精品解析：天津市和平区2023-2024学年高二下学期期末质量调查数学试卷

天津市和平区2023-2024学年高二下学期期末质量调查数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共27分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上无效. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则等于（ ） A. B. 4 C. D. 3 5. 已知定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示.由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A. 与有正相关关系 B. C. 当新产品投入金额为6万元时，该产品的收益大约为19万元 D. 当时，残差为0.5（残差观测值预测值） 7. 为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了100人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如下列联表所示（单位：人），根据数据计算得，依据小概率值的独立性检验，小概率值相应的临界值为，则下列结论不正确的是（ ） 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 25 10 35 吸烟者 15 65 合计 40 60 100 A B. 若从这100人中随机抽取2人，则2人都是非肺癌患者的概率为 C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌有关联 D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌无关联 8. 已知函数，，，，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9 有如下5个命题： ①已知随机变量，则，； ②已知随机变量，若，则； ③已知命题，，则，； ④函数在区间内有且仅有1个零点； ⑤函数的最小值为3. 将上述5个命题重新排序，其中假命题不在首尾两个位置，则排序方法有（ ） A. 72种 B. 36种 C. 18种 D. 12种 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共10小题，共73分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分） 10. 在的展开式中，的系数为______.（请用数字作答） 11. 已知函数满足，则______. 12. 某校举办“中华颂”朗诵比赛，现有3名男生和3名女生报名，需将这6名同学分为3组，每组由1名男生和1名女生组成，则有_________种分组方法.（请用数字作答） 13. 甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.（ⅰ）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为______；（ⅱ）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，就从甲箱中随机抽出1个球；如果点数大于等于3，就从乙箱中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为______. 14. 若函数在上单调递增，则实数的最大值为______. 15. 已知函数，，若在区间上有且仅有1个零点，则实数的取值范围为______. 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知两个极值点分别是，. （1）求实数，的值； （2）求函数的单调区间. 17. 将一个边长为12的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个容积为的无盖方盒. （1）求解析式； （2）求无盖方盒的容积的最大值及此时小正方形边长的值. 18. 已知在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.若从这10件产品中随机抽取4件进行检测， （1）求抽到一等品件数的分布列和数学期望； （2）设事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数不相等”，求事件的概率. 19. 已知函数（且）是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）若，且对于，不等式成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数，其中实数. （1）求在处的切线方程； （2）若在上的最大值是0，求的取值范围； （3）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市和平区2023-2024学年高二下学期期末质量调查数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共27分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上无效. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示出集合A，再利用补集、并集的定义求解即得. 【详解】依题意，，而，则，又， 所以. 故选：B 2. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式，显然， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 若，则等于（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据换底公式与对数恒等式进行计算. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故选：C 5. 已知定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数单调性得的单调性，再比较出即可. 【详解】因为均是在上的单调增函数， 则在上也单调递增， 因为，，即，， 则，则，即， 故选：A. 6. 某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示.由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A. 与有正相关关系 B. C. 当新产品投入金额为6万元时，该产品的收益大约为19万元 D. 当时，残差为0.5（残差观测值预测值） 【答案】D 【解析】 【分析】利用经验回归方程，结合正相关的意义判断A；求出样本的中心点，求出并依次判断BCD. 【详解】对于A，由经验回归方程，得回归直线斜率，与有正相关关系，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，由选项B知，，当时，，C正确； 对于D，当时，，残差为，D错误. 故选：D 7. 为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了100人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如下列联表所示（单位：人），根据数据计算得，依据小概率值的独立性检验，小概率值相应的临界值为，则下列结论不正确的是（ ） 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 25 10 35 吸烟者 15 65 合计 40 60 100 A. B. 若从这100人中随机抽取2人，则2人都是非肺癌患者的概率为 C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌有关联 D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌无关联 【答案】D 【解析】 【分析】由列联表求出判断A；利用古典概型计算判断B；利用独立性检验思想判断CD. 【详解】对于A，由列联表得，，A正确； 对于B，非肺癌患者概率为，B正确； 对于CD，由，得在犯错误的概率不超过0.001的前提下， 认为吸烟与患肺癌有关联，D错误，C正确. 故选：D. 8. 已知函数，，，，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最小值，在上的最小值，再结合已知及恒成立问题求解即得. 【详解】当时，函数，则当时，， 函数在上单调递增，， 由，，使得成立，得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 9. 有如下5个命题： ①已知随机变量，则，； ②已知随机变量，若，则； ③已知命题，，则，； ④函数在区间内有且仅有1个零点； ⑤函数的最小值为3. 