精品解析：湖南省湘西土家族苗族自治州2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

湖南湘西州2024年上学期期末教学质量检测试题卷 八年级数学 考生注意：本试卷共三道大题，26小题，时量120分钟，满分120分． 一、单选题（本题共10个小题，共计30分） 1. 若二次根式有意义，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则（ ）． A. 4 B. 5 C. 2.4 D. 2 3. 若正比例函数的图象经过点，则a的值为（ ）． A. B. 2 C. 0.5 D. 4. 在中，如果，那么的度数是（ ）． A B. C. D. 5. 某校八年级进行了三次米跑步测试．甲、乙、丙、丁四名同学成绩的方差分别为，，，，那么这四名同学数学成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）． A B. C. D. 7. 正常人的体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同，如图反映了一天24小时内小红的体温变化情况，下列说法错误的是（ ） A. 清晨5时体温最低 B. 下午17时体温最高 C. 这一天小红体温（）的范围是36.5≤≤37.5 D. 从17时至24时，小红体温一直是升高的 8. 如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A. 70m B. 80m C. 90m D. 100m 9. 某班级共有41人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按40人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是88，中位数是85．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为88分，关于该班级41人的体质测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均数不变，中位数变大 B. 平均数不变，中位数无法确定 C. 平均数变大，中位数变大 D. 平均数不变，中位数变小 10. 如图，中，cm，，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为10cm时点E的运动时间是（ ） A. 6s B. 6s或10s C. 8s D. 8s或12s 二、填空题（本题共8个小题，共计24分） 11. 计算__________． 12. 一次函数的图象不经过第___________象限． 13. 某学生数学课堂表现为90分、平时作业为90分、期末考试为85分，若这三项成绩分别按、、的比例计入总评成绩，则该生数学总评成绩是__________分． 14. 如图，数轴上点A表示的实数是__________． 15. 菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是__________． 16. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的面积都等于4，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都不变，则这两个正方形重叠部分的面积为__________． 17. 在中，已知，，则该直角三角形斜边上高为__________． 18. 已知，是一次函数图象上不同的两个点，若，则的取值范围是__________． 三、解答题（本题共8个小题，共计66分） 19. 计算：． 20. 如图所示，四边形中，，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 21. 如图，已知一次函数与正比例函数图像相交于点A，与x轴交于点B． （1）求点A的坐标； （2）求的面积． 22. 如图，在四边形中，，，点是边上一点，点是的中点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 23. 为加大湘西自治州生态建设和造林绿化力度，让湘西的山山水水变得更绿，家家户户的庭院变得更美，幸福小区的居民积极参与了4月义务植树活动．为了了解幸福小区300户家庭在4月份义务植树的数量，小芳同学进行了抽样调查，随机抽取了其中30户家庭，收集A家庭/户的数据如下（单位：棵）：1；1；2；3；2；3；2；3；3；4；3；3；4；3；3；5；3；4；3；4；4；5；4；5；3；4；3；4；5；6 抽样调查小区30户家庭4月份义务植树数量统计图 （1）对以上数据进行整理、描述和分析： ①绘制如图的统计图，请补充完整； ②这30户家庭4月份义务植树数量的平均数是__________，众数是__________，中位数是__________． （2）“互联网+全民义务植树”是新时代全民义务植树组织形式和尽责方式一大创新，在幸福小区所调查的这30户家庭中有8户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计，该小区采用网上预约义务植树这种方式的家庭有多少户？ 24. 湘西自治州为加快义务教育城乡一体化建设，办好乡镇寄宿制学校，加强县域高中建设，实施教育数字化战略行动，统筹推进乡村教育振兴和教育振兴乡村工作，大力促进教育公平．在教育数字化进程中，多媒体的作用不可小觑．某教育科技公司销售A，B两种多媒体教学设备，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 24 售价（万元/套） 3.3 2.8 该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备共50套， 设购进A种多媒体设备x套，利润为y万元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进A种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 25. 【阅读教材】已知：如图1，在中，D、E分别是边的中点（即是的中位线）．求证：且． 【问题探究】（1）小明和小华同学在学习探究三角形的中位线的性质定理的时候，分别采用了不同添加辅助线的办法来探究，请你认真审题后选择其中一种方法，完成证明． 小明：我的方法是如图2，过点C作的平行线交的延长线于点F． 小华：我的方法是如图3，过点E作的平行线交于点N，过点A作的平行线交的延长线于点M． 【知识应用】（2）如图4，点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点，顺次连接各边中点，得到四边形．请探究四边形对角线满足什么关系时，四边形是正方形？并说明理由． 【拓展应用】（3）如图5，在四边形中，，，E，F分别为的中点，若线段，，则__________． 26. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“芙蓉点”，经过点的函数，称为“芙蓉函数” （1）函数①；②；③，其中函数__________（填序号）是“芙蓉函数”； （2）已知“芙蓉函数”的图像经过点，求该“芙蓉函数”的解析式； （3）若直线与x轴、y轴分别交于点，M是y轴上一点，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“芙蓉函数”？