精品解析：浙江省精诚联盟2024届高三下学期适应性联考数学试题

2023学年第二学期浙江精诚联盟适应性联考 高三数学学科 试题 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式的常数项为（ ） A. B. C. D. 4 3. 已知复数z满足，其中i是虚数单位，则（ ） A. 2 B. C. D. 5 4. 已知某种塑料经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为，为初始量．则该塑料经自然降解，残留量不超过初始量的50%．至少需要（ ）年（精确到年）．（参考数据：） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义函数集．已知函数，，，．若函数，则在为奇函数的条件下，存在单调递减区间的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接，．若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，，有一组样本数据为，3，，，8，10，，12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则（ ） A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 方差不变 D. 极差不变 10. 已知平面，，直线，若，，与所成的角为，则下列结论中正确的有（ ） A. 内垂直a的直线必垂直于 B. 内的任意直线必垂直于内的无数条直线 C. b与所成的角为 D. b与内的任意一条直线所成的角大于等于 11. 利用不等式“，当且仅当时，等号成立”可得到许多与n（且）有关的结论，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 某工厂生产的一批零件的使用寿命X（单位：年）近似服从正态分布．若，则从这批零件中任意取出1件，其寿命低于60的概率是______． 13. 已知函数为定义在上的奇函数，则______． 14. 已知E，F是直角的外接圆上的两个动点，且，P为的边上的动点，若的最大值为48，则的面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与二次曲线只有一个公共点，求实数a的值． 16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面底面，，，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点． （1）当P是线段的中点时，求点P到平面的距离； （2）当平面与平面的夹角的余弦值为时，求． 17. 已知等比数列和等差数列，满足，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：． 18. 已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为、，其中到其渐近线的距离为1． （1）求双曲线的标准方程： （2）若点P是双曲线在第一象限的动点，双曲线在点P处的切线与x轴相交于点T． （i）证明：射线是的角平分线； （ii）过坐标原点O的直线与垂直，与直线相交于点Q，求面积的取值范围． 19. 为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击中靶心的概率为，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第次击中靶心的概率也为p，否则第次击中靶心的概率为． （1）求甲选手得分X的分布列及其数学期望； （2）有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数，称为X的分布函数，对于任意实数，，有．因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间上的概率． （i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）； （ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期浙江精诚联盟适应性联考 高三数学学科 试题 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求出集合，再根据并集的定义计算可得. 【详解】因为，又， 所以. 故选：A 2. 的展开式的常数项为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，令指数等于0，求得，即可求解. 【详解】通项为常数项， 令可得， 所以， 故选：B． 3. 已知复数z满足，其中i是虚数单位，则（ ） A. 2 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件求出复数，从而可求出结果 【详解】设，a，，则 则，．∴，， 所以， 故选：D． 4. 已知某种塑料经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为，为初始量．则该塑料经自然降解，残留量不超过初始量的50%．至少需要（ ）年（精确到年）．（参考数据：） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，求解可得，可得结论. 【详解】若残留量不足初始量的50%，则， 所以，两边取常用对数得，， 所以至少需要7年． 故选：C． 5. 已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，结合等差数列的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，，得； 当时，，得， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简等式，在利用二倍角公式计算得到结果； 【详解】∵ ， ∴， ∴， 故选：A． 7. 定义函数集．已知函数，，，．若函数，则在为奇函数的条件下，存在单调递减区间的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据奇偶性的知识找出符合条件的所有函数，然后在这些函数中找出存在单调递减区间的函数，得出答案. 【详解】解析：集合A中的函数为奇函数的有，，， 而有单调递减区间的函数有和，所以概率为. 故选：A． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接，．若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形面积关系得出，再由勾股定理及椭圆定义求出，利用余弦定理及求解即可. 【详解】设，由 可得，由于与等高， 所以， 又，，∴， 又，∴， 在中，， ∵， 在中，， 化简可得，解得， 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题关键点之一根据三角形面积关系得出，其次需要根据建立关系. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，，有一组样本数据为，3，，，8，10，，12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则（ ） A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 方差不变 D. 极差不变 【答案】AD 【解析】 【分析】求出样本数据的平均数，判断A的真假；令取特殊值，验证B的真假；利用方差的计算公式求方差判断C的真假；因为8不是最值，所以插入8不影响极差，可判断D的真假. 【详解】对于A选项，原数据的平均数为8，插入一个数8，平均数不变，正确； 对于B选项，取，，原数据的中位数为9，新数据的中位数为8.5，错误； 对于C选项，新数据的方差为，错误； 对于D选项，因为，所以8不是最值，故新数据的极差不变，正确． 故选：AD 10. 已知平面，，直线，若，，与所成的角为，则下列结论中正确的有（ ） A. 内垂直a的直线必垂直于 B. 内的任意直线必垂直于内的无数条直线 C. b与所成的角为 D. b与内的任意一条直线所成的角大于等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面与平面垂直的性质定理可判断AB；线面位置关系可判断C；由最小角定理可判断D． 【详解】对于A选项，由平面与平面垂直的性质定理可知，内垂直a的直线必垂直于β，A正确； 对于B选项，在内作的垂线，则此垂线必垂直于， 自然也就垂直内的任意直线，这种垂线可以作无数条，所以B正确； 对于C选项，b与所成的角为，但b与的位置关系不确定，不能确定b与β所成的角， 特殊情况下可以是，所以C错误； 对于D选项，由最小角定理可知，线面角是线与面内的任意直线所成角中的最小的角，故D正确． 故选：ABD． 11. 