将上述5个命题重新排序，其中假命题不在首尾两个位置，则排序方法有（ ） A. 72种 B. 36种 C. 18种 D. 12种 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项分布、正态分布计算判断①②，利用全称量词命题否定判断③，利用零点存在性定理判断④，取值计算判断⑤，再利用有限制条件的排列问题，列式计算判断即得. 【详解】对于①，，， 则，①正确； 对于②，依题意，，②正确； 对于③，命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 则，，③正确； 对于④，函数在上单调递增，， 则函数在区间内有且仅有1个零点，④正确； 对于⑤，函数的定义域为，显然，⑤错误， 因此5个命题中有1个假命题，假命题不在首尾两个位置的排列总数是. 故选：A 【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共10小题，共73分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分） 10. 在的展开式中，的系数为______.（请用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】求出给定二项式展开式的通项公式，进而求出的系数. 【详解】二项式展开式的通项公式， 由，得，， 所以的系数为. 故答案为： 11. 已知函数满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定等式，两边求导并赋值求出，再代入计算即得. 【详解】函数，求导得， 由，解得，于是 所以. 故答案为： 12. 某校举办“中华颂”朗诵比赛，现有3名男生和3名女生报名，需将这6名同学分为3组，每组由1名男生和1名女生组成，则有_________种分组方法.（请用数字作答） 【答案】6 【解析】 【分析】视3名男同学为3个位置，将3名女同学安排到3个位置即可得解. 【详解】依题意，将6名同学分为3组，每组由1名男生和1名女生组成， 可视3名男同学为3个位置，将3名女同学安排到3个位置，不同安排方法数为种. 故答案：6 13. 甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.（ⅰ）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为______；（ⅱ）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，就从甲箱中随机抽出1个球；如果点数大于等于3，就从乙箱中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件概率求空1的答案；利用全概率公式求空2答案. 【详解】对空1：从甲箱中抽出2球，设抽到白球为事件，2个球都是白球为事件，则:, ，所以. 对空2：掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，记为事件，抽到红球记为事件，则： ，点数大于等于3的概率：. 所以. 故答案为： 14. 若函数在上单调递增，则实数的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用给定的单调区间及单调性列出不等式，分离参数求解即可. 【详解】函数，求导得， 由在上单调递增，得，且对恒成立， 则对恒成立，而，恒成立，于是， 当时，，，则， 令，求导得，函数在上单调递增， 则，因此当时，对恒成立， 所以实数的最大值为. 故答案为： 15. 已知函数，，若在区间上有且仅有1个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】或 【解析】 【分析】结合函数零点的意义，构造函数，探讨函数在的性质，数形结合求解即得. 【详解】由，得，令， 在区间上有且仅有1个零点，等价于直线与函数的图象仅只一个公共点， ，当或时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值， 而，当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象得，当或时，直线与函数的图象只有一个公共点， 所以实数的取值范围为. 故答案为：或. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知的两个极值点分别是，. （1）求实数，的值； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1）； （2）递增区间是，递减区间是. 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用给定的极值点求出. （2）由（1）的结论，求出的导数大于0、小于0的不等式解集即得. 【小问1详解】 函数，求导得， 依题意，是方程的两个根，则，解得， 此时，是的变号零点， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，当或时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 17. 将一个边长为12的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个容积为的无盖方盒. （1）求的解析式； （2）求无盖方盒的容积的最大值及此时小正方形边长的值. 【答案】（1）； （2）最大值为128，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用长方体的体积公式列式即得. （2）利用导数探讨函数单调性，进而求出最大值即可. 【小问1详解】 依题意，无盖方盒的底面正方形边长为，高为，显然， 所以方盒的容积. 【小问2详解】 由（1）知，， 求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此当时，， 所以无盖方盒的容积的最大值为128，此时. 18. 已知在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.若从这10件产品中随机抽取4件进行检测， （1）求抽到一等品件数的分布列和数学期望； （2）设事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数不相等”，求事件的概率. 【答案】（1）分布列见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）明确的值可以为：0，1，2，3，分别求出对应的概率，可得的分布列. （2）先求，利用求解. 【小问1详解】 由题意：的值可以为：0，1，2，3，且： ，，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 . 【小问2详解】 事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数相等”，则二等品（或三等品）的件数记为，则可以为1，2， , 所以. 19. 已知函数（且）是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）若，且对于，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0； （2）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质得，求出值并验证即可. （2）由，求出的范围并判断的单调性，再脱去法则，参变分离求出函数的最小值即可. 【小问1详解】 由是定义在上的奇函数，得，解得， 当时，，，则为上的奇函数， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由，得，于是， 显然函数是上的单调递增函数， 又是定义在上的奇函数，由，得， 即，因此对，成立，当时，成立， 则对，， 而，当且仅当，即时取等号，从而， 所以实数的取值范围. 20. 已知函数，其中实数. （1）求在处的切线方程； （2）若在上的最大值是0，求的取值范围； （3）当时，证明：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）按分类，利用导数探讨函数的单调性，确定最值情况即可. （3）把代入，等价变形不等式，再构造函数，利用导数求出最小值并判断大于0即可. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以函数图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，，， 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，无最大值； 当时，由，得，函数在上单调递增， ，，则0不可能是在上的最大值； 当时，恒成立，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递减， ，，即0是在上的最大值， 所以的取值范围. 【小问3详解】 当时，，不等式， 令函数，求导得， 显然函数在上单调递增，而， 则存在，使得，即， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以恒成立，即成立. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $