精品解析：北京市延庆区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

延庆区2023-2024学年第二学期期末试卷 八年级数学 一、选择题（共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为(　　) A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 4. 关于的一元二次方程的一个根是0，则实数a的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 用配方法解方程时，原方程应变形（ ） A. B. C. D. 6. 下图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件,则这个八边形的每个内角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点E在的延长线上，，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？ 甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等． 上述四名同学的说法中，正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙、丁 D. 甲、乙、丁 二、填空题 （共16分，每小题2分） 9. 方程x2＝4的解是_____． 10. 如图，矩形中，对角线交于点，如果，那么的度数为__________． 11. 一组数据3，2，4，7的方差为，则___________． 12. 若A（2，），B（3， ）是一次函数y= -3x+1的图像上的两个点，则与的大小关系是___________.（填“>”，“=”或“＜”） 13. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 92 95 95 92 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择___________． 14. 随着生活水平的提高，人们越来越关注健康的生活环境，家庭及办公场所对空气净化器的需求量逐月增多．经调查，某品牌的空气净化器今年三月份的销售量为8万台，五月份的销售量为9.68万台，若销售量的月平均增长率相同，均为x，则可列方程为________________________． 15. 在平面直角坐标系中，点为的顶点，则顶点D的坐标为_____________． 16. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论： ① ； ② ； ③ 当时，； ④． 其中正确的是____________（只填写序号）． 三、解答题（共68分，第17题10分，第18-21题，每小题5分，第22题4分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题7分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在四边形中，，, 过点作于点，连接． 求证：． 19. 在平面直角坐标系中，函数()与函数的图象交点为，与 y轴交于点A． （1）求k值； （2）求的面积． 20. 如图，在中，，点E是边的中点，过点A，点C分别作和的平行线，交于点D． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求长． 21. 已知关于x一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 22. 在数学课上，老师布置以下思考题： 已知：，点D为的中点． 求作：线段，使． 小智结合所学知识思考后，作法如下： ①分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； ②作直线，直线交于点E； ③连接． 所以就是所求作的线段． （1）请你利用直尺和圆规，依据小智的作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）请回答，小智尺规作图得到的依据是________________________． 23. 某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，请根据图象回答下列问题： （1）“基础电价”是____________元度； （2）求出当x＞240时，y与x的函数表达式； （3）若紫豪家六月份缴纳电费132元，求紫豪家这个月用电量为多少度？ 24. 某公园在绿化时，工作人员想利用如图所示的直角墙角（两边足够长）和长为米的篱笆围成一个矩形场地，其中边，为篱笆．如果矩形场地的面积是平方米，求矩形场地的长和宽各是多少米？ 25. 长城是中华民族的精神象征．某校为让更多的师生了解长城、保护长城，举办了以“讲好长城故事，传承长城文化，弘扬长城精神”为主题的演讲比赛，共有200名学生参加．为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，绘制的频数分布表与频数分布直方图的一部分如下（每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分）： 样本成绩频数分布表 分组/分 频数 频率 50～60 2 60～70 4 70～80 8 80～90 90～100 12 合计 样本成绩频数分布直方图 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a =________，b =________， c =________； （2）补全频数分布直方图； （3）若成绩在80分及以上为优秀，请你根据抽取的样本数据，估计参加这次比赛的200名学生中成绩优秀的约有多少名？ 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求该一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 27. 如图，点E是正方形内部一点，，连接AE，，过点C作交延长线于点F． （1）依题意补全图形，求的度数； （2）连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点P与图形W给出如下定义：N为图形W上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形W的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的“近点距离”为零． 如图1，点，． （1）点与线段的“近点距离”是 ；点与线段的“近点距离”是 ； （2）点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为2，那么点P的坐标是 ； （3）如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 延庆区2023-2024学年第二学期期末试卷 八年级数学 一、选择题（共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，解题的关键是：找到对称轴和对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形依次判断即可． 【详解】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意， B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意， C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意， D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 2. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是求函数自变量的取值范围、分式有意义的条件，解题关键是熟练掌握分式有意义的条件． 结合求函数自变量的取值范围、分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：要使函数有意义，， ． 故选：． 3. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为(　　) A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理求出BC，再根据菱形的四条边都相等解答． 【详解】∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴BC＝2EF＝2×2＝4， ∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 4. 关于的一元二次方程的一个根是0，则实数a的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程解，把代入方程得，然后解方程即可，解题的关键是熟记方程的解的含义． 【详解】解：把代入方程，得， 解得， 故选：A． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程—配方法，解题关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤． 利用解一元二次方程—配方法：先把二次项系数化为，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可解答． 【详解】解：根据配方法解方程， ， ． 故选：． 6. 下图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件,则这个八边形的每个内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，列式计算即可得解． 【详解】解：这个正八边形每个内角的度数=×（8-2）×180°=135°． 故选D 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 7. 如图，在中，点E在的延长线上，，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：C． 8. 学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？ 甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等． 上述四名同学的说法中，正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙、丁 D. 甲、乙、丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定定理，熟记这些判定定理才能够正确做出判断． 根据正方形的判定方法进行解答即可．正方形的判定定理有：对角线相等的菱形；对角线互相垂直的矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形． 【详解】解：甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，故说法正确； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，故说法正确； 丙同学说：先判定四边形对角线相等，再确定对角线互相垂直，还需要对角线互相平分，故说法错误； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等，故说法正确； 故选：D． 二、填空题 （共16分，每小题2分） 9. 方程x2＝4的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接运用开平方法解答即可． 【详解】解：∵x2＝4 ∴x＝=． 故答案为x=． 【点睛】本题主要考查了运用开平方法求解一元二次方程，牢记运用开平方法求的平方根而不是算术平方根是解答本题的关键，也是解答本题的易错点． 10. 如图，矩形中，对角线交于点，如果，那么的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质，可得∠BAD的度数，OA与OB的关系，根据等边三角形的判定和性质，可得答案． 【详解】∵ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°． ∵∠ADB=30°， ∴∠ABD=90°﹣∠ADB=60°． ∵OA=OB， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠AOB=60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出∠ABD的度数是解答本题的关键． 11. 一组数据3，2，4，7的方差为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差的有关计算，熟练掌握方差计算公式是解题关键，若一组数据、……，为平均数，那么该组数据的方差为：． 先求出该组数据的平均数，再利用方差公式计算求解即可． 【详解】解：∵平均数为 ∴， 故答案为：． 12. 若A（2，），B（3， ）是一次函数y= -3x+1的图像上的两个点，则与的大小关系是___________.（填“>”，“=”或“＜”） 【答案】> 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当k＜0时，y随x的增大而减小，判断即可． 【详解】因为A（2，），B（3， ）是一次函数y= -3x+1的图像上的两个点， 且k=-3＜0时， 所以y随x增大而减小， 因为2＜3， 所以＞， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 13. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 92 95 95 92 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择___________． 【答案】乙 【解析】 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛． 【详解】解：∵3.6＜7.4＜8.1， ∴甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定， ∵95＞92， ∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高， ∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙． 故答案为：乙 【点睛】此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 14. 随着生活水平的提高，人们越来越关注健康的生活环境，家庭及办公场所对空气净化器的需求量逐月增多．经调查，某品牌的空气净化器今年三月份的销售量为8万台，五月份的销售量为9.68万台，若销售量的月平均增长率相同，均为x，则可列方程为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． 设销售量的月平均增长率x，根据题意可直接列方程即可． 【详解】解：设销售量的月平均增长率x， 则根据题意得：． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点为的顶点，则顶点D的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、坐标与图形等知识点，掌握平行四边形的对角线相互平分成为解题的关键． 设点D的坐标为，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，然后解方程即可解答． 【详解】解：设点D的坐标为， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得，解得：， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 16. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论： ① ； ② ； ③ 当时，； ④． 其中正确的是____________（只填写序号）． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是掌握正比例函数和一次函数的性质．根据正比例函数和一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：因为正比例函数经过一、三象限， 所以，故①正确； 一次函数经过一、二、四象限， 所以，故②错误； 由图像可得，当时， 故③错误； 正比例函数与一次函数的图象交于点 则 则 故④正确； 故答案为：①④ 三、解答题（共68分，第17题10分，第18-21题，每小题5分，第22题4分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题7分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【小问1详解】 . 解：. . . . ∴原方程的解为，． 【小问2详解】 解：，，． ． ∴． ∴原方程的解为，． 18. 如图，在四边形中，，, 过点作于点，连接． 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平行线的性质可得，，再根据，即可得，从而得出四边形是矩形，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 19. 在平面直角坐标系中，函数()与函数的图象交点为，与 y轴交于点A． （1）求k的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质： （1）根据在上求出m的值，再将点P坐标代入即可求出k的值； （2）先求出直线()与y轴的交点A的坐标，则． 【小问1详解】 解：∵在上， ∴． ∵过点， ∴． ∴ ． 【小问2详解】 解：∵直线()与y轴交于点A， ∴． ∴． 20. 如图，在中，，点E是边的中点，过点A，点C分别作和的平行线，交于点D． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据直角三角形斜边中线的性质得出，进而可得结论； （2）先根据菱形的性质求出，再根据含直角三角形的性质求出，然后利用勾股定理计算出即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，点E是边的中点， ∴， ∴是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形为菱形，， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解不等式，对于（1），根据题意可知，再求出解即可； 对于（2），根据取值范围求出m的值，再求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：依题意，得 ． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：∵m为满足条件的最大整数， ∴． ∴， ∴． 22. 在数学课上，老师布置以下思考题： 已知：，点D为的中点． 求作：线段，使． 小智结合所学知识思考后，作法如下： ①分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； ②作直线，直线交于点E； ③连接． 所以就是所求作的线段． （1）请你利用直尺和圆规，依据小智的作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）请回答，小智尺规作图得到的依据是________________________． 【答案】（1）详见解析 （2）三角形的中位线平行于第三边 【解析】 【分析】（1）根据小智的作法补全图形补全图形即可； （2）由垂直平分线的概念得到点E是的中点，然后证明出是的中位线，进而证明． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 由作图可得，垂直平分 ∴点E是的中点 ∵点D为的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴的依据是三角形的中位线平行于第三边． 23. 某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，请根据图象回答下列问题： （1）“基础电价”是____________元度； （2）求出当x＞240时，y与x的函数表达式； （3）若紫豪家六月份缴纳电费132元，求紫豪家这个月用电量为多少度？ 【答案】（1）0.5（2）y=0.6x-24（3）紫豪家这个月用电量为260度 【解析】 【分析】（1）由用电240度费用为120元可得； （2）当x>240时，待定系数法求解可得此时函数解析式； （3）由132>120知，可将y=132代入（2）中函数解析式求解可得． 【详解】（1）“基础电价”是120÷240=0.5元/度， 故答案为0.5； （2）设表达式为y=kx+b(k≠0)， ∵过A（240，120），B（400，216）， ∴， 解得∶， ∴表达式为y=0.6x-24； （3）∵132＞120， ∴当y=132时，0.6x-24=132， ∴x=260， 答：紫豪家这个月用电量为260度． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及一次函数的图象、待定系数法等，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，理解每个区间的实际意义是解题关键． 24. 某公园在绿化时，工作人员想利用如图所示的直角墙角（两边足够长）和长为米的篱笆围成一个矩形场地，其中边，为篱笆．