利用不等式“，当且仅当时，等号成立”可得到许多与n（且）有关的结论，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：令，代入可得，运算整理即可；对于B：可得，令，可得，运算整理即可；对于C：取特值检验即可；对于D：令，可得，结合等比数列求和公式分析证明. 【详解】对于不等式，当且仅当时，等号成立， 对于选项A：令，则， 可得， 其中 ， 所以，A正确； 对于选项B：将x替换为，可得，当且仅当时等号成立． 令，可得，整理可得， 故， 即， 所以，故B正确； 对于选项C：令，可得，即， 这显然不成立，故C错误； 对于选项D：等价于证明， 将中的x替换为，其中，，则，即， 可得，当且仅当时，等号成立， 则， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：对于已知不等式证明不等式的问题，常常利用代换的思想，结合数列求和进而放缩证明. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 某工厂生产的一批零件的使用寿命X（单位：年）近似服从正态分布．若，则从这批零件中任意取出1件，其寿命低于60的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性得出结果 【详解】由，X服从正态分布，故． 故答案为：. 13. 已知函数为定义在上的奇函数，则______． 【答案】4051 【解析】 【分析】由已知可得函数关于中心对称，然后利用中心对称的性质求解即可. 【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，则, 且函数关于中心对称，所以, ． 故答案为：4051 14. 已知E，F是直角的外接圆上的两个动点，且，P为的边上的动点，若的最大值为48，则的面积的最大值为______． 【答案】25 【解析】 【分析】设直角的外接圆的圆心为，取弦的中点，可求得，结合圆的知识，当三点共线时，最大，进而求得圆的半径，进而求得的面积的最大值. 【详解】设直角的外接圆的圆心为，取弦的中点， 由，可得点的轨迹是以为圆心的圆， 则， 因为的最大值为48，所以， 由圆的相关知识可知，当三点共线时，且在三点处时，最大， 在中，，所以圆的半径为, ， 所认的面积的最大值为25. 故答案为：25. 【点睛】本题考查：圆的内接三角形问题，向量的数量积的计算，数形结合法的运用，重要不等式的运用，综合性强. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与二次曲线只有一个公共点，求实数a的值． 【答案】（1）单调增区间：，单调减区间：． （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间； （2）首先求出函数的切线方程，与曲线联立方程，分析得出结论. 【小问1详解】 易知定义域为R，， 所以，，，． 故单调增区间：，单调减区间：． 【小问2详解】 因为，， 所以曲线在点处的切线为 把切线方程代入二次曲线方程，得有唯一解， 即且，即 解得或． 16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面底面，，，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点． （1）当P是线段的中点时，求点P到平面的距离； （2）当平面与平面的夹角的余弦值为时，求． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）利用等体积变化的方法进行计算距离； （2）利用空间向量法计算距离； 【小问1详解】 作的中点D，连接，，连接，，， 因为点D，F分别为，的中点， 所以，且， 又由三棱柱的定义，结合点E为的中点可知： ，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以当P是线段的中点时，点P到平面的距离等于点E到平面的距离； 因为， ， 因为，所以， 由平面平面，且平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，所以，所以是三棱锥的高， 所以， 在等边三角形中，, 因为，所以直角三角形中 又， 三角形是等腰三角形，， 设点E到平面的距离为d，则，解得． 即点P到平面的距离为． 【小问2详解】 以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，，， 设，则， 设平面的一个法向量， 则有，即， 所以， 设平面的一个法向量， 则有，即，所以， 所以， 解得或（舍去）． 所以，即的长为． 17. 已知等比数列和等差数列，满足，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：． 【答案】（1），． （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设的公比为，等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得、，即可得解； （2）由（1）可得，利用错位相减法求出，即可得到，再由分组求和及裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 等比数列满足，，所以单调递增， 设的公比为，等差数列的公差为，依题意可得， 解得或（舍去）， 所以，． 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 所以， 故， 又，， 即， 所以 ． 18. 已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为、，其中到其渐近线的距离为1． （1）求双曲线的标准方程： （2）若点P是双曲线在第一象限的动点，双曲线在点P处的切线与x轴相交于点T． （i）证明：射线是的角平分线； （ii）过坐标原点O的直线与垂直，与直线相交于点Q，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （i）设，切线，则， 联立 化简得． 由，解得：， 所以直线，令，得， 故，． 因为， 所以， 所以，即， 故射线PT是的角平分线． （ii）． 【解析】 【分析】（1）由题意可直接求出，从而可求出双曲线的方程； （2）（i）设，切线，代入双曲线方程化简，由判别式等于零可表示出，从而可表示出切线方程，表示出点的坐标，然后通过计算的值可得结论；（ii）过作，设，根据角平分线的性质和三角形中位线定理求出，再表示出面积可求出其范围. 【小问1详解】 因为实轴长为4 所以，即， 因为右焦点到渐近线距离为1， 所以， 故双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）过作，设． 因为为的角平分线，所以 所以． 因为，，所以， 又因为O为中点． 则是的中位线，故Q是的中点． 所以，记， 因为，所以为锐角，所以为钝角， 所以，所以，所以， 由正弦定理得， 所以， 则． 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中的面积问题，第（2）问解题的关键是根据双曲线的性质结合角平分线的性质求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 19. 为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击中靶心的概率为，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第次击中靶心的概率也为p，否则第次击中靶心的概率为． （1）求甲选手得分X的分布列及其数学期望； （2）有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数，称为X的分布函数，对于任意实数，，有．因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间上的概率． （i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）； （ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数． 【答案】（1） X 0 1 2 3 X的数学期望是 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）列出的可能值，并求出对应的概率，可得的分布列，并求期望. （2）根据分布函数的概念，求分布函数. 【小问1详解】 甲选手得分X的取值可为0，1，2，3， ，． ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 X的数学期望是． 【小问2详解】 （i）X的分布函数为； （ii）设随机变量Y的分布函数为， 若，此时； 若，由题意设， 当时，有，又因为， 所以，即， 所以； 若，此时， 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $