精品解析：重庆市巴渝学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

2024年春季学期3月月考 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知点是平行四边形的对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的基本概念，结合图象即可得答案. 【详解】为相反向量，故A错误； 为相反向量，故B错误； 方向相反，故，C正确； 因为平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，故D错误. 故选：C 2. 已知，则等于（　　） A 10 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以. 故选：B. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与不是共线向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模与向量的定义可判断AB的正误，根据共线向量的定义可判断CD的正误. 【详解】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误. 对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误. 对于C，若，则必定共线，故，故C成立. 对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向， 故与可以为共线向量，故D错误. 故选： 4. 如图，在正六边形中，＋＋＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知,,代入条件根据向量加法的运算法则计算即可得到答案. 【详解】由题意可知: ,, 所以. 故选：D 5. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入投影向量公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：C 6. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 顶角为的等腰三角形 C. 顶角为的等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可得，即，再由两角差的正弦公式化简，可得，即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以，所以， 因为.所以， 所以的形状为顶角为的等腰三角形. 故选：B. 7. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 8. 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到，结合为锐角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范围即可. 【详解】因为，得． 由余弦定理得， 所以，即． 由正弦定理得， 因为，则， 所以，即． 因为是锐角三角形，所以，，所以． 又在上单调递增，所以，则． 因为是锐角三角形，所以，，， 所以， 由正弦定理得 ， 令，因为，所以． 在上单调递增， 当时，，当时，， 故 故选：C． 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 若是平面内一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于B，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于C，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于D，若存在实数使得，则，无解，所以与不共线，可以作为平面的基底， 故选：ABC 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，，，则符合条件的有两个 【答案】AC 【解析】 【分析】根据余弦函数的单调性、正弦定理、余弦定理、三角形的形状等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若为锐角三角形，则， ， 在上单调递减，所以，A选项正确. B选项，若， 则可能，此时三角形是直角三角形，所以B选项错误. C选项，若，则，由正弦定理得，所以C选项正确. D选项，若，，， 由余弦定理得， 所以符合条件的只有个，D选项错误. 故选：AC 11. 已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c=2．则下列结论正确（ ） A. △ABC面积的最大值为 B. 的最大值为 C. D. 的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围求出最大值；C选项，利用正弦定理进行求解；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围. 【详解】由余弦定理得：，解得：， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立， 所以，故，A正确； ， 其中由正弦定理得：， 所以 ， 因为，所以， 故最大值为，的最大值为， B正确； ， 故C错误； ， 因为，所以， 所以，D错误. 故选：AB 【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点，测得，，则两点之间距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理即可得解. 【详解】由余弦定理，得 ， . 故答案为：. 13. 中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据求解即可得答案. 【详解】因为这个三角形有两解，故满足， 即，解得. 故答案为： 14. 已知向量，，满足：，且，则的取值范围是______． 【答案】[1,5] 【解析】 【分析】先表示出，再利用数量积的性质，求出的范围即可. 【详解】∵， ∴， ， ∴，即 ∴， ，即. 故答案：. 四、解答题.本题共5小题，共77分. 15. 已知平面向量，，． （1）若，求x的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）或3 （2）1或 【解析】 【分析】（1）运用两向量垂直坐标公式计算即可. （2）运用两向量平行坐标公式计算可求得的值，结合向量线性运算及模的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 若，则． 整理得，解得或． 故的值为或． 【小问2详解】 若，则有，即，解得或． 当时，，，∴，∴． 当时，，，∴，∴． 综上，的值为1或． 16. 已知，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与平行，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用展开计算； （2）求出，，然后利用公式计算即可； （3）存在实数使，利用系数对应相等列方程组求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为， 所以，又， 所以，又， 所以与的夹角为； 小问3详解】 因为向量与平行， 所以存在实数使， 所以，解得. 17. 已知在中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）设向量，求当取最大值时，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再根据两角和的正弦公式结合三角形内角和定理即可得解； （2）根据数量积的坐标公式结合二倍角的余弦公式及二次函数的性质，求出取最大值时，的值，再结合三角形内角和定理及两角和的正切公式即可得出答案. 【小问1详解】 由题意， 所以， ，． ， ，； 【小问2详解】 ， 所以当时，取最大值， 此时 ， . 18. 已知，，． （1）求函数图象的对称轴方程； （2）求函数单调递增区间； （3）设的内角所对的边分别为，若且．求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的运算及三角恒等变换，结合三角函数的性质求解即可； （2）根据三角函数的性质求解单调递增区间; （3）由正弦定理可得，然后结合三角函数值域的求法求解即可． 【小问1详解】 由，， 则， 则，即， 故图象的对称轴方程为. 【小问2详解】 由（1）可知， 则在 单调递增， 故， 故单调递增区间为. 【小问3详解】 由，则,即， 由为的内角，则，故， 所以，则，又， 由正弦定理,得, 所以， 又,所以， 所以， 即的取值范围为. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 . 【小问3详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季学期3月月考 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知点是平行四边形的对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与不是共线向量 4. 如图，在正六边形中，＋＋＝（ ） A. B. C. D. 5. 向量在向量上的投影向量为（ ） A B. C. D. 6. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 顶角为的等腰三角形 C. 顶角为的等腰三角形 D. 等腰直角三角形 7. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，，，则符合条件的有两个 11. 已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c=2．则下列结论正确（ ） A. △ABC面积的最大值为 B. 的最大值为 C. D. 取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点，测得，，则两点之间的距离为________. 13. 中，角，，对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是________ 14. 已知向量，，满足：，且，则的取值范围是______． 四、解答题.本题共5小题，共77分. 15. 已知平面向量，，． （1）若，求x的值； （2）若，求的值． 16. 已知，且与夹角为120°，求： （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与平行，求实数的值. 17. 已知在中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）设向量，求当取最大值时，的值． 18. 已知，，． （1）求函数图象的对称轴方程； （2）求函数单调递增区间； （3）设的内角所对的边分别为，若且．求的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$