若可以，请直接写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南湘西州2024年上学期期末教学质量检测试题卷 八年级数学 考生注意：本试卷共三道大题，26小题，时量120分钟，满分120分． 一、单选题（本题共10个小题，共计30分） 1. 若二次根式有意义，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴a-1≥0， ∴a≥1， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 中，，，，则（ ）． A. 4 B. 5 C. 2.4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理直接计算即可；掌握勾股定理内容是关键． 【详解】解：，，， ； 故选：B． 3. 若正比例函数的图象经过点，则a的值为（ ）． A. B. 2 C. 0.5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征：函数图象经过点，则该点的坐标满足函数解析式；据此解答即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ， 即； 故选：B． 4. 在中，如果，那么的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等；由此性质即可求解． 【详解】解：在中，与是对角， 所以； 故选：C． 5. 某校八年级进行了三次米跑步测试．甲、乙、丙、丁四名同学成绩的方差分别为，，，，那么这四名同学数学成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的意义进行判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴这四名同学数学成绩最稳定的是甲同学， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 6. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，最简二次根式要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；掌握这两个条件是关键；根据这两个条件逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、被开方数是分数，故含有分母，不是最简二次根式，故不符合题意； C、被开方数是开得尽方的整式，不是最简二次根式，故不符合题意； D、被开方数8里有开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：A． 7. 正常人的体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同，如图反映了一天24小时内小红的体温变化情况，下列说法错误的是（ ） A. 清晨5时体温最低 B. 下午17时体温最高 C. 这一天小红体温（）的范围是36.5≤≤37.5 D. 从17时至24时，小红体温一直是升高的 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象中的信息对各选项进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，清晨5时体温最低，故A正确，不符合题意； 下午17时体温最高，故B正确，不符合题意； 这一天小红体温的范围是，故C正确，不符合题意； 从17时至24时，小红体温一直是下降的，故D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了函数的图象．解题的关键在于从图象中获取正确的信息． 8. 如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A. 70m B. 80m C. 90m D. 100m 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°， ，， ∴， 即20s后他们之间的距离为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9. 某班级共有41人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按40人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是88，中位数是85．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为88分，关于该班级41人的体质测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均数不变，中位数变大 B. 平均数不变，中位数无法确定 C. 平均数变大，中位数变大 D. 平均数不变，中位数变小 【答案】B 【解析】 【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，依此计算即可求解． 【详解】解：∵缺席集体测试的同学的成绩和其他40人的平均数相同，都是88分， ∴该班41人的测试成绩的平均分为88分不变， 中位数是从小到大第21个人的成绩，原来是第20个和第21个人成绩的平均数，中位数可能不变，可能变大，故中位数无法确定． 故选：B． 【点睛】本题考查中位数，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，中，cm，，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为10cm时点E的运动时间是（ ） A. 6s B. 6s或10s C. 8s D. 8s或12s 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点G，由，可得是等腰直角三角形，过点F作于点H，得矩形，利用勾股定理得，由题意可得，，然后列方程求出t的值即可． 【详解】解：在中，cm， 如图，过点D作于点G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点F作于点H，则：四边形为矩形， ∴， ∵cm， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴cm， ∴， 解得， ∴的长为10cm时，点E的运动时间是8s， 由题意可知，点E运动最大时间为11s. 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，构造直角三角形，是解题的关键． 二、填空题（本题共8个小题，共计24分） 11. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法：，利用此法则直接求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 一次函数的图象不经过第___________象限． 【答案】二； 【解析】 【分析】根据题意可得一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可求解． 详解】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴不经过第二象限． 故答案为：二 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键． 13. 某学生数学课堂表现为90分、平时作业为90分、期末考试为85分，若这三项成绩分别按、、的比例计入总评成绩，则该生数学总评成绩是__________分． 【答案】88 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，属于基本题型，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题关键．根据加权平均数的计算方法解答即可． 【详解】解：该学生数学学科总评成绩分． 故答案为：88． 14. 如图，数轴上点A表示的实数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数；理解任意实数都可以用数轴上的点表示；由图知直角三角形的斜边长为，则点A表示的数可确定． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， 所以点A表示的数为； 故答案为：． 15. 菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要查了菱形的性质，根据菱形的面积公式计算，即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别是和 ∴． 故答案为：9． 16. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的面积都等于4，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都不变，则这两个正方形重叠部分的面积为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，，，，，从而可得，再根据等式的性质可得，然后利用证明，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ，，，，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 这两个正方形重叠部分的面积为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 17. 在中，已知，，则该直角三角形斜边上的高为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，涉及等面积法求高，分类讨论思想；分两种情况：是直角边，是斜边；是直角边，是斜边；利用勾股定理求出边，再利用面积关系建立方程求高． 【详解】解：设斜边上的高为h； 当是直角边，是斜边时， 由勾股定理得：， 因为， 则； 当是直角边，是斜边时， 由勾股定理得：， 因为， 则； 故答案为：或． 18. 已知，是一次函数图象上不同的两个点，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及不等式求解，根据一次函数的性质即可求出的范围． 【详解】是一次函数图像上不同的两个点 两式相减可得： 即： 故答案为：． 三、解答题（本题共8个小题，共计66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； 先算二次根式的乘法，再算二次根式的加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. 如图所示，四边形中，，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理是关键； （1）由勾股定理求得的长，由勾股定理逆定理可判断即可； （2）由即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 21. 如图，已知一次函数与正比例函数图像相交于点A，与x轴交于点B． （1）求点A的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，两条直线相交与坐标轴围成的三角形面积，正确求出点A的坐标是关键； （1）解两个函数表达式组成方程组即可得点A的坐标； （2）求出一次函数与x轴的交点B的坐标，则可求得长度，从而求得结果． 【小问1详解】 解：解方程组，得， ∴． 【小问2详解】 解：把代入得：， ∴， ∴且点A到的距离为4， ∴． 22. 如图，在四边形中，，，点是边上一点，点是的中点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关的知识． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，，，再根据勾股定理求出，进而求出，其次根据勾股定理求出，最后根据直角三角形的斜边中线定理即可求解． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 点是的中点， 是直角三角形斜边上的中线， ． 23. 为加大湘西自治州生态建设和造林绿化力度，让湘西的山山水水变得更绿，家家户户的庭院变得更美，幸福小区的居民积极参与了4月义务植树活动．为了了解幸福小区300户家庭在4月份义务植树的数量，小芳同学进行了抽样调查，随机抽取了其中30户家庭，收集A家庭/户的数据如下（单位：棵）：1；1；2；3；2；3；2；3；3；4；3；3；4；3；3；5；3；4；3；4；4；5；4；5；3；4；3；4；5；6 抽样调查小区30户家庭4月份义务植树数量统计图 （1）对以上数据进行整理、描述和分析： ①绘制如图的统计图，请补充完整； ②这30户家庭4月份义务植树数量的平均数是__________，众数是__________，中位数是__________． （2）“互联网+全民义务植树”是新时代全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，在幸福小区所调查的这30户家庭中有8户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计，该小区采用网上预约义务植树这种方式的家庭有多少户？ 【答案】（1）①见解析；②3.4；3；3 （2）80户 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握众数、平均数的定义及样本估计总体思想的运用． （1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，据此补全图形可得；②根据平均数、众数和中位数的定义求解可得； （2）用总户数乘以样本中采用了网上预约义务植树这种方式的户数所占比例可得． 