精品解析：四川省内江市2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

内江市2023-2024学年度第二学期八年级期末测评数学 本测评卷包括第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分考试时间120分钟． 注意事项： 1．答第I卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第II卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区城内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在测评卷上． 2．测评结束后，监测员将答题卡收回． 第I卷（选择题共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在代数式，，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相互平分的四边形是平行四边形 C. 有一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 一组邻边相等并且一个内角是直角的四边形是矩形 4. 已知，则的值为（　　） A B. C. D. 5. 一家服装专卖店销售某品牌棒球服，店长统计了一周内不同尺码的棒球服销售量如下表，如果每件棒球服的利润相同，你认为该店主最应该关注的销售数据是下列统计量中的（　　） 尺码 S M X 销售量/件 28 30 45 27 A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 以上都不对 6. 若一个等腰三角形的顶角度数为y，底角度数为x，则它们的函数关系式应是（ ） A. B C. D. 7. 在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，平分，交于点，，是，上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 11. 如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 12. 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 第II卷（非选择题共72分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为________． 14. 若一组数据10，8，9，x，5的平均数是8，则这组数据的方差是_____． 15. 已知点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则，，的大小关系为_____（请用“”连接）． 16. 如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接 PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形 CMPN是菱形；②点P与点A重合时， MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5，其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）先化简，然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 18. 某中学为全面普及消防知识，提高学生消防安全意识，特邀市消防中队在全校开展了消防知识和技能培训活动．培训结束后，在七、八年级开展了一次消防安全知识竞赛，竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取20名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 87 9 a 1.01 八年级 8.7 b 9 1.175 （1）根据以上信息可以求出：___________，___________，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七年级有800人、八年级有700人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，交轴于点，交轴于点． （1）求一次函数与反比例函数的函数关系式． （2）连结，求面积． （3）根据图象直接写出时，的取值范围． 21. 为积极落实乡村振兴政策，某市鼓励农民种植人们喜欢的水果--草莓，周末，小东和小明一起去采摘园采摘草莓，小东说：“我用200元采摘的甲种草莓比你用200元采摘的乙种草莓多1kg．”小明说：“甲、乙种草莓的单价之比为4：5．” （1）根据小东和小明的对话，求出甲、乙两种草莓的单价； （2）由于草莓的成熟期较短，该草莓采摘园为吸引顾客，推出一种优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售；采摘乙种草莓超过4kg，超出部分按原价的六折销售．某公司团建活动准备采摘两种草莓共40kg，已知采摘的乙种草莓不少于10kg且不多于甲种草莓的一半，则如何采摘能使采摘的总费用最低？最低费用为多少元？（两种草莓的采摘量均为正整数）． 22. 【观察猜想】（1）我们知道，正方形四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为 ___________； 【类比探究】（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，D，E在上，，若的面积为12，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 内江市2023-2024学年度第二学期八年级期末测评数学 本测评卷包括第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分考试时间120分钟． 注意事项： 1．答第I卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第II卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区城内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在测评卷上． 2．测评结束后，监测员将答题卡收回． 第I卷（选择题共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在代数式，，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，注意不是字母，是常数． 【详解】解：，是分式， 故选：B． 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负指数幂、分式的基本性质以及分式加减乘除运算等知识点，A选项将负指数幂转化成正指数幂即可得解，B选项化成同分母分数加减法即可判断，C选项将分子提出一个负号放到分式的前面即可判断，D选项分式乘除混合运算统一成乘法运算即可判断． 【详解】解：A，，该选项运算错误； B，，该选项运算错误； C，，该选项运算正确； D，，该选项运算错误； 故选C． 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相互平分的四边形是平行四边形 C. 有一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 一组邻边相等并且一个内角是直角的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键． 直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题是假命题，不符合题意； B、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故原命题是真命题，符合题意； C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意； D、一组邻边相等并且一个内角是直角的四边形可能是直角梯形，故原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 4. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将变形得：3（a+b）=5b，所以可以求出的值． 【详解】解；由得：3a=2b，让等式两边都加上3b，可得：3（a+b）=5b， 因此，故选C． 【点睛】在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求． 5. 一家服装专卖店销售某品牌棒球服，店长统计了一周内不同尺码的棒球服销售量如下表，如果每件棒球服的利润相同，你认为该店主最应该关注的销售数据是下列统计量中的（　　） 尺码 S M X 销售量/件 28 30 45 27 A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查平均数、中位数、众数的意义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 平均数，众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，平均数主要反映一组数据的平均水平，中位数则更好地反映了一组数据的中等水平，众数反映这组数据的集中趋势，店主关心的肯定是哪一种尺码销量最大，即这组数据的众数，据此解答即可． 【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策、引起店主最关注的统计量是众数． 故选：A． 6. 若一个等腰三角形的顶角度数为y，底角度数为x，则它们的函数关系式应是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、函数关系式，熟练掌握相关知识点是解题的关键 已知三角形内角和是，两底角相等，可列出顶角和底角的关系式 【详解】解：∵三角形内角和是，且等腰三角形两底角相等， ∴顶角度数y与底角度数x之间的函数关系式为：； 其中x的取值范围是： 故选A 7. 在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质．由菱形的性质得，而，即可根据“”证明，得，则，由，，得，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案：且． 9. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【详解】解：A、一次函数图象经过一、二、四象限，则，，反比例函数图象在第一、三象限，则，相矛盾，故此选项错误； B、一次函数图象经过一、二、三象限，则，，相矛盾，故此选项错误； C、一次函数图象经过一、三、四象限，则，，反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项正确； D、一次函数图象经过二、三、四象限，则，，相矛盾，故此选项错误； 故选：C． 10. 如图，在中，，，，平分，交于点，，是，上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式．过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 11. 如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，掌握反比例函数中的几何意义．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在函数的图象上， ∴， ∵轴于点，轴，点在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故选：B． 12. 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，不等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 整理得：， 分式方程无解的情况有两种， 情况一：整式方程无解时，即时，方程无解， ∴； 情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6， ①当x=2时，代入，得： 解得：得m=4． ②当x=6时，代入，得：， 解得：得m=2． 综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解； 解不等式， 得： 根据题意该不等式有且只有三个偶数解， ∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4， ∴−4<m−4≤−2， ∴0<m≤2， 综上所述当m=2或时符合题目中所有要求， ∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2． 故选B． 【点睛】此题考查了分式方程的无解的问题，以及一元一次不等式组的偶数解，其中分式方程无解的情况有两种情况，一种是分式方程化成整式方程后整式方程无解，另一种是化成整式方程后有解，但是解为分式方程的增根，易错点是容易忽略某种情况；对于已知一元一次不等式组解，求参数的值，找到参数所表示的代数式的取值范围是解题关键． 第II卷（非选择题共72分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若一组数据10，8，9，x，5的平均数是8，则这组数据的方差是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差的意义．①平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”；②方差是用来衡量一组数据波动大小的量．根据平均数的概念，确定的值，再求该组数据的方差． 【详解】解：因为一组数据10，8，9，，5的平均数是8， 所以 所以． 于是这组数据为10，8，9，8，5． 方差． 故答案为：2.8 15. 已知点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则，，的大小关系为_____（请用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内随的增大而增大， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 则，，的大小关系为， 故答案为：． 16. 如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接 PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形 CMPN是菱形；②点P与点A重合时， MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5，其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】先判断四边形CMPN是平行四边形，再根据PN= CN判断四边形CMPN是菱形，点P与点A重台时设BN=x，表示出AN=NC=8-x，利用勾股定理解出x，进而求出MN即可判断②，当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重台时，求出四边形面积的最大值，即可判断③． 【详解】解：①如下图， ∵ ， ∴ ， ∵折叠，∴ ，NC=NP ∴ ， ∴ ， ∴PM=CN， ∵ ， ∴四边形 为平行四边形， ∵ ， ∴平行四边形 菱形， 故①正确，符合题意； ②当点P与A重合时，如图2所示 设 ，则 ， 中， ， 即 ， 解得： ， ∴ ， ， ∴ ， 又∵四边形 为菱形， ∴ ，且 ， ∴ ∴ ， 故②错误，不符合题意； ③当 过点D时，如图3所示： 此时， 最短，四边形 面积最小，则S最小为 ， 当P点与A点重合时， 最长，四边形 的面积最大，则S最大为 ， ∴ ，故③正确，符合题意. 故答案为：①③. 【点睛】本题主要考查翻折问题，三角形的面积，矩形、菱形及平行四边形的性质等知识点，熟练应用矩形、菱形、平行四边形的性质及翻折的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）先化简，然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】（1）；（2），，原式． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值． （1）先根据乘方、开方、绝对值、负整数指数幂的意义计算，再算加减即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵当和时，会使分式分母，原式没有意义， 当时，会使原式的除式，原式无意义， ∴从中选取一个整数，只能选，则原式． 18. 某中学为全面普及消防知识，提高学生消防安全意识，特邀市消防中队在全校开展了消防知识和技能培训活动．培训结束后，在七、八年级开展了一次消防安全知识竞赛，竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取20名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.7 9 a 1.01 八年级 8.7 b 9 1.175 （1）根据以上信息可以求出：___________，___________，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七年级有800人、八年级有700人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），；补充统计图见解析 （2）七年级更好，理由见解析 （3）估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有830人． 【解析】 【分析】（1）由七年级C组的人数最多，结合众数的定义可得答案；将20名学生的竞赛成绩从大到小排列，第10个数据在B组，第11个数据在C组，再结合中位数的定义可得答案，再补全统计图即可； （2）分别从平均数，中位数与方差的角度出发分析即可； （3）由优秀率乘以总人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：由七年级竞赛成绩统计图可得， 七年级C组的人数为：（人）， ∴七年级B组的人数最多， ∴七年级的众数为； 由八年级竞赛成绩统计图可得， 将20名学生的竞赛成绩从大到小排列，第10个数据在B组，第11个数据在C组， ∴中位数， 补充统计图如下： 故答案为：，； 【小问2详解】 解：七年级更好， 理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，说明七年级一半以上人不低于9分， 七年级方差小于八年级方差，说明七年级的波动较小， 所以七年级成绩更好． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有830人． 【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，中位数与众数，方差的含义，利用样本估计总体，掌握基础的统计知识是解本题的关键． 19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠DAE＝∠AEB，利用AE平分∠BAD，推出∠BAE＝∠AEB，得到BE=AB，即可得到结论； （2）根据BE＝AB，BF平分∠ABE，得到AF＝EF，证明△ADF≌△ECF，推出DF＝CF，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB＝CD ∴∠DAE＝∠AEB ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE＝∠DAE ∴∠BAE＝∠AEB ∴BE＝AB ∴BE=CD （2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE ∴AF＝EF 在△ADF和△ECF中 ∴△ADF≌△ECF ∴DF＝CF 又∵AF＝EF ∴四边形ACED是平行四边形． 【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，交轴于点，交轴于点． （1）求一次函数与反比例函数的函数关系式． （2）连结，求的面积． （3）根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式求出，把的坐标代入反比例函数解析式求出，把、的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可； （2）求出一次函数与轴的交点坐标，的值，根据三角形的面积公式求出即可； （3）结合图象和、的坐标即可求出答案． 【小问1详解】 解：把代入代入，得：， ， 把代入得：， ， 把、的坐标代入得： ， 解得：，， ， 反比例函数的表达式是，一次函数的表达式是； 【小问2详解】 把代入得：， ，， ， 即的面积是； 【小问3详解】 根据图象和、的坐标得出， 当或时，的值大于反比例函数的值． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 21. 为积极落实乡村振兴政策，某市鼓励农民种植人们喜欢的水果--草莓，周末，小东和小明一起去采摘园采摘草莓，小东说：“我用200元采摘的甲种草莓比你用200元采摘的乙种草莓多1kg．”小明说：“甲、乙种草莓的单价之比为4：5．” （1）根据小东和小明的对话，求出甲、乙两种草莓的单价； （2）由于草莓的成熟期较短，该草莓采摘园为吸引顾客，推出一种优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售；采摘乙种草莓超过4kg，超出部分按原价的六折销售．某公司团建活动准备采摘两种草莓共40kg，已知采摘的乙种草莓不少于10kg且不多于甲种草莓的一半，则如何采摘能使采摘的总费用最低？最低费用为多少元？（两种草莓的采摘量均为正整数）． 【答案】（1）甲、乙两种草莓的单价分别为40元，50元； （2）采摘甲种草莓27kg，乙种草莓13kg时费用最低，最低费用为1334元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程组、不等式、函数解析式成为解题的关键． （1）设甲、乙两种草莓单价分别为元，元，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设采摘乙种草莓，则采摘甲种草莓，总费用为W元．根据题意可列不等式可求得且m为正整数，再用m表示出总费用W，然后运用一次函数的增减性求最值即可解答． 【小问1详解】 解：∵甲、乙种草莓的单价之比为4：5， ∴设甲、乙两种草莓的单价分别为元，元， 由题意得，解得． 经检验，是方程的解，且符合题意， ，， 答：甲、乙两种草莓的单价分别为40元，50元； 【小问2详解】 解：设采摘乙种草莓，则采摘甲种草莓，总费用为W元． 由题意知，， 解得，，且m为正整数， ∴总费用． ∵， ∴W随m的增大而减小， 又∵，且m是整数， ∴当时，． 答：采摘甲种草莓27kg，乙种草莓13kg时费用最低，最低费用为1334元． 22. 【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为 ___________； 【类比探究】（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，D，E在上，，若的面积为12，，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）5 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，，已知，根据正方形的性质易得，易证得，可得，则可得，即可得出答案； （2）在上截取，连接．先证明，可得，，已知，根据正方形的性质求得，再证，可得，则可得，即可得出答案； （3）如图3，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时与重合，，，，已知，根据余角定义可得，即可证明，则得，由，可得是直角三角形，由可得，根据，的面积为12，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图2，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图3，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时与重合， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由旋转得， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，的面积为12， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的面积，解此题的关键是能正确作出辅助线构造全等三角形，得出对应边的关系，利用割补法求三角形面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$