精品解析：江西省景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷

景德镇市2023-2024学年下学期期末质量检测卷 高二数学 命题人：郭红兵､程艺超（昌江一中） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将数列前5项改写为统一格式即可发现规律得到数列的通项公式. 【详解】由题数列的前5项可改写为， 其中负号交替出现在偶数项，分母为从1开始的奇数， 故数列的通项公式为. 故选：D. 2. 设函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再结合导数定义即可得解. 【详解】由题， 故由导数定义得. 故选：A. 3. 在等差数列中，若，则其前7项和为（ ） A. 7 B. 9 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由条件利用等差数列性质可求，结合等差数列前项和公式求解结论. 【详解】因为数列为等差数列， 所以， 所以数列的前项和， 故选：C. 4. 一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为，某大学生此时从该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】依据应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份进行求解即可. 【详解】应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份， 由题意知贷款金额为，月利率为，月份为10， 所以. 故选：D. 5. 下列给出的四个函数中，零点的个数最多的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点的定义，以及利用导数判断函数的单调性，以及最值，零点存在性定理，即可判断零点个数最多的函数. 【详解】A. ，得，有1个零点， B. ，，得，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，当时，函数取得最大值， 且，所以只有1个零点， ，所以在区间只有1个零点， 所以函数有2个零点， C. ，，得， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值0，所以只有1个零点， D. 在定义域单调递增，，， 所以函数只有1个零点， 综上可知，零点个数最多的是函数有2个零点. 故选：B 6. 对于数列，若存在正整数，使得，则称是“谷值数列”，是数列的“谷值点”.现有数列，其通项，则该数列所有“谷值点”之和为（ ） A. 3 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算数列的前10项，再结合数列的单调性，确定“谷值点”. 【详解】由题意可知，，，， ，，，，，， 函数，在单调递增，且时，， 且，所以从10开始，不会是“谷值点”， 只有，所以数列只有1个“谷值点”，谷值点为9. 故选：B 7. 设，且，其中是自然常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式结构特征可变形为，进而构造函数研究其单调性，根据其单调性以及参量取值范围即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 令，则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以，且， 所以由即得. 故选：A. 8. 将函数的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图象，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据导数求函数在定义域上切线斜率的最大值，转化为切线旋转，根据函数的定义，即可求解. 【详解】令原函数为，即，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 函数的图象上点处切线斜率由1逐渐增大到2，记时的点为， 令函数图象在处的切线倾斜角为，则， 曲线在除端点外的任意一点处的切线垂直于轴时，则曲线上存在两点，其横坐标相同， 而曲线始终为函数图象，因此，而， 则， 所以的最大值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的定义，并转化为原点处的切线的旋转问题. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和，则（ ） A. B. C. 数列有最小项 D. 是等差数列 【答案】AD 【解析】 【分析】根据作差求出的通项，即可判断A、B，根据二次函数的性质判断C，根据等差数列的定义判断D. 【详解】对于A：因为，当时，故A正确； 对于B：当时， 所以， 经检验时也成立，所以， 所以，，则，故B错误； 对于C：因为，所以当或时取得最大值，且， 即数列有最大项，故C错误； 对于D：因为，则，又， 所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确. 故选：AD 10. 三次函数的图像与轴有两个交点，则（ ） A. 有唯一的极值 B. C. 存在等差数列，使 D. 过点可作曲线的两条切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求函数的极值点，并根据极值点和零点的定义，即可判断AB，根据的特征，判断，即可求等差数列，判断C，根据导数的几何意义，求切点个数，即可判断D. 【详解】A.，得或， ，的变化情况如表所示， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 函数有2个极值，故A错误； B.极小值，若函数的图象与轴的交点有2个，则，即， 即函数 其中极大值点就是一个零点，另一个零点是2，所以，故B正确； C.当时，满足， 则， ， 同理，满足，故C正确； D.设过点作曲线的切线的切点为，则，， 则，即， 即，得，或， 有两个切点，所以过点可作曲线的两条切线，故D正确. 故选：BCD 11. 下列关于数列与其前项和的命题，表述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是等比数列，，则 D. 若，则数列单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】利用数列周期性判断A；求出通项公式判断B；利用等比数列片段和的性质计算判断C；作商求出通项并确定单调性判断D. 【详解】对于A，由，得，则数列的周期为3， 又，因此，A正确； 对于B，，则数列是等比数列，， 当，而不满足上式，B错误； 对于C，是等比数列，，则成等比数列， 其首项为1，公比为3，则，C错误； 对于D，，当时，， 当，，满足上式， 因此且，则数列单调递增，D正确. 故选：AD 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等比数列的前项和，若，则公比为__________. 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】由，可得，化简解出即可得出 【详解】由，可得， 即， 故答案为： 13. 已知函数的图象如下，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的图象可得函数的增减区间，从而可得导函数的正负，进而可求出不等式的解集 【详解】由函数的图象可知， 在和上递增，在上递减， 所以当或时，，当时，， 所以当或时，， 所以不等式的解集为， 故答案为： 14. 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的用“作切线”来近似求函数零点的一种方法，已知函数，在图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列，称为“牛顿数列”.现取，则可知与的大小关系是__________，其中__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意求出函数在处的切线与轴交点的横坐标，因为，，根据迭代公式求出并判断出，利用作差法比较与的大小关系即可. 