【小问1详解】 解：（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人， 补全图形如下： ②这30户家庭 4月份义务植树数量的平均数是（棵），众数为3棵，中位数为， 故答案为：3.4、3，3； 【小问2详解】 解：估计该小区采用这种形式的家庭有 故答案为：80． 24. 湘西自治州为加快义务教育城乡一体化建设，办好乡镇寄宿制学校，加强县域高中建设，实施教育数字化战略行动，统筹推进乡村教育振兴和教育振兴乡村工作，大力促进教育公平．在教育数字化进程中，多媒体的作用不可小觑．某教育科技公司销售A，B两种多媒体教学设备，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备共50套， 设购进A种多媒体设备x套，利润为y万元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进A种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 【答案】（1） （2）购进A种多媒体设备10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用一次函数的性质求最值： （1）设购进A种多媒体设备x套，则购进B种多媒体设备套，根据利润售价进价销量，即可列出y与x之间的函数关系式； （2）先求出x的取值范围，再结合一次函数的性质，求出利润的最大值即可． 【小问1详解】 解：设购进A种多媒体设备x套，则购进B种多媒体设备套， 由题意可得：， ∴y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得． 在中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，此时． 答：购进A种多媒体设备10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元． 25. 【阅读教材】已知：如图1，在中，D、E分别是边的中点（即是的中位线）．求证：且． 【问题探究】（1）小明和小华同学在学习探究三角形的中位线的性质定理的时候，分别采用了不同添加辅助线的办法来探究，请你认真审题后选择其中一种方法，完成证明． 小明：我的方法是如图2，过点C作的平行线交的延长线于点F． 小华：我的方法是如图3，过点E作的平行线交于点N，过点A作的平行线交的延长线于点M． 【知识应用】（2）如图4，点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点，顺次连接各边中点，得到四边形．请探究四边形对角线满足什么关系时，四边形是正方形？并说明理由． 【拓展应用】（3）如图5，在四边形中，，，E，F分别为的中点，若线段，，则__________． 【答案】（1）见解析；（2）垂直且相等，理由见解析；（3）7 【解析】 【分析】（1）小明的方法：证明，得，；再证明四边形是平行四边形，则，，从而得结论； 小华的方法：，得；再证明四边形是平行四边形，得，从而得，，则得四边形是平行四边形，则，从而得结论； （2）相等时，则可得四边形是菱形，垂直时得四边形是矩形，从而是正方形； （3）连接并延长交的延长线于点G，证明，则，，得是中位线，则由三角形中位线定理可求得结果． 【详解】证明：（1）小明的方法：如图，过点C作的平行线交的延长线于点F． 则； 点是的中点， ； ， ， ，； ； 点是的中点， ； ； ， 四边形是平行四边形， ，， ，； 小华的方法：如图，过点E作的平行线交于点N，过点A作的平行线交的延长线于点M．则； 点是的中点， ； ， ； 即； 点是中点， ； 即； ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ； （2）解：相等且垂直时，四边形是正方形； ∵点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点， ∴， ， ， 即四边形菱形； ∵点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点， ，； ，， ； ， ， ∴四边形是正方形； （3）解：如图，连接并延长交的延长线于点G； ， ； 分别为的中点， ， ， ，， 即F点是的中点， ∵点E是的中点， 是中位线， ， ． 故答案为：7． 【点睛】本题是三角形与四边形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，构造全等三角形是本题的关键． 26. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“芙蓉点”，经过点的函数，称为“芙蓉函数” （1）函数①；②；③，其中函数__________（填序号）是“芙蓉函数”； （2）已知“芙蓉函数”的图像经过点，求该“芙蓉函数”的解析式； （3）若直线与x轴、y轴分别交于点，M是y轴上一点，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“芙蓉函数”？若可以，请直接写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）② （2） （3）可以， 【解析】 【分析】本题考查求函数值，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何的综合应用： （1）根据“芙蓉函数”的定义进行判断即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据题意分点M在y轴正半轴上和点M在y轴负半轴上两种情况讨论，分别根据“芙蓉函数”的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，对于，可得：， ∴图像不经过；故①不是“芙蓉函数”； 对于，可得：， ∴图像经过；故②是“芙蓉函数”； 对于，可得：； ∴图像不经过；故③不是“芙蓉函数”； 故答案为：②； 【小问2详解】 ∵“芙蓉函数”的图像经过点， ∴的图像经过， ∴，解得：， ∴； 【小问3详解】 可以； ①如图所示，当点M在y轴正半轴上时， 设沿直线将折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有， 由直线可得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 设M点坐标为，则，， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为，将，代入， 得： 解得，． ∴ ∴若该函数为“芙蓉函数”，则直线过“芙蓉点”． ∴， 解得（与矛盾，舍去）， ∴此时，不存在“芙蓉函数”． ②如图所示，当点M在y轴负半轴上时， ， 设M点坐标为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，又， 同理，用待定系数法可求得直线解析式为：， 若该函数为“芙蓉函数”，则直线过“芙蓉点”． ∴，得． ∴， 综上所述，存在“芙蓉函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $