预习13幂函数（八大考点）-2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019）

2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习13幂函数 一、幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 二、常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 考点01 幂函数的概念 【方法点拨】判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. 【例1】在函数①，②， ③， ④， ⑤，⑥中，是幂函数的是（　　） A．①②④⑤ B．①⑤⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 【例2】下列函数中，不是幂函数的是（    ） A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2 【变式1-1】函数是幂函数，则实数的值为 ． 【变式1-2】（多选）下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）下列函数中是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 考点02 幂函数的解析式 【方法点拨】借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． 【例3】已知幂函数的图象过点，则（    ） A．-4 B．-3 C． D．3 【例4】已知幂函数 为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数m的值. 【变式2-1】若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 【变式2-2】幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是 . 【变式2-3】幂函数在上是减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．2 D．或 考点03 幂函数的图象 【方法点拨】（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴(简记为指大图低)；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴(简记为指大图高)． （2）依据图象确定幂指数与的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断． 【例5】函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【例6】已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3-1】若幂函数的图象经过第三象限，则的值可以是（    ） A．-2 B．2 C． D．3 【变式3-2】已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 考点04 幂函数的定义域 【例7】若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【例8】求函数的定义域. 【变式4-1】下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】若幂函数的定义域为，求实数的值. 考点05 幂函数的值域 【例9】幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【例10】（多选）下列函数中，定义域和值域都是的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】函数的值域为 . 【变式5-2】函数的值域为 . 【变式5-3】已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 考点06 利用幂函数的性质比较大小 【方法点拨】（1）若指数相同，底数不同，则考虑幂函数． （2）若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解． （3）若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小． 【例11】已知，则（    ） A． B． C． D． 【例12】已知，，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式6-1】（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】利用函数的性质比较，，. 【变式6-3】比较下列各组数的大小. (1)与； (2)与. 考点07 幂函数的单调性 【例13】已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 . 【例14】已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【变式7-1】已知函数，则其单调增区间为 . 【变式7-2】已知幂函数的图象经过点，则的增区间为 ． 【变式7-3】已知函数是上的增函数，则的取值范围是 ；的值为 . 考点08 利用幂函数的单调性解不等式 【例15】已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 . 【例16】已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为 【变式8-1】已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ；不等式的解集为 . 【变式8-2】已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 . 【变式8-3】已知，求实数的取值范围. 一、单选题 1．下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 2．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 4．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．是偶函数 5．若幂函数的图像过点，则不等式的解集为（    ） A．，， B． C． D． 二、多选题 6．若幂函数的图像经过，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的定义域是 D．为偶函数 7．已知函数 ，则以下说法正确的是（     ） A．若，则是R上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 三、填空题 8．的单调增区间为 9．已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 四、解答题 10．已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 11．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 12．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 13．已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 14．已知幂函数的图象过点 (1)解不等式：； (2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习13幂函数 一、幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 二、常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 考点01 幂函数的概念 【方法点拨】判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. 【例1】在函数①，②， ③， ④， ⑤，⑥中，是幂函数的是（　　） A．①②④⑤ B．①⑤⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 【答案】B 【详解】解：根据幂函数的定义：幂函数是形如 的函数。 在函数中： ①是的情形，是幂函数； ②系数是 ，不是幂函数； ③系数是， 是一次函数，不是幂函数； ④不是幂函数，； ⑤是的情形，是幂函数； ⑥是的情形，是幂函数。 故是幂函数的有①⑤⑥， 故选：B 【点睛】本题主要考查幂函数的定义，属于基础题． 【例2】下列函数中，不是幂函数的是（    ） A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2 【答案】A 【详解】为指数函数； ，，为幂函数； 故选：A. 【变式1-1】函数是幂函数，则实数的值为 ． 【答案】或 【详解】由题意，解得m=2或-1 【变式1-2】（多选）下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意. 故选：BD. 【变式1-3】（多选）下列函数中是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】解：幂函数是形如（为常数）的函数，A是的情形，D是的情形，所以A和D都是幂函数；B中的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数． 故选：AD. 考点02 幂函数的解析式 【方法点拨】借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． 【例3】已知幂函数的图象过点，则（    ） A．-4 B．-3 C． D．3 【答案】C 【详解】设幂函数，代入点， 得，解得， 所以， 则， 故选：C． 【例4】已知幂函数 为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）由为幂函数，得，得或， 而为偶函数，则， 所以的解析式为. （2）由为偶函数且，得，即或， 所以或. 【变式2-1】若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 【答案】16 【详解】设，由可得可得. 故，则. 故答案为：16 【变式2-2】幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是 . 【答案】 【详解】将代入可得，解得， 故答案为： 【变式2-3】幂函数在上是减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．2 D．或 【答案】B 【详解】由题意可知，，解得：或， 当时，，函数在上是减函数，成立， 当时，，函数在上是增函数，不成立， 所以. 故选：B 考点03 幂函数的图象 【方法点拨】（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴(简记为指大图低)；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴(简记为指大图高)． （2）依据图象确定幂指数与的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断． 【例5】函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数的大致图像. 故选：A. 【例6】已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 故选：C. 【变式3-1】若幂函数的图象经过第三象限，则的值可以是（    ） A．-2 B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】A：当时，，图像为：    故A错误； B：当时，，图像为：    故B错误； C：当时，，图像为：    故C错误； D：当时，，图像为：    故D正确； 故选：D 【变式3-2】已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 【变式3-3】幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 考点04 幂函数的定义域 【例7】若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 【例8】求函数的定义域. 【答案】 【详解】由题意，，解得. 即函数的定义域为 【变式4-1】下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案． 【解答】，定义域为， ，定义域为， ，定义域为， ，定义域为． 故选：C． 【变式4-2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则 ∴，即. 故选：C. 【变式4-3】若幂函数的定义域为，求实数的值. 【答案】 【详解】因为是幂函数， 所以，解得，或. 当时，，即，定义域为，满足题意； 当时，，即，定义域为，故不满足题意. 综上所述，实数的值为. 考点05 幂函数的值域 【例9】幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 代入点得 ， 则，令， 函数的值域是. 故选：C. 【例10】（多选）下列函数中，定义域和值域都是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】解：函数和的定义域和值域都是，则A，D正确； 函数的值域是，则B错误； 函数的定义域是，则C错误. 故选：AD. 【变式5-1】函数的值域为 . 【答案】 【详解】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 【变式5-2】函数的值域为 . 【答案】 【详解】时，， 时，， 所以的值域为. 故答案为： 【变式5-3】已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 整理得，即或（舍去）， 则，故． （2）由（1）可知，． 因为，所以，，所以． 故在上的值域为． 考点06 利用幂函数的性质比较大小 【方法点拨】（1）若指数相同，底数不同，则考虑幂函数． （2）若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解． （3）若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小． 【例11】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由单调递增， 则可知， 由单调递增， 又，可得 所以． 故选：C． 【例12】已知，，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递增， 所以， 即“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式6-1】（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A，取，满足， 则，，故A错误； 选项B，若，由幂函数在上单调递增， 得，故B正确； 选项C，若，则， 所以，即，故C正确； 选项D，由，且，由不等式的性质，两边同除以得， ，即，故D成立. 故选：BCD. 【变式6-2】利用函数的性质比较，，. 【答案】 【详解】把同分母可得，. 因为幂函数在上单调递增，所以， 故. 【变式6-3】比较下列各组数的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）根据题意，结合幂函数的单调性，即可求解； （2）根据题意，结合函数的单调性，即可求解. （2）（1）解：由幂函数在定义域为单调递减函数， 因为，所以. （2）解：由幂函数的定义域为， 且在为单调递减函数，又由， 所以函数为奇函数，所以在为递减函数， 又因为，所以. 考点07 幂函数的单调性 【例13】已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为对，则在上为减函数， 又因为幂函数（为常数），当不经过原点时，即可， 故可取. 故答案为：（答案不唯一）. 【例14】已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【答案】C 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得. 故选：C. 【变式7-1】已知函数，则其单调增区间为 . 【答案】/ 【详解】，函数的定义域为， 令，则当单调递减，在单调递增， ，在定义域内单调递增， 在单调递增， 故答案为： 【变式7-2】已知幂函数的图象经过点，则的增区间为 ． 【答案】 【详解】由题意设幂函数为，则，所以，解得，所以，其定义域为， 而关于在上分别单调递减、单调递增， 关于在定义域内单调递增，在均是单调递减， 由复合函数单调性可知在上分别单调递增、单调递减. 故答案为：. 【变式7-3】已知函数是上的增函数，则的取值范围是 ；的值为 . 【答案】 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 要使函数是上的增函数， 所以，解得； 所以. 故答案为：； 考点08 利用幂函数的单调性解不等式 【例15】已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为为幂函数，所以，则， 故的定义域为，且在定义域上为增函数， 所以由，可得，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 【例16】已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】由函数为幂函数得，解得或，又 函数在上是减函数，则，即， 所以，所以； 所以不等式为， 设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-1】已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ；不等式的解集为 . 【答案】 【详解】设幂函数，依题意，，即，因此，解得， 所以函数的解析式为； 显然函数在上单调递减，且， 于是不等式为：，解得，即或， 所以不等式的解集为. 故答案为：； 【变式8-2】已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由幂函数的图象过点得，解得， 则，定义域为. 由可得为偶函数， 又幂函数的单调性可知，函数在上单调递减. 于是等价于，解得或. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-3】已知，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】由题意即， 故，即，解得. 一、单选题 1．下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 【答案】B 【详解】解：幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确； 当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确； 由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确； 函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确. 故选：B. 2．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设幂函数为，则，故，则， 所以的定义域为，故满足，解得. 故选：B. 3．已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】依题意，，则，因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：D 4．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A； 当时，在区间上单调递减，满足题意. 函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B； 因为函数定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 5．若幂函数的图像过点，则不等式的解集为（    ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【解析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据的定义域和单调性求不等式的解集． 【详解】解：设幂函数的解析式为， 由幂函数的图象过点，得， 解得， 所以； 所以的定义域为，，且单调递增； 又等价于， 解得； 所以的解集为， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 二、多选题 6．若幂函数的图像经过，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的定义域是 D．为偶函数 【答案】BC 【详解】由幂函数， 则，即， 且，解得， ，则A错误，B正确； 的定义域为，故C正确，D错误. 故选：BC. 7．已知函数 ，则以下说法正确的是（     ） A．若，则是R上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 【答案】BC 【详解】对于A，若，， 在和上单调递减，故A错误； 对于B，若，， 当时，，在区间上单调递减， ，则有最小值1, 故B正确； 对于C，若，， 当时，，在区间上单调递减，； 当时，，在区间上单调递增，， 则的值域为，故C正确； 对于D，若， 当时，； 当，即时，； 当，即时，， 即当时，， 所以不存在，使得，故D错误. 故选：BC 三、填空题 8．的单调增区间为 【答案】 【详解】由，得或，则函数的定义域为， 令，则， 因为，为对称轴，开口向上的抛物线，在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域内为减函数， 所以在上递增，在上递减，所以的单调增区间为. 故答案为：. 9．已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为，得函数在时的取值集合包含 当时，在上单调递减，函数值集合为，不符合题意， 当时，，函数值集合为，不符合题意， 当时，在上单调递增，函数值集合为， 由，得，解得，由，得，因此， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 10．已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 11．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设，，， 则， 解得， 则，； （2）由（1）知，， 令，，则， 记， 当时，， 当或1时，， 故在上的值域为. 12．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1． 【详解】（1）为幂函数， ∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的， ， ∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即， ，∴a＝0，b＝1． 【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性的运用，考查函数最值的求法，是一道基础题. 13．已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数， 可得，解得， 由于,故，1，2， 当和时，，此时为奇函数，符合要求， 当时，，此时为偶函数，不符合要求， ； （2）不等式，即， 又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数， 所以，则， 所以实数的取值范围为． 14．已知幂函数的图象过点 (1)解不等式：； (2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为幂函数的图象过点， 所以，解得 所以， 由， 所以， 整理得，即 解得或 故不等式的解集为 （2）由（1）可知，，则， 由得，， 即， 令，根据题意，存在实数，， 则 ，由于， 所以当时，取最小值，故， 所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$