【详解】由题意知，函数在处的切线方程为， 切线与轴交点的横坐标为， 因为，，所以， 所以， 令，则在单调递减， 所以， 所以，即. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：函数在处的切线为，切线与轴交点的横坐标为，这是本题牛顿迭代法的迭代关系式，利用迭代关系求出并判断出，再利用作差法比较与的大小关系. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项. （1）求的通项公式； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差中项的定义可得，再有等差数列的通项公式代入计算，即可求解； （2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可求解. 【小问1详解】 ， ，又， . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知函数. （1）求的极值点； （2）判断方程在区间上的解的个数，并说明理由. 【答案】（1）极大值点为1，无极小值点 （2）1个，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出，利用、解不等式可得答案； （2）令，利用导数判断出在区间上的单调性，结合极值、端点值可得答案. 【小问1详解】 ， 当时，；当时，， 在单调递增，单调递减， 的极大值点为1，无极小值点； 【小问2详解】 方程在区间上只有1个解，理由如下： 令， 则， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 又， 在有一个零点，在无零点， 所以方程在区间上只有1个解. 17. 设为数列的前项和，且. （1）为何值时，是等比数列； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，结合，得到，然后构造即可得解； （2）由（1）问求出的通项公式，从而求出的通项公式，然后用错位相减法求和即可得解. 【小问1详解】 当时，，即，所以， 当时，①，②， ①②得：，即，所以， 所以，当时，是等比数列，首项为6，公比为3. 【小问2详解】 由第（1）问得，，所以， 所以， ， 故 所以. 18. 设函数，其中为常数. （1）讨论的单调性； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数后，分和两种情况讨论，根据导函数正负可求出函数的单调区间； （2）方法一，由题意得，构造函数，利用导数求出最值即可，方法二，由题意得，令，则，再证时恒成立即，设，根据导数求出最值即可 【小问1详解】 ，其中. 当时， 在上单调递减 当时，，所以；，， 在单调递减，在单调递增 【小问2详解】 方法一： 令，则 取，则恒成立 单调递减，又 当时，；当时， 在单调递增，在单调递减， 方法二： 令，则，下证时恒成立即. 设，则 当时，，故 单调递减， 当时， 在单调递增，有 在单调递增， 综上，，即恒成立 又 符合 19. 如图，一质点在大小随机的外力作用下，在轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为. （1）记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点； （2）已知，记质点从原点0运动到的位置的方法种数为，概率为. （i）求； （ii）证明：是等比数列，并求. 【答案】（1），此时； （2）（i），； （ii）证明：由题意，， 是等比数列，首项为，公比为， ， . 【解析】 【分析】（1）先根据5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位得到，求导得到其单调性，从而得到最大值及此时； （2）（i）方法一：根据及，求出，，并根据求出；方法二：同法一求出，，并根据移动次数求出； （ii）由题意，，变形得到是等比数列，首项为，公比为，进而利用累加法求出通项公式 【小问1详解】 由已知，可得5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位， ， ， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减， 当处，取得极大值，也是最大值， ，此时； 【小问2详解】 （i）法一：，则， ， ∴，，，，， ； 法二：，则， 移动到的位置，若每次移动2个单位，则移动4次，故至少移动4次， 若每次移动1个单位，则移动8次，故至多移动8次， 若需要移动8次，则8次移动1个单位，0次移动2个单位，则需要种方法， 若需要移动7次，则有1次移动2个单位，故需要种方法， 若需要移动6次，则有2次移动2个单位，故需要种方法， 若需要移动5次，则有3次移动2个单位，故需要种方法， 若需要移动4次，则有4次移动2个单位，故需要种方法， 故； （ii）略 【点睛】方法点睛：由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法， （1）若，采用累加法； （2）若，采用累乘法； （3）若，可利用构造进行求解； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇市2023-2024学年下学期期末质量检测卷 高二数学 命题人：郭红兵､程艺超（昌江一中） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 在等差数列中，若，则其前7项和为（ ） A. 7 B. 9 C. 14 D. 18 4. 一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为，某大学生此时从该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 5. 下列给出的四个函数中，零点的个数最多的是（ ） A. B. C. D. 6. 对于数列，若存在正整数，使得，则称是“谷值数列”，是数列的“谷值点”.现有数列，其通项，则该数列所有“谷值点”之和为（ ） A. 3 B. 9 C. 10 D. 12 7. 设，且，其中是自然常数，则（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图象，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和，则（ ） A. B. C. 数列有最小项 D. 是等差数列 10. 三次函数的图像与轴有两个交点，则（ ） A. 有唯一的极值 B. C. 存在等差数列，使 D. 过点可作曲线的两条切线 11. 下列关于数列与其前项和的命题，表述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是等比数列，，则 D. 若，则数列单调递增 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等比数列的前项和，若，则公比为__________. 13. 已知函数的图象如下，则不等式的解集为__________. 14. 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的用“作切线”来近似求函数零点的一种方法，已知函数，在图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列，称为“牛顿数列”.现取，则可知与的大小关系是__________，其中__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项. （1）求的通项公式； （2）求的值. 16. 已知函数. （1）求的极值点； （2）判断方程在区间上的解的个数，并说明理由. 17. 设为数列的前项和，且. （1）为何值时，是等比数列； （2）若，求数列的前项和. 18. 设函数，其中为常数. （1）讨论的单调性； （2）若，求实数的取值范围. 19. 如图，一质点在大小随机的外力作用下，在轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为. （1）记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点； （2）已知，记质点从原点0运动到的位置的方法种数为，概率为. （i）求； （ii）证明：是等比数列，并求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $