2个白球，3个黑球（除颜色外，质地大小均相同），学生甲先取出2个球（不放回），学生乙在剩下的3个球中随机取一个，已知甲至少取走了1个黑球，则乙取出白球的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设为的前项和，求的最小值． 16. 如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，且． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 某学校食堂提供甲、乙、丙三种套餐，每日随机供应一种，且相邻两天不重复．已知食堂今天供应套餐甲， （1）求接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率； （2）用随机变量表示接下来的三天中食堂供应套餐乙的天数，求的分布列与期望． 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，为坐标原点，当时，． （1）求的方程； （2）过的另一条直线交于两点，设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的最大值． 19. 已知函数，． （1）若在上恒成立，求k的取值范围； （2）设为图象上一点，为图象上一点，O为坐标原点，若∠AOB为锐角，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金科·新未来2023~2024学年度下学期期末质量检测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2、请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等差数列满足，且，则首项（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列基本量运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因，且， 所以，所以． 故选：C． 2. 已知曲线在点处的切线方程是，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】函数，求导得，依题意，， 得，显然，因此，所以． 故选：A 3. 在各项为正的等比数列中，与的等比中项为2，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质计算即可. 【详解】因为与的等比中项为2， 所以， 所以． 故选：D． 4. 函数的最大值是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先求导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，最后求出最大值即可. 【详解】因为，所以， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值是． 故选:A． 5. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线和圆的位置关系求出点到直线距离，结合点到渐近线的距离求出，最后求出离心率即可. 【详解】根据题意得，圆心到的渐近线的距离为 设双曲线的一条渐近线方程为，则， . 故选：D． 6. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，转化为在区间恒成立，设，利用导数求得的单调性，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上单调递减， 可得在恒成立，即恒成立， 设，则，所以， 所以在单调递减，所以. 故选：B． 7. 已知，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论的奇偶性，求出数列的通项，再利用利用裂项相消法求解即可. 【详解】因为数列是正奇数数列，对于数列等价于， 当为奇数时，设，则为奇数； 当为偶数时，设，则为偶数， 所以， 所以. 故选：B． 8. 在平面坐标系中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为，则该质点移动的方法总数为（ ） A. 120 B. 135 C. 210 D. 225 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可分为质点往右移动4次，往左移动2次；质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次；质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，可分为三种情况： ①质点往右移动4次，往左移动2次，， ②质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次，， ③质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，， 所以质点移动的方法总数为225. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（ ） A. 不可能为等比数列 B. 可能为等差数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合常数列的特例，以及等差、等比数列的通项公式和求和公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当为常数列，且时，因为是等比数列，所以为等比数列，所以A错误． 对于B中，当为常数列时，因为为等差数列，所以为等差数列，所以B正确． 对于C中，设的公差为，则，可得， 因为，所以数列是等差数列，所以C正确． 对于D中，设的公比为，则， 当时，不是常数，所以不是等比数列，所以D错误． 故选：BC． 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 到直线的距离为2 B. 以为圆心，为半径的圆与相切 C. 直线斜率的最大值为2 D. 若，则的面积为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，求出焦点坐标和准线方程，得到答案；B选项，由抛物线焦半径公式可得B正确；C选项，当直线与抛物线相切时，的斜率取得最大值．设直线，联立抛物线方程，根据根的判别式得到方程，求出直线斜率的最大值；D选项，设，根据焦半径公式得到方程，求出，求出三角形面积. 【详解】A选项，易知，准线，所以到直线的距离为2，A选项正确； B选项，由抛物线的定义，点到准线的距离等于，所以以为圆心，为半径的圆与相切，B选项正确； C选项，当直线与抛物线相切时，的斜率取得最大值．设直线， 与抛物线联立可得：，令得：， 所以直线斜率的最大值为1，C选项错误； D选项，，设，则，解得， 所以的面积为，D选项正确. 故选：ABD． 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C. 若有两个零点，则 D. 若，且，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得在上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为，令，利用导数可求得，由可知B正确；C选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，知，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值，知D正确. 【详解】对于A，当时，，令，则，， ，当时，恒成立，在上单调递增； 在上单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确； 对于B，当时，，又为正实数，， ，当时，恒成立，在上单调递增， 则由得：，即， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，则正实数的最小值为，B正确； 对于C，，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增；，则； 不妨设，则必有， 若，则，等价于， 又，则等价于； 令，则， ，，，，即， 在上单调递增，，即， ，可知不成立，C错误； 对于D，由，得：，即， 由C知：在上单调递减，在上单调递增； ，，则，， ，即，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， 即的最大值为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知变量和的统计数据如下表： 1 2 3 4 5 1.5 2 4 4.5 若由表中数据得到经验回归直线方程为，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据经验回归直线经过样本中心点求解. 【详解】易知，经验回归直线过样本点的中心， 所以，所以，解得． 故答案为： 13. 已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】的图象经过第一象限，即，使得，即，令，求出的最小值可得的取值范围. 【详解】由的图象经过第一象限，得，使得，即， 设，求导得， 当时，， 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 则有，即，所以实数的取值范围是． 14. 不透明的袋子中装有2个白球，3个黑球（除颜色外，质地大小均相同），学生甲先取出2个球（不放回），学生乙在剩下的3个球中随机取一个，已知甲至少取走了1个黑球，则乙取出白球的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】甲取走1个黑球1个白球的方法数为，取走2个黑球的方法数为， 所以乙取出白球的概率为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设为的前项和，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式基本量运算即可； （2）先根据基本量运算得出前n项和，再根据二次函数求出最值即可. 【小问1详解】 设的公差为， 则， 依题意，， 即， 整理得，， 解得，或（舍）， 所以； 【小问2详解】 ， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 16. 如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，且． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面可得，再由，所以，从而可证平面； （2）以分别为轴的空间直角坐标系，利用两平面的夹角的空间向量法求解. 【小问1详解】 因为为的中点，，所以， 因平面平面，所以， 又平面； 所以平面； 【小问2详解】 若，则两两垂直， 分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为，则有， 即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 易知平面平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 某学校食堂提供甲、乙、丙三种套餐，每日随机供应一种，且相邻两天不重复．已知食堂今天供应套餐甲， （1）求接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率； （2）用随机变量表示接下来的三天中食堂供应套餐乙的天数，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）记事件“接下来的三天中食堂都未供应套餐甲”，结合题意判断三天中供应套餐情况，即可求得答案； （2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，即可求得期望. 【小问1详解】 记事件“接下来的三天中食堂都未供应套餐甲”，则， 所以接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率为； 【小问2详解】 的所有可能取值分别为0，1，2， 则， ， ， 的分布列为 0 1 2 所以的期望为． 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，为坐标原点，当时，． （1）求的方程； （2）过的另一条直线交于两点，设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用离心率以及即可求解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可利用弦长公式求解,结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设焦距为，当时，将代入椭圆方程可得， ，解得， 所以，又，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 设直线， 与椭圆线方程联立可得，， 由韦达定理，， 所以 ， 同理可得，， ，因为，所以， 故 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 19. 已知函数，． （1）若在上恒成立，求k的取值范围； （2）设为图象上一点，为图象上一点，O为坐标原点，若∠AOB为锐角，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数结合不等式性质求出k的范围，再证明不等式不恒成立作答. （2）根据给定条件，利用数量积建立不等式并作等价变形，借助同构的思想构造函数，利用单调性推理作答. 小问1详解】 令函数，求导得， 则函数在上单调递增，从而，即，因此， 当时，，符合题意； 当时，令函数，， 则，在上单调递增，且，， 则存在，使得，且时，，即单调递减， 则当时，，与题意矛盾， 所以k的取值范围是. 【小问2详解】 依题意，由，得，即，亦即， 因为，则不等式为， 设，则不等式为， 设，则， 设，则，函数在上单调递减， 因此，即，即在上单调递减， 因此由，得，即，设，则， 由（1）可知，则有，从而，即，在上单调递增， 因此，从而，因而， 所以． 【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$