如果矩形场地的面积是平方米，求矩形场地的长和宽各是多少米？ 【答案】矩形场地的长为米，宽为米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练根据题意列出式子是解题的关键．设矩形场地的长为米，则宽为米，根据面积是平方米列式求解即可，注意长大于宽． 【详解】解：设矩形场地的长为米，则宽为米， 由题意得：， 化简得：， 解得：， 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； ∴，， 答：矩形场地的长为米，宽为米． 25. 长城是中华民族的精神象征．某校为让更多的师生了解长城、保护长城，举办了以“讲好长城故事，传承长城文化，弘扬长城精神”为主题的演讲比赛，共有200名学生参加．为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，绘制的频数分布表与频数分布直方图的一部分如下（每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分）： 样本成绩频数分布表 分组/分 频数 频率 50～60 2 60～70 4 70～80 8 80～90 90～100 12 合计 样本成绩频数分布直方图 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a =________，b =________， c =________； （2）补全频数分布直方图； （3）若成绩在80分及以上为优秀，请你根据抽取的样本数据，估计参加这次比赛的200名学生中成绩优秀的约有多少名？ 【答案】（1），， （2）见解析 （3）180人 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、画频数分布图、用样本估计整体等知识点，从频数分布直方图中获取信息成为解题的关键． （1）由的频数与频率求得抽取总数，再根据频数=总数×频率可得a，频率=频数÷总数可分别求得a、c的值即可； （2）根据（1）中所求结果补全直方图即可； （3）用总人数乘以样本中80及80分以上人数的频率和即可解答． 【小问1详解】 解：抽取总数（人） ∴，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由（1）的频数为14，故补全条形统计图如图： 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校参加比赛的200名学生中成绩优秀的有130名． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求该一次函数表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，一次函数与不等式， （1）根据平移的性质可知k，再将点的坐标代入求出b，可得答案； （2）当时，，得，即可得答案． 【小问1详解】 ∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴． ∵一次函数经过点， ∴， ∴一次函数关系式为； 【小问2详解】 ．理由如下： 由题意可知，当时，，得， 当时，， ∴ ∴当时，函数的值大于一次函数的值． 27. 如图，点E是正方形内部一点，，连接AE，，过点C作交的延长线于点F． （1）依题意补全图形，求的度数； （2）连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），详见解析 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定， （1）首先根据题意做出图形，然后得到，设，，根据四边形的内角和为得到，进而求解即可； （2）作，交于点H，得到是等腰直角三角形，表示出，然后证明出，得到是等腰直角三角形，进而求解即可． 【小问1详解】 如图， 解：∵正方形， ∴，． ∵， ∴． ∴设，． ∵四边形的内角和为， ∴． ∴． ∴． ∴； 【小问2详解】 数量关系是． 如图，作，交于点H． ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∵，设，． ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∵正方形， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∵， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于点P与图形W给出如下定义：N为图形W上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形W的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的“近点距离”为零． 如图1，点，． （1）点与线段的“近点距离”是 ；点与线段的“近点距离”是 ； （2）点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为2，那么点P的坐标是 ； （3）如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）1； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）画出图形，直接利用新定义结合勾股定理可得答案； （2）画出图形，分两种情况利用数形结合的方法，一次函数的性质与勾股定理解答即可； （3）如图，过作直线，则线段的长度为点G与四边形的“近点距离”，求解直线为，过作轴于，如图，过作直线，则线段的长度为点G与四边形的“近点距离”由平移可得：，同理可得：直线为，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵，， ∴点与线段的“近点距离”是； ∵，， ∴， ∴点与线段的“近点距离”是； 【小问2详解】 解：如图，当在的左边时， 当时，最小， ∵点P与线段的“近点距离”为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当在的右边时，如图中的， ∴， 过作轴的平行线，过作轴的垂线，交点为， ∵直线为， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过作直线，则线段的长度为点G与四边形的“近点距离” ∵一次函数， ∴， ∴， ∴设， ∴，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∴， 当时，， 过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过作直线，则线段的长度为点G与四边形的“近点距离” ∵由平移可得：， 同理可得：直线为， ∴， ∴， 当时，则， 过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，b的取值范围为． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，一次函数的几何应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，平移的性质，理解题意是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$