精品解析：浙江省温州市十校联合体2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2023学年第二学期温州十校联合体期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 若向量=(1，2)，=(2，3)，则与+共线的向量可以是（ ） A. (2，1) B. (6，10) C. (－1，2) D. (－6，10) 3. 若的外接圆的半径，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知单位向量，满足，则与夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 设是给定的平面，、是不在内的任意两点，则下列命题中正确的是（ ） A. 在内一定存在直线与直线相交 B. 在内一定存在直线与直线异面 C. 一定存在过直线的平面与平行 D. 存在无数过直线的平面与垂直 6. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若是关于的方程的根，则 10. 对于任意两个平面向量、，下列关系式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则（ ） A. 翻折过程中存在某个位置，使得 B. 当二面角为时，点到平面距离为 C. 直线与所成角的取值范围为 D. 当三棱锥体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，则与垂直的一个单位向量______. 13. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为______. 14. 已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为______. 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，满足：，且的实部为正. （1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围； （2）当时，、对应复平面内点分别为、，为复平面原点，求证：. 16. 如图，和都垂直于平面，且，是的中点. （1）求证：平面； （2）若是正三角形，且，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足_______.从条件①、条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知， （1）求角； （2）若的面积为，为的中点，求的最小值. 条件①：；条件②：. 18. 如图，在平行四边形中，，分别是线段，的中点，记，，且，，. （1）试用向量，表示，； （2）①求，的值；②设为的内心，若，求的值. 19. 在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足. （1）求证：； （2）当平面平面时， ①求点到平面的距离； ②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2023学年第二学期温州十校联合体期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用复数除法运算求出，再根据虚部概念得解． 【详解】由于，则，则复数的虚部为． 故选：B. 2. 若向量=(1，2)，=(2，3)，则与+共线的向量可以是（ ） A. (2，1) B. (6，10) C. (－1，2) D. (－6，10) 【答案】B 【解析】 【分析】求出的坐标，然后由共线向量的定义判断． 【详解】由已知，只有，即只有与平行． 故选：B． 3. 若的外接圆的半径，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理可得：, 所以. 故选：C 4. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先算，求得，再利用向量夹角余弦公式，求得，进而得到与的夹角. 【详解】，所以， ，又， 所以. 故选：D. 5. 设是给定的平面，、是不在内的任意两点，则下列命题中正确的是（ ） A. 在内一定存在直线与直线相交 B. 在内一定存在直线与直线异面 C. 一定存在过直线的平面与平行 D. 存在无数过直线的平面与垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，逐项用特例排除选项即可判断ACD，根据异面直线定义判断B. 【详解】选项A，当直线平行于平面时，在内不存在与相交的直线，所以A错误； 选项B，与平面平行或相交，在内一定存在直线与直线异面，所以B正确； 选项C，当直线与平面垂直时，不存在过直线的平面与平面平行，所以C错误； 选项D，只有当直线与平面垂直时，才存在过直线的无数平面与平面垂直，所以D错误. 故选：B 6. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，． ∴． ∴． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 7. 如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，在中，由正弦定理求出，在中，由正弦定理，再由，即可求解. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 又， 解得， 在中，由正弦定理得， 解得， 即， 所以. 故选：. 8. 在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由面积公式可得，由余弦定理结合基本不等式可求，根据正弦定理可得外接圆半径，由勾股定理即可求解. 【详解】如图，取的外接圆圆心，过点作平面的垂线， 则三棱锥的外接球的球心在该垂线上，且， 在中，，即， 所以， 即（当且仅当时取等号）， 设外接圆半径为，由正弦定理得，即， 所以外接球的半径，则， 故三棱锥的外接球表面积的最小值为. 故选：. 【点睛】方法点睛：解决外接球问题： （1）通过球心位置的确定，利用勾股定理列方程求解； （2）已知线面垂直，构造矩形模型； （3）三个两两垂直的墙角模型，补形成长方体或正方体. 二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若是关于的方程的根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用利用复数的乘方运算求解判断，对于B，举例判断，对于C，通过计算判断，对于D，利用根与系数的关系求解. 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，若，则满足，而两个复数不能比较大小，所以B错误， 对于C，，则，， 所以，所以C正确， 对于D，因为是关于的方程的根， 所以是关于的方程的另一个根， 所以，得，所以D正确， 故选：ACD 10. 对于任意的两个平面向量、，下列关系式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量的减法的三角形法则判断A，根据数量积的定义判断B，利用向量数量积的运算法则化简判断C，根据重要不等式判断D. 【详解】对A,由向量的减法的三角形法则可知，成立，当且仅当、反向时等号成立，故A正确； 对B,由向量数量积定义可得，，故B正确； 对C,若，两边平方可得，即，而任意的两个平面向量、，不满足，故C错误； 对D,因为，故D正确. 故选：ABD 11. 如图所示，在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则（ ） A. 翻折过程中存在某个位置，使得 B. 当二面角为时，点到平面的距离为 C. 直线与所成角的取值范围为 D. 当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理分析可判断A；作辅助线，由二面角的定义可得，线段HM的长即为点M到平面的距离，计算即可判断B；由异面直线的定义可将问题转化为母线与底面直径所成角的取值范围，结合最小角定理即可判断C；由题得到三棱锥的体积最大时的截面，计算即可判断D． 【详解】由条件易得，. A：假设翻折过程中存在某个位置，使得， 又，且都在面，可得平面， 面，所以，即，显然与不垂直， 所以假设不成立，即翻折过程中不存在某个位置，使得.故选项A错误. B：取的中点，的中点，连接，，过点作直线的垂线交直线于点. 易说明为二面角的平面角，即. 线段的长，即为点到平面的距离，. 因为为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的2倍，即，故选项B正确. C：连接，易得四边形是平行四边形，所以，直线与所成角，即为直线与所成角. 在翻折过程中，绕着旋转，可以看成以为顶点、为轴的圆锥的母线，为底面圆的直径. 原问题转化为母线与底面直径所成角的取值范围，母线与轴的夹角为， 结合最小角定理，可得母线与底面直线所成角的取值范围是，故选项C错误. D：当平面平面时，三棱锥的体积最大. 又，平面平面，面，所以平面. 中点为球心，取的中点，则为的中位线，所以，平面. 以为直径的球被平面所截的截面为圆面， 由以上分析可知点为该圆的圆心，其半径，该圆面面积为.故D正确 【点睛】关键点点睛：A关键是借助的假设法来证明；B关键是根据线段HM的长即为点M到平面的距离与所求距离的关系；C关键异面直线所成角的问题转化为母线与底面直径所成角的问题，再结合最小角定理；D关键是当平面平面时，三棱锥的体积最大，然后在确定界面图形为圆面，从而得解. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，则与垂直的一个单位向量______. 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】 【分析】设，向量是垂直的单位向量，由求解. 【详解】设，因为向量，且向量是垂直的单位向量， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：（或，答案不唯一）. 13. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】取正棱台的轴截面，利用勾股定理得到高，然后求体积即可. 【详解】 如图，截取棱台过侧棱的轴截面，为侧棱，， 则，，，， 所以，即棱台的高为1， 棱台的体积=. 故答案：. 14. 已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，分析可知点C在以为直径的圆上，根据数量积的几何意义结合圆的性质分析求解. 【详解】由题意可设：， 则， 若，即，则， 可知点C在以为直径圆上，即圆心为，半径， 则在方向上的投影数量的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题根据向量运算的几何意义把题意转化为图形，结合图形分析求解. 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，满足：，且的实部为正. （1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围； （2）当时，、对应复平面内的点分别为、，为复平面原点，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据复数对应的点所在象限建立不等式组即可得解； （2）求出，得到复数对应点的坐标，求解复数的模，利用勾股定理的逆定理得证. 【小问1详解】 因为在复平面内对应的点在第二象限， 所以， 解得. 【小问2详解】 设，则， 展开得， 则，解得或（舍去）， 所以， 当时，，故在复平面内，， 则，，， ，. 16. 如图，和都垂直于平面，且，是的中点. （1）求证：平面； （2）若是正三角形，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）证明为直线与平面所成角，利用直角三角形求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 是中点，，， 和都垂直于平面， ，，， 四边形为平行四边形，从而， 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 为正三角形，为中点， . 平面，平面，则， 又，，平面，平面. 又，则平面， 得为在面上的射影， 为直线与平面所成角. 在中，，，， 得， 直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足_______.从条件①、条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知， （1）求角； （2）若的面积为，为的中点，求的最小值. 条件①：；条件②：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选①，由正弦定理得，再利用余弦定理即可求解；若选②，由正弦定理得，再结合两角和的正弦公式即可求解； （2）由三角形的面积公式得，再在中由余弦定理，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 若选①：由正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以； 若选②：由正弦定理得， 所以， 即， 又，有，所以， 由，得； 【小问2详解】 ，又， 所以， 在中由余弦定理 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 18. 如图，在平行四边形中，，分别是线段，的中点，记，，且，，. （1）试用向量，表示，； （2）①求，的值；②设为的内心，若，求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可； （2）根据向量数量积的运算法则、数量积的定义运算求模；再由三角形内心的性质化简可得. 【小问1详解】 ； . 【小问2详解】 ①由（1）知：，则， 又， ，. ②为的内心， ， . 19. 在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足. （1）求证：； （2）当平面平面时， ①求点到平面的距离； ②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，，根据线面垂直的判定定理证明平面，据此即可证明； （2）①过点作于，连，，令，在中利用勾股定理求出，据此即可求出点到平面的距离； ②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接，据此即可求解. 【小问1详解】 连接，， ，为的中点，， ，为的中点，， 平面， 又平面，； 【小问2详解】 ①过点作于，连，， 平面平面，， 平面，令， ， ，， 则，，， 平面，， 在中，由，得，， ，故点到平面的距离为； ②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接， ，， 是的中位线，， ，， ，， ，， ，所以平面为平面与平面的公共垂面， 故，在中，，， 可求得，又，， 则. 【点睛】关键点点睛：本题（2）①关键在于令，在中利用勾股定理求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$